苏教版高中数学必修534基本不等式≥a＞0b＞0教案3篇

1、第 11 课时： 基本不等式的证明（2） 【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。二、过程与方法通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。难点：等号成立的条件及解题中的转

2、化技巧。【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1重要不等式：如果2基本不等式：如果,是正数，那么我们称的算术平均数，称的几何平均数，成立的条件是不同的：前者只要求,都是实数，而后者要求,都是正数。 二、研探新知最值定理：已知都是正数， 如果积是定值，那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值证明：， ，当 (定值)时， ，上式当时取“”， 当时有；当 (定值)时， ，上式当时取“”当时有说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：最值的含义（“”取最小值

3、，“”取最大值）； 用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。函数式中各项必须都是正数;函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 （1）求 的最值，并求取最值时的的值。解： ，于是，当且仅当，即时，等号成立，的最小值是，此时（2）若上题改成，结果将如何？解： ，于是，从而，的最大值是，此时例2 （1）求的最大值，并求取时的的值。（2）求的最大值，并求取最大值时的值解：，则，当且仅当，即时取等号。当时，取得最大值4。例3 若，求的最小值。解：，当且仅当，即时取等号，当时，取最小值例4 求下列函数的值域:（1）；（2）归纳：用均值

4、不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正 1已知，求的最大值，并求相应的值。2已知，求的最大值，并求相应的值。3已知，求函数的最大值，并求相应的值。4已知求的最小值，并求相应的值。五、归纳整理，整体认识1用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式

5、的条件进行求解；2运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。 六、承上启下，留下悬念 七、板书设计（略）八、课后记：、第 12 课时： 基本不等式的应用（1） 【三维目标】：一、知识与技能会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题； 二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。三、情感、态度与价值观1.

6、引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性【教学重点与难点】：重点：化实际问题为数学问题；难点：会恰当地运用基本不等式求几何中的最值【学法与教学用具】：1. 学法：列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。2. 教学用具：直尺和投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题已知都是正数，如果是定值，那么当时，和有

7、最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 （教材例1） 用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？解：设矩形的长为，则宽为，矩形面积，且由（当且近当，即时取等号），由此可知，当时，有最大值答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积例2（教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池

8、底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。解：设圆桶的底半径为分米，高为分米，圆桶的成本为元，则3求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式，得=当且仅当时，取“=”号。当1（分米），（分

9、米）时，圆桶的成本最低为9（元）。例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解：设该厂天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为元购买面粉的费用为元，保管等其它费用为，当，即时，有最小值，答：该厂天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少例4 在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？例5 如图为定角，分别在的两边上，长为定长，当处在什么位置时，的面积最大？解：设，其中为

10、定值，当且仅当，即时，的面积最大三、巩固深化，反馈矫正 1已知，求的最小值，并求相应的值2一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？ 3在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？4.一个由辆汽车组成的车队，每辆车车长为米。当车队以速度（千米/小时）行驶时，相邻两辆车的车距至少为米，现车队要通过一座长为米的大桥，问车速为多少时，车队通过大桥所用的时间最少？最少需要多少分钟？5某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为的三段污水处理池，由于受地形限制，其长、宽都不能超过，如果池的外壁的建造单价为元，池

11、中两道隔墙的厚度不计，其面积只计一面，建造费单价为元，池底的建造费单价为元，则水池的长、宽分别为多少时，污水池的造价最低？最低造价为多少？6.建造一个容积为8平方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的每平方米造价分别为120元和80元，那么水池的总造价最低是多少？（1760元）解：令长方体的长为米，宽为米，水池的总造价为元 ，=4，=320（+）+480 （当且仅当=时取等号） +4（当=2，=2时取“=”）元 所以水池的总造价为本1760元补充：某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方题小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问

12、怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元四、归纳整理，整体认识1解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题2.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最值 五、承上启下，留下悬念 六、板书设计七、课后记：第 13 课时： 基本不等式的应用（2）【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题二、过程与方法本节课是基

13、本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。三、情感、态度与价值观1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性【教学重点与难点】：重点：（1）根据实际问题，建立恰当的数学模型；（2）能利用基本不等式求出函数的最值难点：掌握建立不等式模型解决实际问题【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题已知都是正数，如果是定值，

14、那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 （教材例3）过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交与两点，当的面积最小时，求直线的方程解：点，则直线的方程为，直线过点，由基本不等式得：，当且仅当，即时，取“”，此时的面积取最小值，所求直线的方程为，即例2 （教材例4）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？解：设排版矩形的长和宽分别是，则纸张面积为当且仅当，即时，取“”，即有最小值，此时纸张长和宽分别是和答：当纸张长和宽分别是和时，纸张的用量最是

15、少例3 甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：（1）由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为，所以，函数及其定义域为，；（2）由题知都为正数，故有，当且仅当，即时上式等号成立；若，则当时，全程运输成本最小；若，当时，有， ，当且仅当时上式等号成立，即当时，全程运输成本最小综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为例4 四边形的两条对角线相交于，如果的面积为，的面积为，求四边形的面积的最小值，并指出最小时四边形的形状。解：设，则 ， ，当且仅当时取“”， 的最小值为，此时由得：，即，即四边形是