第七章平面向量-教学设计

1、数学基础模块下册7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1 . 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义.2 .会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等.3 .通过教学培养学生数形结合的能力.【教学重点】向量的概念.【教学难点】向量的概念.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概 念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解.同时结合习题 让学生加深对相等向量的理解.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图阅读教材P31前二自然段，认识数教师提出问题.通过阅读教材中

2、量与向量的，同.学生阅读教材，回答数量的例子与物理中学过导与问重的小同：问重不仅启大的其他实例，由具体入举出向量的其他例子.小川且后方向；数重只后大小.到抽象，概括、认识学生回顾物理中学过的向向量概念，符合职校量：力、速度等.学生的认知能力.1 .向量的概念具后大小和方向的量叫做向量.2.向量的表示方法教师结合教材图7-1,引导结合教材中实例问题1 如何描述平囿上一点的位学生体会用有向线段可以表示引入有向线段，学生新移？位移这样具有大小和方向的向量.感觉自然，易于接受.课A-始点让学生画有向线段描述位通过作图进一步移：“北偏东45 , 3个单位”.加深对向量两个要素 以及为什么可以用有 向线段

3、表示向量的认(1)用启问线段来表小向里.后问 线段的长度表示向量的大小，有向线段教师方出叵1HL表小法.的力I可表小向里的方向.让学生在自己画好的向量识.(2)用后向线段 AB来表7K向量上标注AB或a .让学生自己动手时，我们也称为向量 AB ;在印刷时，标注Ab或-a,易于105向量常用黑体小写字母 a, b, c,来表示，书写时，则常用带箭头的小写字母a , b , c ,来表木.发现学生常犯的错 误，例如少箭头等， 教师及时指正.比较力与位移两 种向量，更深刻地认 识自由向量.3.自由向量只有大小和方向，而无特定的位置.教师巡视，强调字母上面 加箭头， Ab 一定要始点写在 终点前.教

4、师引导学生体会位移与 力这两种向量的不同，位移只 有大小和方向，而没有作用点, 可以平移.4.向量的两要素 大小与方向.学生认识总结向量的两要素.让学生认识向量 的两要素很关键.5.相等向量新同向且等长的有向线段表示同一向课量，或相等的向量.如上图中，有向线段aa , bb , cc都表示同一向量a, 这时可记作 AA = BB = CC =.例如图所示，设 O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出与向量 OA , OB, OC相等的向量.解 QA= CB = -EF=DO;OB = FA = DC = EO ;OC = AB = ED = FO .教师引导给出相等向量的 概念.紧扣两要素，学

5、生 能很轻松的理解相等 向量的概念.学生看图解答.练习一已知D, E, F是4ABC三边AB, BC, CA的中点，分别写出与 DE , EF, FD相等的向量.学生练习巩固.6.向量的模已知向量 AB ,则有向线段AB的长度，叫做向量Xb的长度（或模），记作师：线段长度可以比较大小，向量可以吗？教材图 7-3中|aa尸？学生熟悉向量的模的记法|AB|.7.零向量并思考回答问题.长度等于零的向量，记作 "0 .零向 量的方向是不确定的.学生辨别0与0的/、同.新8.共线向量（或平行向量）教师给出共线向量概念.课如果表示一些向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则称这些向量平学生辨析向

6、量平行与直线行或共线.平行向重力向相同或相反，向里a 平行丁向重 b ,记作a / b .我们规定：零向量与向量平行，即对向量 a ,都有0 a .9.位置向量问题2如何用向重确定平面内一点的位置？任给一定点O和向量a，过点。作平行的区别以及相等向量与共 线向量的/、同.教师引导给出位置向量概有向线段QA=-a,则点a相对于点o的位置被向量a所唯念.师：后j位直向重的概念， 我们就可以利用位置向量确定一确定.这时向量Oa通常称作点A相对一点相对于另一点的位置，这 样，我们就可以用向量来研究学生经常发生例上 一 一如AB=3的错误，一定要强调向量与向量模的不同.通过辨析向量平 行与直线平行的区

7、别，进一步加深对共 线向量以及自由向量 与位置无关的认识.引入位置向量为 利用向量来研究几何 问题提供理论依据.新 课于点O的位置向量.例如OA= "东偏南50 , 114km ”就表示天津相对于北京的位置.练习二在平囿上任意确定一点 。，点P在 点O "东偏北60 , 3 cm”处，Q在点O “南偏西30 , 3 cm”处，画出点P和Q 相对于点O的位直向重.几何了.学生练习巩固.小 结1 .向量概念与向量的长度.2 .向量的两要素.3 .向量的表示方法.4 .相等向量与共线向量.5 .零向量.6 .位置向量.师生合作.梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行.作 业教材

8、P34,练习B组第1题.巩固.7.1.2 向量的加法【教学目标】1 .理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律.2 .会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和.3 .通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力.【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.【教学难点】对向量加法定义的理解.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲.并 在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学 生发现问题、提出问题、解决问题的能

9、力.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图请观察：学生观察现象，从学生熟悉的位移(1)动点从点A位移到点B,再从点B得到结论.(向量)入手，观察现位移到点C;象，得到结论，引入向(2)动点从点A直接位移到点C.量加法概念，学生容易接受，降低了新课教学导 入/的起点.B A A结论：动点从点A直接位嘉点C与两次连续位移的效果相同.即AB + BC= AC .1.向量加法的三角形法则已知向量 a, b,在平囿上任取一点A,作教师引导学生由AB = a, BC = b,作向量 AC,则向量Ac叫位移求和得到向重加做向量a与b的和向量.记作a+b,即法的三角形法则.新 课a+ b= AB + BC

10、= AC .A师生共同总结归ba+y纳三角形法则的规律.-a L-rAB练习一已知下列各组向量，求作 a + b.当两个向量同向时aba+bABC. 一 P 一 一一a+ b=AB + BC = AC .当两个向量反向时ab-4a+ b.IACAB 二 一 ，一 a+ b=AB + BC = AC .对于零向量与任一向量a,都有a+ 0 = 0+ a= a.例 某人先位移向量 a："向东走3 km”, 接着再位移向量 b: “向北走3 km”，求a+b.解如下图，选择适当的比例尺，作Oa =a, AB =b.学生做练习巩固，并在作图中思考，当向 量平行即不能构成三 角形时，应如何处理

11、？师生共同完成.教师提示学生关 注和向量与已知向量 的长度关系.教师引导学生完 成例题，并再次强调 向量的两要素.学生通过解答 后，进一点熟悉了向 量加法的三角形法 则，巩固向量的两要 素.学习新知后紧跟练 习，有利于帮助学生掌 握向量加法的三角形法 则.对于作图中学生的 难点两向量平行时求和 的问题，下面教师将重 点讲解.为教材P37练习A 组练习3作铺垫.虽然学生已知向量 有两要素，但认识还是 不深刻，通过例题再次 巩固.以学生为主，完成 求和任务，以熟悉三角 形法则.则OB = OA + AB = a + b,|Ob|=、32 + 32 = 3宓(km),又OA与Ob的夹角是45

12、6;.所以，a+b表示"向东北走3艰km”教师引导给出多 个向量求和法则.多个向量求和法则：首尾相接，自始而终.以四个向量为例说明：已知向量a, b, c, d.在平面上任选一点O, #OA = a, AB = b, BC = c, CD = d,则OD=OA + AB + BC + CD=a+ b+ c+ d.类比学习.教师提示类比数 与式的运算律来记 忆.学生记忆.2.向量的运算律交换律：a+b=b+a;(2)结合律：(a+b)+c= a+(b+c).下面我们来证明向量加法交换律.证明 当a, b不平行时，作AB = a, BC=b,则 AC = a+b.再作 AD = b,连接

13、 DC,则四边形 ABCD 是平行四边形(为什么？)，于是 DC=a,因此AD + DC = b+ a = AC ,即 a+ b= b+ a.对于a, b平行的情况，请同学们自己验证.3.向量加法的平行四边形法则在上述证明过程中，作AB = a, AD = b,如果A, B, D不共线，以AB, AD为邻边作平教师引导解答.师生共同完成.由运算律的推导过 程自然地引出平行四边 形法则，学生不感突兀, 易于接受.新 课行四边形 ABCD,则对角线上的向量 AC=a +b.我们把这种求两个向量和的作图法则叫做向 量加法的平行四边形法则.练习二如图所示是平行四边形，填空： AB+BC;CD_ C(2

14、)AC+Cb+DO；A B(3) AC+CD + DA .学生练习巩固， 教师巡视指导.强化训练.小 结1 .向量求和的法则：三角形法则、平行四 边形法则.2 .向量加法的运算律.师生合作.梳理总结也可针对 学生薄弱或易错处进行 强调和总结.作 业教材P37,练习B组第1, 2题.巩固.7.1.3 向量的减法【教学目标】1 .理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量.2 .通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法.【教学重点】向量减法的三角形法则.【教学难点】理解向量减法的定义.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.由实例引入，创设问题情境

15、，教师引导学生由向量加法得到向量减法. 并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区, 较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导 入在某地的一条大河中，水流速度为V1,摆渡船需要以V2的实际航速到达河对岸，那么摆 渡船自身应以怎样的航行速度行驶呢？教师提出问题， 引入课题.学生思考.从实际生活经历出 发，激发学生的学习兴 趣，同时体现向量的应 用价值.新 课1 .向量减法法则已知向量 a, b,作OA = a, OB= b,则由向量加法的三角形法则， 得b + BA = a,我们把向量 BA叫做向量a与b的差，记作

16、a - b,即二c一一一一BA = a b= OA OB .一 BbOaA两个向重的差是减向重的终点到被减向重的终点的向量.当两个向量同向时ab 二一.ACB教师引导学生由 向量加法得到向量减 法.学生比较向量加 法的三角形法则与向 量减法的作图法则的 不同，总结规律.师生合作完成在向量加法的基础 上引入减法定义和作图 法则，符合学生认知规 律，有利于减法运算的 掌握.比较学习，印象深 刻.后向量加法的基 础，学生解决这类习题 应该更轻松，所以建议 由学生为主教师为辅来a b=AB AC = CB .当两个向量反向时a-b一a bI.CABab=AB - AC = CB .2.相反向量与向量a

17、等长且方向相反的向量叫做a师生合作完成.完成.但向量加法运算 和减法运算又有不同， 在加法知识先入为主的 思维障碍下，有些学生 加减法会混淆，所以教 师一定要引导学生来区 分两者，加深印象.思考：向量减法是加法运算的逆运算吗?教师作图，引导学生完成证明：a b=a+ ( b)例 1 已知 ABCD , AB =a, AD = b，试用向量a和b分别表示向量 Ac和DB .D教师给出问题.学生根据向量的 加法运算和减法运算 完成解答.平行四边形是向量 运算中经常遇到的图 形，此题作为重点让学 生熟练掌握.的相反向量，记作一a.解 连接AC, DB,由向量求和的平行四边形法则，有 AC = AB

18、+ AD=a+b;由减法定义，得 DB= AB-AD =a-b.新 课例2 已知向量a, b,ad,求作向量a b, c d.、A_ a b/ x1vz解 在十卸内任取一点 。，作 OA=a, OB=b,作向量 BA,则ab= OAOb =BA .作Oc = c, OD =d,作向量 DC,则cd =一OC 一 OD = DC .练习1.已知向量a、b,求作向量a b.、一(2)aba一J2 .如图是平行四边形，化简：一 一DC(1) AB-AD;C(2) -BA-BO ;。AB(3) OD-OA.3 .已知 DABCD, AB = a, AD = b,试用 向重a和b分别表小以卜向重>

19、 > >(1) CD , CA;(2) BD , CA.教师给出问题.学生作图解答.教师结合学生解 答情况纠错总结.学生练习巩固.练习中作图与化简 两类题型都要练到，使 学生对减法法则认识更 加深刻.小 结1 .向量的减法法则.2 .相反向量.师生合作.梳理总结也可针对 学生薄弱或易错处进行 强调和总结.作 业教材P39,习题第1,2题.巩固.7.2 数乘向量【教学目标】1 .通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律.2 .理解并掌握平行向量基本定理.3 .通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力.【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行

20、向量基本定理.【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学 过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展 区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导 入1 .已知非零向量 a,求作：(1) a+ a+ a;(2) (-a) + (-a) + (-a).aa aa-a-aa* ， 一- 请观察3a与一3a是否还是一个向量， 它的长 度与方向后何变化.2.已知AB ,把线段AB/B口厂/

21、三等分，分点为P, Q,则AP,/ P7八一一一-4AQ , BP与AB的关系如何？A教师提出问题，引 入课题.学生观察解答.在向量加法的 基础上引入数乘向 量的定义，符合学生 认知规律，有利于概 念的同化.新 课1 .数乘向量的定义头数入和向重a的乘积是l个向重， 记作 乱 向量 后(aw0,m0)的长度与方向规定为：2 1) | 后 |=| 入| | a |;(2)当？00时，后与a的方向相同；当入v 0时，后与a的方向相反.当 壮0时，0a=0;当a= 0时，R = 0.3 .数天响量的几何意义把向量a沿着a的方1可或a的反方向，长 度放大或缩小.如2a的几何意义就是沿着向量a的方向，教

22、师由具体例子引 导学生得到数乘向量的 定义.培养学生由特殊到一般的归纳总结能力.紧扣向量的两要素分析定义，便于 理解数乘向量的几何意义.新 课长度放大到原来的 2倍.练习一一，一一，.，一11任作向重 a,再作出向重一3a,弹，-3a,并 说出它们的几何意义.3.数乘响量运算的运算律设入科R,有：(1)(计»a=后+旧；(2) 乂出)=(入检；(3) Xa+b)=后+ 江请观察，数乘响量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？例1计算卜列各式：，、，1(1) ( 2) 2a； 2(a+ b)-3(a-b);(3) ( + )(a-b)-( )(a+b) .11解(1) (-2) 2a=

23、( 2 2) a=a; 2 (a+ b)3 (ab)=2 a-3 a+2 b+3 b= (2 3) a+(2+3) b=a+ 5 b.(3) ( + )(a-b)-( )(a+b)=(+ )a-( + )b一( 一 )a一( 一 )b=(十 一 + )a-( + + 一 )b=2 a-2 b.练习二化简：(1) 2(a-b)+3(a+b);(2) 2(a+b)+1(a-b).(3) x是未知向量，解方程5 (x+ a)+ 3 (x b)= 0.解原式可变形为5x+5a+3x- 3b=0,8 x=- 5a+3b,师生合作完成.教师提出问题.学生观察解答.师生合作完成.学生练习巩固.教师引导学生完

24、 成.类比学习.有实数运算法 则做基础，学生解 决这部分题目很容 易，提醒学生向量 上加箭头.5-3 x= 海+ o b.88练习三解关于x的方程：(1) 3(a+x) = x;(2) x+2(a+x)= 0.学生练习巩固.例3已知6A =3OA, A B =3 AB ,说明向量教师给出问题并由本例引入平Ob与的的关系.解因为引导学生解答.学生根据向量加法的三角形法则及数行向量定理，由特 殊到一般，便于学 生接受.，一 一 一一一OB = OA + A B = 3OA + 3AB乘向量定义完成解答.新= 3(QA+AB)=3OB .课所以OB与OB共线且同方向,长度是 OB的3倍.4.平行向量

25、基本定理如果a=不，贝U a/b;反之如果 ab,且bw0, 则一在一个实数力使a=不.教师由上例引导学 生推广到一般的平行向例如，如果 a=2b,贝U a/b;如果 c=- 2b,量.则c/b;如果d/b,且d的长度是b的T,并且方向相反，则 d= - 2 b.乙b bxx5.非零向量 a的单位向量与a同方向且长度为1的向量，称为非零向量a的单位向量.易知，a的单位向量为 I a I例4 若MN是4ABC的中位线，求证：教师引导学生分本题是首次应MN = 2bC,且 MN / BC.析.用向量知识来解决 平面几何问题，对新 课证明 因为M, N是AB, AC边上的中点，所以一 1一 . 1

26、AM = 2AB , AN = ,AC ,1f_1MN = AN - AM = 2AC 2 AB1 f1 f-= 2（AC AB ）=5 BC. 1一所以 MN=2BC,且 MN / BC.学生来说有些难 度，教师须根据向 量的运算法则详细 讲解.练习四已知点D是线段BC的中点，求证：一 1 一 一AD= 2（AB+ AC）.学生练习巩固.小 结1234数乘向量的定义及其几何意义.数轲量运算律.平行向量基本定理.单位向量.师生合作.梳理总结也可 针对学生薄弱或易 错处进行强调和总 结.作 业教材P43,习题第5题.巩固.7.3.1向量的分解【教学目标】1 .理解平面向量的基本定理，会用已知的向

27、量来表示未知的向量.2 .启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题.3 .通过教学，培养学生数形结合的能力.【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量.【教学难点】理解平面向量的基本定理.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导 入复习向量的加法.已知向量a, b,求作向量a + b ./师生共同回忆向量的加法 法则.为知识迁移做准备.新 课1 .提问如图，设ei, e2是同一平面内的两 个不共线的向量，AB , CD, Ef , GH是 这,平囿内的任

28、,向重，你能用 ei, e2 来表示以上四个向量吗？D |E B H1 一n -W" im 'f -t r-« h一丁吆1 AFI e -1iM-1 d；y; "G上 .),* F;丁正.2,平面向量基本定理如果ei、e2是平囿上的两个/、平行 的向量，那么对该平面上的向量 a , 存在唯一的一对实数 a1，a2使教师提出问题.教师以Ab为例，配以幻灯片形象讲述AB的分解.学生每四人才-组在练习本上回出CD, EF , GH这二个 向量的分解向量.教师引导学生订正答案， 并再次强调四个向量的分解依 据是向量的加法.教师由以上问题引导学生 总结得出平面向量的

29、基本定 理.问题是为突出本 课重点而设计.深度挖掘教材提 出的这个问题，在回 顾了向量加法的基础 上，进,步讨论一个 向量如何用两个向量 线性表示，为顺利引 出平卸向量基本定理 做好准备.通过问题的详细 探究引出平向向量的 基本定理，比直接给 出定理更符合学生的a= aiei+ a2e2.特点，容易被学生接 受.练习一如图已知e1，e2,用ei, e2表示AB,巩固理解，形成 技能.学生模仿练习；师生统一订正.师：从问题和练习中可以 看到一个重要的事实，即平面 上任一向量都可沿两个不平行 的方向分解为唯一一对向量的 和.教师出示例题.通过例1,让学生 进一步掌握利用平面 向量基本定理来分解 某

30、一个向量，从而提 高学生的读图能力， 并与前面学过的知识 结合，对学过的定理 有更深层次的认识和 理解.例1已知平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点 M,设AB=a, AD= b,试用 a, b 表小 MA, MB, MC , MD.解 因为 AC = AB + AD = a + b, DB =AB - AD = a + b,所以教师首先请学生讨论：S1 MA是哪个向量的一1 1MA=-2AC=-2(a + b)b；1 1MB= 2DB= 2(ab)S2 在4ABC中，AC是哪两个向量的和？学生尝试解答MB, MC,112b；，一 11MC= 2 AC= 2a +2b；111MD = -2

31、DB = -2a +2b.MD的分解，教师对学生的回答 给以补充、完善，师生共同总 结解答方法.通过学生讨论， 老师点拨，帮助学生 分解难点，明确解题 步骤.新 课练习二已知平行四边形 ABCD的两条对角线相父十点O,设OA=a, OB= b,试用 a, b 表示 OC, OD, DC, BC.D _CoZX7A. B学生模仿练习.根据学生做题情况， 了解学生对本节课知 识的掌握情况.小 结1 .平向向量基本定理.2 .平面向量基本定理的应用.师生合作.梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.作 业教材P45 练习B组第1, 2题.巩固拓展.7.3.2向量的直角坐标运算【教学目标】

32、1 .理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算.2 .能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行.3 .通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力. 【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行.【教学难点】理解平面向量的坐标表示.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动， 通过类比、联想，发现问题，解决问题.引导学生分析归纳，形成概念.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导 入1.平可以怎么表y1面内建立J直角坐标系，点A:小？1 A(a, b

33、)1 1 1教师提出问题.学生回忆解答.为知识迁移做准备.O2 .平口3 .平口x用句量是否也有类似的表示呢 ？和可量基本定理的内容是什么 ？新 课1 .向量的直角坐标在直角坐标系内，我们分别：(1)取基向量：取与x轴和y轴的 正方向相同的两个单位向量 e1，e2作为 基向量.(2)得到实数对：任作一个向量 a, 由平向向量基本定埋，有且只有一对实 数a1, a2,使得a= ae+ a2e2,我们把 , a2)叫做向量a的坐标，记作a= (a1, a2),其中a1叫做a在x轴上的坐标，a2叫 做a在y轴上的坐标.e1, e2叫做直角坐学生阅读课本，讨论并回 答教师提出的问题：(1) e1，e2

34、与平面向量基 本定理中的e1,e2有什么区别？(2)向量的坐标与启序实数对之间是什么关系？教师针对学生的回答进行 点评.教师引导学生学习向量的 直角坐标表小.问题是为突出本 课重点而设计.通过 对比教学可以加深学 生的印象.通过问题 的详细探究，比直接 给出说明更符合学生 的特点，容易被学生 接受.例1如图，用基向量ei, e2分别表 示向量a, b, c, d,并求出它们的坐标.解由图可知a=3ei + 2e2=(3, 2 ),b=- 2ei + 3e2= (-2, 3),c= 2ei- 3e2= (-2, 3), d=2ei-3e2=(2, 3).2.向量的直角坐标运算(i)如果 a=(a

35、i, a2), b = (bi, b2), 则a+b=(ai, a2) + (bi, b2)= (ai+bi, a2+b2)；ab=(ai, a2) (bi, b2)= (aibi, a2b2)；?a= Xai, a2)= ( Bi,后2), 其中入是实数.证明a+b=(ai, a2) + (bi, b2)=(a1ei+ a2e2) + (biei+ b2e2)=aiei + biei + a2e2 + b2e2=(ai+ bi) ei+ (a2+ b2) e2= (ai+bi, a2+b2).请同学仿照上面的证明，自己证明 其他两个结论.学生讨论求解.学生阅读课本向量的直角 坐标运算公式，在

36、理解的基础 上记忆坐标运算公式.教师对于第一个性质引领 学生仔细推导.教师给出具体 的证明步骤.学生可分组讨论证明其他通过例i可让学 生加深对向量的直角 坐标表示概念的理 解，从而进一步提高 学生的读图能力.在板书证明的过 程中，突出解题思路 与步骤.通过学生讨论， 老师点拨，可以突出 解题思路，深化解题上述向量的坐标运算公式，也可用 语言分别表述为：两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差；数乘向量积的坐标等于数乘上向量 相应坐标的积.两个公式；小组讨论后，教师对学生 的回答给以补充、完善.师生共同总结向量的直角 坐标运算公式及文字叙述.步骤，分解难点.例 2 已知 a=(2

37、, 1), b=( 3, 4), 求 a+ b, a b, 3a +4b.解 a+b=(2, 1)+(3, 4)= (T, 5)；a-b=(2, 1)-(-3, 4)=(5, 3);3a + 4b=3(2, 1) + 4(3, 4) = (6, 3)+(12, 16) = (-6, 19).例 3 已知 A (x1，y1)，点 B (x2, y2), 求成B的坐标.解 AB = OB - OA=%, y2)(x1, y1) =(X2 X1, y2 y1).一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去始点的相应坐 标.练习一1.已知a, b的坐标，求a + b, a 教师简单点拨，学生

38、尝试解答 a+b, a b, 3a+4b.教师点评，并板书详细的 解题过程.教师出示问题.学生阅读图形，讨论并回 答教师提出的问题：(1) AB是哪两个向量的差向量？， 一 ， (2) OA和OB坐标分别为什么？教师针对学生的回答进行 点评.师生共同总结文字结论巩固理解，形成 技能.可以进一步培养 学生的读图，识图能 力，培养学生数形结 合的思想.学生抢答.教师点拨，学生讨论解答老师巡回观察点拨、解答学生 疑难.教师点评，并板书详细的 解题过程.在板书例题的过 程中，突出解题思路 与步骤.b: a=(4, 3), b=(-4, 8);(2) a=(3, 0), b=(0, 4).2.已知A,

39、B两点的坐标，求AB ,BA的坐标：(1) A(-3, 4), B(6, 3);(2) A(-3, 6), B(-8, -7).例 4 已知 A (2, 1),点 B (1,3), 求线段AB中点M的坐标.解因为师生共同复习.为知识迁移做准备.AB = OB - OA=(1, 3)-(-2, 1) = (3, 2);所以- -> 一OM = OA+AM->1 一=OA+ 5 AB,1 1=(-2, 1) + 2(3, 2)1=(-2, 2).一,1因此 M(-2, 2).3.用向量的坐标表不向量平行的条件复习：(1)平行向量基本定理：如果向量bw0,则a/b的充分必要条件是，存在新

40、 课唯一实数%使a=在(2)数乘向量：已知 b=(bi, b2),则？b=(h, ;b2),问题：在直角坐标系中，向量可以用 坐标表示，那么，能否用向量的坐标表 示两个向量的平行呢？探究：设 a=(a1, a2), b=(bi, b2), 如果b w 0,则条件a= ?b可用坐标表 小为(ai, a2)= Xbi, b2), 即aha?b2消去得aib2 a2bi = 0.一般地，对于任息向重 a (ai, a2), b = (bi, b2),都有a/baib2a2 bi=0.例5判断卜列两个向重是五平仃：(1) a=(-1, 3), b = (5, 15);(2) e=(2, 0), f=(

41、0, 3).解(1)因为(1)X (- 15)-3X 5=0,所以向量a和向量b平行；(2)因为 2X30X0=6W0,所以 向量e和f /、平行.例 6 已知点 A(-2, 1), B(0, 4),向量a= (1, y),并且AB / a,求a的纵坐标y.解由已知条件得AB = (0, 4)-(-2, 1)=(2, 5),因为Xb / a,所以1X5-2Xy=0.教师提出问题.引出探究 的问题.师生共同探究用向量的坐 标表小向里平行的条件.教师 给出具体的探究步骤.学生尝试解答.师生共同解决例5,教师 详细板书解题过程，带领学生 仔细分析解题步骤.教师点拨，学生讨论解答.通过例5可让学 生加

42、深对向量平行的 条件的理解.通过例6进一步 加深学生对向量的坐 标表小向里平行的条 件的理解.新 课解得y=|.例 7 已知点 A(-2, 3), B(0, 1), C(2, 5),求证：A, B, C三点共线.证明由已知条件得AB = (0, 1)-(-2, 3)=(2, 4),AC = (2, 5)- (-2, 3)=(4, 8).因为 2X84X4=0,所以 AB /AC,又线段AB和AC有公共点A,所以A, B, C三点共线.练习二1 .已知 a= (-3, -4), b=(2, y), 并且a / b,求y.2 .已知点 A(-1 , 3), B(0 , -1), C(1, 1),求

43、证：A, B, C三点共线.师生合作共同完成.通过学生讨论、 教师点拨，帮助学生 顺利证明A , B, C 三点共线.再次巩固 用向里的坐标表小向 量平行的思路和步 骤.学习新知后紧跟 练习有利于帮助学生 更好的梳理和总结本 节所学内容.有利于 教师检验学生的掌握 情况.小 结1 .向量的直角坐标a= a1e+a20= (a1, a2).2 .向量的直角坐标运算：(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；(2)数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积；(3) 一个向量的坐标等于向量终点 的坐标减去始点的相应坐标.3.若 a=(a1，a2), b=(b1，则a "

44、 b ab2 a2b1 = 0.学生阅读课本，畅谈本节 课的收获，老师引导梳理，总 结本节课的知识点.梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.作 业教材P49 练习A组第1题(3),第2题(3);教材P51 练习A组第3题.巩固拓展.【教学目标】7.4.1向量的内积1 .理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积.2 .掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题.3 .通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点. 【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律.【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解

45、.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念.环节教学内容一个物体在力F的作用下产生了位 移s,那么力F所做的功应当怎样计算？F力做的功为W= I s I I F I cos 0, 其中是F与s的夹角.I F I cos。是F在物体前进方向上 分量的大小.I s I I F I cos。称为位移s与力向 量F的内积.师生互动教师提出问题.并简单讲 解什么是功，让学生对功有个 基本了解.师生共同计算这个力所做 的功.我们知道，功只有大小， 没有方向，它由力和位移两个 向量来确定，这给我们一种启 示，能否把“功”看成是这两 个向量的一种运算的结果呢？ 引出课题

46、.设计意图此引例体现了数 学知识与其他学科的 联系，让学生了解所 学内容在实际生活中 的具体应用.学生阅读课本，讨论并回此问题是为本课答教师提出的问题：重点向量的内积概念(1)当？a, b?=0 和 180o而准备.通过问题的时a与b的方向是怎样的,详细探究给出概念，(2)当？ a, b?=90 时，a比直接给出更符合学与b的方向又是怎样的,生的特点，容易被学师生共同总结，师重点强生接受.调说明(4)1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a与b,作 OA=a,OB = b,则/ AOB叫向量a与b的夹角.记作？ a, b?,规定 0 w?a, b?c 180 .说明：(1)当？a, b?=

47、0时，a与b同向；(2)当？a, b?= 180 时，a 与 b 反向；(3)当？a, b?= 90时，a与b垂直， 记做a±b;新 课(4)在两向重的夹角7E义中，两向重 必须是同起点的.2.向量的内积已知非零向量a与b, ?a, b彷两问 量的夹角，则数量| a | | b | cos&, b?叫做 a与b的内积.记作a - b= | a | | b | cos?a, b?.规定：0向量与任何向量的内积为 0.说明：(1)两个向量的内积是一个实数， 不是向量，可以是正数、负数或零，符号 由cos&, b?勺符号所决定；(2)两个向量的内积，写成 a b, 符号“”

48、在向量运算中不是乘号，既不 能省略，也不能用“ 乂代替.例 1 求 |a|= 5, |b|=4,b?=120 .求 a b.解由已知条件得a - b= | a | | b | cos?3, b?=5X4Xcos 120 =- 10.3 .向量的内积的性质设a, b为两个非零向量，e是单位 向量，则：(1) a e= e a= 1 a 1 cos ? a, e?;(2) a ba b= 0;(3) a a= | a |2或 | a |= *7a-a;(4) 1 a b 1 < 1 alibi.4 .向量的内积的运算律(1)交换律：a b = b a;(2)结合律:(后)b= Xa b)=

49、a (;(3)分配律:(a+b) c= ac+bc.教师直接给出向量内积的 基本表达式.教师引导学生学习向量内 积的概念.学生阅读课本中向量内积 的概念，在理解的基础上记忆 向量内积的概念.教师总结向量内积的含 义，以及公式中的注意事项.学生讨论求解.学生阅读课本中向量内积 的性质，在理解的基础上记忆 向量内积的性质.教师对于隼-个性质都要 引领学生从向量内积的表达式 入手，仔细推导.教师引导学生学习向量内 积的运算律.让学生明确内积 满足交换律和分配律，不满足 结合律.比如，实数乘法满足在本节中首次引 入了抽象的向量内积， 学生往往只接受具体 的基本表达式，而不能 接受a - b的含义，所 以应让学生从符号的 含义开始认识，这部分 教师必须讲解清楚.求内积题目不必 过难，重点在理解内 积的概念.两向量的内积是 两向量乘法的一种， 是学生以前所未接触 过的，与以前数量间 的乘法、实数与向量 间的乘法有很大区 另L因此运算法则、 运算律都要重新推 导，学生对于概念和 运算法则的理解和掌 握有些困难.它与实 数乘法的概念，性质新 课例2求证：11) (a+ b) (a b)= 1 a 1 2 1 bl2;(2) 1 a+ b 1 2+ 1 a