王高雄版《常微分方程》习题解答5.2

1、习题5.202412 02 0241203、一一t21.试、口、一0是方程组X=：J的基解矩阵。2 x,x= .1_x2,在任何不包含原点的区间a<t<b±解：令9(t )的第一列为% (t)=t2、0，这时 i (t)=1、251(t)故tjQ(t)是一个解。同样如果以 巴(t)表示G(t)第二列，我们有(t) =012_ 2中2 (t)这样% (t)也是一个解。因此文t)是解矩阵。又因为< t2 t JdetG(t尸-t2故中(t)是基解矩阵。2.考虑方程组x'=A(t)x(5.15)其中A(t)是区间awt Mb上的连，n续nw矩阵，它的元素为aj(t

2、),i ,j=1,2,a)如果X1(t),X2(t),：*)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式 Wx1(t),x2(t),Z,)三W满足下面的一阶线性微分方程 W'=an(t)+a22 (t)+ +而Wb)解上面的一阶线性微分方程，证明X11X12.X1 nX11X12.X1 nX11X12.X11., _ ZJ_X21X22.X2n'X21'X22.X2n,X21X22.x2斛：w (t)=.+.' .+.Xn1Xn2 .XnnXn1Xn2 .XnnXn1FXn2 .FXnt0,t a,bnnn(t)=(t)e t° a11(S)

3、a22 (S)a nn ( s) ds.Xn1X11+.+X21.aniXii+ . + ann Xniani>aiiXiiaii X12.a11XlnXX21.X22.X2n.+X：Xn1Xn2.Xnna nnX11X12.X1 na+ +ann )X21X22.X2n.aiiX11 ' ai2X2i .ainXniaiiX12 -X21Xn1Xn2 . XnnX22.X2n.Xn2.XnnX12.X1nX22.X2n_.0 +.+annXn2 Hn11X12.X1 n1X22.X2n.Xn1annXn2 ann Xnn.Y + G X、nn.ann 人 nn整理后原式变为ai

4、lXin - ai2X2n. ainXnn,a1nx n2=a+ Tann) w(t)=(a1i(t)+ +na(t) w(t)b)由于 w'(t)= aii(t)+ +na(t) w(t),即 dwD= aii(t)+ - +a(t)dt w(t)两边从 toHU t 积分 ln w(t) -In w(t0) = a11(s)+ . + ann(s)ds 即f an (s)+.4ann dsw(t)=w(t o)et0,tea,b3.设A(t)为区间a«t«b上的连续nxn实矩阵,(t)为方程X'=A(t)X的基解矩阵，而X=5(t)为其一解，试证：a)对

5、于方程y'=-AT(t)y的任一解y=T(t)必有乎T(t)甲(t尸常数;b)中(t)为方程y'=-AT(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C,使彳T(t)(t)=C.'解 a) pT(t)(t) = ； T (t)+ ；(t尸 彳 T (t)+ ； T(t)A(t)又因为T =-A T (t)干(t),所以里T =-里T (t) A(t)甲 T(t)(t)=- PT(t)(t)A(t)+ PT(t) A(t) (t)=0,所以对于方程y'=-A T (t)y的任一解y=中 (t)必有甲T (t)中(t尸常数b) 2”假设为方程y'=-AT

6、(t)y的基解矩阵，则PT(t) =彳 T(t) ' ：'t +甲 T(t) <(t)=- AT(t) 丁(t) ：，t + 甲 T(t) AT(t) ):，t+ PT(t) A(t) (t)二-甲 T(t) AT(t) :，t +甲 T(t) AT(t):，t =0,故 p T (t)(t)=C刍”若存在非奇异常数矩阵C, det/0,使里T(t)平(t尸C,则中T (t)邛(t)=中T邛(t)+甲T邛(t)=0,故甲T (t)中(t尸-甲T (t) '中(t)A(t)中 T (t)=-手 T(t) A(t)所以 T T (t)=-乎 T(t) A(t),中(t

7、)=- 中T(t) AT(t)即中(t)为方程y' =-AT(t)y的基解矩阵4.设6(t)为方程x'=Ax (A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即力(0) =E),证明：(t)G(t0)=(t- L)其中卜为某一值.证明：(1)阳t),9(t- t”是基解矩阵。(2)由于9(t为方程x=Ax的解矩阵，所以心,心)也是 x'=Ax的解矩阵，而当t=卜时，(3)9,&)=£, 9(t-3)=9 (0) =E.故由解的存在唯一性定理，得 阳tM(t0)=G(t- t0)5.设A(t),f(t)分别为在区间a«t«b上连续的n，n矩阵和n

8、维列向量, 证明方程组x' =A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。证明：设乂1丛23是x'=A(t)x的n个线性无关解，7是X' =A(t)X+f(t)的一个解，则Xi+X, X2 + X,Xn+x,x都是非齐线性 方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数n_C i ,(I = 1,2,健相工 Ci (Xi + x)+c ni x=0,从而 x 1 + x ,x 2 + x , ,i 1xn + x,x在a<t Wb上线性相关，此与已知矛盾，因止匕x1 + x, x2 +x, xn + x,x线性无关，所以方程组x=A(t)x+f

9、(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：x =A(t)xf1(t)x = A(t)xf2(t)的解，贝U xi(t) +x2(t)是方程组x =A(t)x fi (t)f2 (t)的解。证明：x' = A(t)x + fi(t)(1) x'= A(t)x+f2(t)(2)分别将xi(t),x2(t)代入(1)和(2)则 x1 =A(t)x1f1(t)x2 =A(t)xfz(t)则 x； x2' =A(t)x(t) x2(t)f(t)fz(t)x1(t) x2(t) =A(t)x1(t) x2(t)f1(t) f2(t)令x = x1

10、(t) x2 (t)即证x' = A(t)x f1(t)f2(t)7.考虑方程组x=Ax + f(t),其中122 o_-A1 2X x-Xa)试验证中。)=：，是x= Ax的基解矩阵；1 -b)试求x =Ax+f(t)的满足初始条件中(0)= 的解邛(t)一证明：a)首先验证它是基解矩阵以中l(t)表示位t)的第一列l(t)=则 i'(t)=<0 2A0 J2L01'2>i(t)故(t)是方程的解如果以中2(t)表示)的第二列；2t、te2te J我们有2'(t) =e2t +2te2e2t2t、221 Yte2t、 O 12t 2Ae J'

11、;2<0联)故中2(t)也是方程的解从而立t)是方程的解矩阵又 det (t)=2t x 2tete4tC 2t =e =00e故欠t)是x = Ax的基解矩阵；b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件平*1,J I1的解1'. t.1_中(t) =(t)4 (0)1rl +，(t) 0, f(s)ds而飞)=2 2t , 2te-teC2t、0 e4te二0-t1 Jt a(1 -t)e2t ”2te J4 2t )te2te )- seqssin s"_2se人cosslds =12t 11(-15t 27)e - cost sint 2525253 2t 2.1

12、- +-e - - cost sint5558、试求x = Ax+f (t),其中 .122 o_-A满足初始条件的解*(t)。解：由第7题可知x1 = Ax的基解矩阵小2t一0te2tl2te则.A(s)=2 2s2s 、e-se1' 0j J /4se0,2s若方程满足初始条件=。则有 cp(t) =q>(t)t*A(s)f (s)ds =/ 2te<0,2t、 tee2t J晨0,2s eds =1 .2 2t-t e2.2t te升1右中(0) = ；则有- (t) = '(t)':(0)C t " + Wt)N(s)f(s)ds =1&#

13、39;J.2t te2te-11 . 2 一t e2.2t te2t12 2t(1 -1 -1 )e2(t -1)e2t9、试求下列方程的通解:一、,，二，二a)x x = sect, - : t : 一 22解：易知对应的齐线性方程x+ X = 0的基本解组为Xi(t)=cost,X2=sint这时 Wx1,x2(t0=cost-sintsintcost=1-IL /V 9-tcoss-costsins , secsds =1由公式得t，o (sin t - cost tans)ds = t sin t costln cost通解为 x =c cost c2 sint tsint cost

14、Int2tb) x _8x = e解：易知对应的齐线性方程x'" - 8x = 0的基本解组为x«)=e2tx2 (t) =e,cos 3t, x3(t) = e，sin , 3t，九=2是方程的特征根故方程有形如x = Ate2t 的根代入得A =12故方程有通解x = (ci cos 3t C2 sin 3t)e，C3e2t te2t12c) x -6x 9x解：易知对应的齐线性方程x''-6x'+9x=0对应的特征方程为九2-6九+9=0,%2 =3故方程的一个基本解组为xi(t) = e3t供=te3tWXi，X2(t)=3t, 3t

15、e te3t 3t3t3e e 3te6t二 e1 3t 一e4f(t)在0Et<F上连续，试利x 3t 3s 3t 3stte e -e se s 1 t 1 3t(t) = 0epeds - -e-te因为te3t,e3t是对应的齐线性方程的解故中i(t) =1et也是原方程的一个解4故方程的通解为x = cie3t c2te3t 1et410、给定方程x''+8x +7x= f (t)其中用常数变易公式，证明:a)如果f(t)在0 <t <依上有界，则上面方程的每一个解在0Et<2上有界;b)如果当tT8时，f (t)T 0 ,则上面方程的每一个解

16、邛(t)T 8 (当t T 8 时)。证明：a)丫 f(t) 0wt<F上有界存在 M>0,使得 | f (t)| <M ,Vt e 0,+g)又= x =e,x =e)t是齐线性方程组的基本解组t ,=.02t .s. t .7se e -e e_s_7see_s_ _7s一e - 7e二非齐线性方程组的解7 s .s.t .7s.t e e - e e .f ds = 0 ef(s)ds二中(t) <M r ete7s.eesds<M(8_2et .e)<±M 6 K6 7 721又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t),都存在固定的常数

17、c1, c2使得 x(t) = c1eJ7tc2e(t)从而 x(t) < c1e Jt + c2e上+仔(t) E c1 + c2M故上面方程的每一个解在0 <t < 上有界b) 丁 tT 8 时，f(t)T 0, V® >0,三N 当 t>N 时 f(t)名由a)的结论7+- I44x(t) M c1e+ c2e +中(t) Mc1 + c2 + M W ，(tT 叼2121故tTm时，原命题成立11、给定方程组 x' = A(t)x(5.15)这里A(t)是区间a Ex Wb上的连续nn矩阵，设1(t)是(5.15)的一个基解矩阵，n维向量

18、函数F(t,x)在a Wx Mb , |xM0°上连续，t/a,b试 '证明初值问题：,x=A(t)x F(t,x)(*)L平(t。)"的唯一解中是积分方程组x(t) =*(t)*-(to)n + *(t)*-(s0F(s,x(s)ds(* )的连续解。反之，(* )的连续解也是初值问题(8)的解。证明：若中是(*)的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式中(t)=小。)4。0产 +Wt) j e(s)F(sW(s)ds即(*)的解满足(* )反之，若中是(* )的解，则有t(t) = (t)(t0)(t)(s)F(s, (s)ds-to两边对t求导：'(t)= -(to)' 0 1s)F(s, (s)ds (t)T(t)F(t, (t)=(t)(t°)； i(s)F(s(s)ds F(t, :(t)it i.=A(t) (t) (t0).0(s)F(s, (s)ds F(t, (t)=A(t) ：(t) F(t, (t)即(* )的解是(*)的解出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光 先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜