第四章 第三节 平面向量的数量与平面向量应用举例

1、一、选择题1(2011·广东高考)若向量a，b，c满足ab且ac，则c·(a2b)()A4B3C2 D0解析：由ab及ac，得bc，则c·(a2b)c·a2c·b0.答案：D2已知m(5,3)，n(1,2)，当(mn)(2nm)时，实数的值为()A. BC D.解析：由已知得|m|，|n|，m·n11，(mn)(2nm)，(mn)·(2nm)m2(21)m·n2n20，即34(21)×112×50，解得.答案：C3已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，则|2ab|的最大、小值分别是(

2、)A4，0 B4,2C16,0 D4,0解析：由于|2ab|24|a|2|b|24a·b84(cos sin )88cos()，易知088cos()16，故|2ab|的最大值和最小值分别为4和0.答案：D4(2012·永州模拟)已知平面上三点A、B、C满足|6，|8，|10，则···的值等于()A100 B96C100 D96解析：|6，|8，|10，6282102.ABC为Rt.即·0.··· ()·|2100.答案：C5(2012·杭州第二次质检)已知非零向量a，b满足|ab|ab

3、|a|，则ab与ab的夹角为()A30° B60°C120° D150°解析：将|ab|ab|两边同时平方得：a·b0；将|ab|a|两边同时平方得：b2a2.所以cos ab，ab.所以ab，ab60°.答案：B二、填空题6(2011·江苏高考)已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2.若a·b0，则实数k的值为_解析：由题意知：a·b(e12e2)·(ke1e2)0，即kee1e22ke1e22e0，即kcos2kcos20，化简可求得k.答案：7(2012·

4、;烟台调研)在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则()·的值为_解析：|2|2|28，|，2，()·2·|24.答案：4三、解答题8已知向量a(1,2)，b(2，2)(1)设c4ab，求(b·c)a；(2)若ab与a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的投影解：(1)a(1,2)，b(2，2)，c4ab(4,8)(2，2)(6,6)b·c2×62×60，(b·c)a0a0.(2)ab(1,2)(2，2)(21,22)，由于ab与a垂直，212(22)0，.(3)设向量a与b的夹角为，向

5、量a在b方向上的投影为|a|cos .|a|cos .9设在平面上有两个向量a(cos ，sin )(0°<360°)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小解：(1)证明：因为(ab)·(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab与ab垂直(2)由|ab|ab|，两边平方得3|a|22a·b|b|2|a|22a·b3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4a·b0，而|a|b|，所以a·b0，则×cos ×sin 0，即cos(60°)0，

6、60°k·180°90°，即k·180°30°，kZ，又0°360°，则30°或210°.10已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos ，sin )，O为坐标原点(1) ·，求sin 2的值(2)若|，且(，0)，求与的夹角解：(1) (cos ，sin )(2,0)(cos 2，sin )(cos ，sin )(0,2)(cos ，sin 2)·cos (cos 2)sin (sin 2)cos22cos sin22sin 12(sin cos ).sin cos ，12sin cos ，sin