广东省汕头市高一下期末数学试卷(有答案)

1、广东省汕头市高一（下）期末数学试卷、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）设集合 A=x|0vxv2, B=x|x2+x-2>0,贝U A AB=（）A.(0, 1 B. 1, 2) C, - 2, 2)D, (0, 2)2.sin160 cos100+cos20sin10 =c_1D.3.卜列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（y=x3, x R B . y=sinx , xCRC. y= - x, xCR D.x, xC R4.已知三5,并且导（3, x）,泰（7, 12）,则x=（A.工B4 B-C.5.若 tan a=,贝U cos2a等于（）A.725B.

2、25C. 1PT6.某市重点中学奥数培训班共有示，其中甲组学生成绩的平均数是14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+n的值是（）10 .如果执行如图所示的框图，输入N=5,则输出的数等于（)乙组A.10B.7.已知11C. 12 D.130V xvyvav1,则有()loga(xy) < 0 B. 0v loga (xy) < 1 C. 1 v loga (xy) < 2 D. loga (xy) > 28.要得到 y=sin ( 2x+JU7）的图象，只需将 y=sin （- 2x）的图象（A.向左平移兀

3、单位B.向右平移7TT个单位C.向左平移丁个单位5D.向右平移个单位| 2a- b| w0,则：a与卜的夹角为9.已知平面向量本h满足：2| 3| =| b| =B.C.D.上言.£言Q11.已知b均为正数，且 a+b=1,则a,二+二的最小值为(A. 24B.25 C. 26D. 2712.已知xC R,用 A (x)表示不小于x的最小整数，如 A5)=2, A ( - 1, 2) = - 1,若 A (2x+1)=3,则x的取值范围是(A . 3、A. 1)B.(1, 亍)C怎二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分。13 .高一(4)班有5位同学参加夏令营植树活动，

4、其中男生 2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去 浇水，选出的2人都是男生的概率是 .s - 4y< - 314 .已知x, y满足不等式 Sit+SyCSS ,且函数z=2x+y - a的最大值为8,则常数a的值为.兄>115 .已知函数f(x) =asinxcosx sin2x+fj"的条对称轴方程为 x二-贝U函数f(x)的最大值为 .16 .定义一种运算 a?b='：' &I：,令 f(x) = (3x2+6x)? (2x+3 - x2),则函数 f(x)的最大值是 .I b,"才匕|三、解答题(共6小题，满分70分)17 .已

5、知Sn为等差数列an的前n项和，且a1= - 15, S5= - 55.(1)求数列an的通项公式；(2)若不等式Sn>t对于任意的nCN*恒成立，求实数t的取值范围.18 .在4ABC中，角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c,且满足csinA - V3acosC=0.(1)求角C的大小；(2)若c=2,求 ABC的面积S的最大值.19.从某大学一年级女生中，选取身高分别是150cm、155cm、160cm、165cm、170cm 的学生各一名，其身高和体重数据如表所示:身高/cm (x)150155160165170体重/kg (y)4346495156(1)求y关于x的线性回归方

6、程;168cm时，体重的估计值为多少?线性回归方程参考公式:(2)利用(1)中的回归方程，计算身高为20.设函数 f (x) =ax2 (a+1) x+1.(1)若不等式f (x) v mx的解集为x| 1V xv 2,求实数a、m的值;(2)解不等式f (x) <0.21 .已知Sn是数列an的前n项和，且Sn=2an+n-4.(1)求a1的值;(2)若bn=an- 1,试证明数列bn为等比数列;(3)求数列an的通项公式，并证明:22 .对于函数y=f (x),若x0满足f (xo) =xq,则称x。为函数f (x)的一阶不动点，若x。满足f f (xq) =x。, 则称xq为函数f

7、 (x)的二阶不动点，(1)设f (x) =2x+3,求f (x)的二阶不动点.(2)若f(x)是定义在区间D上的增函数，且xq为函数f (x)的二阶不动点，求证：xq也必是函数f(x)的一阶不动点；(3)设f (x) =ex+x+a, aC R,若f (x)在0, 1上存在二阶不动点 xq,求实数a的取值范围.广东省汕头市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，满分60分)1 .设集合 A=x|0vxv2, B=x|x2+x-2>0,贝U A CB=()A. (0, 1 B. 1 , 2) C. - 2, 2)D. (0, 2)【考点】交集及

8、其运算.【分析】 求出B中不等式的解集确定出 B,找出A与B的交集即可.【解答】 解：由B中不等式变形得：(x- 1) (x+2) > 0,解得：xw 2 或 x>1,即 B= (8, - 2 U 1 , +oo),A= (0, 2),A AB= 1 , 2),故选：B.2 . sin160 cos100+cos20 sin10=()A.-V3ZB.Vs2C.D.【考点】两角和与差的余弦函数；运用诱导公式化简求值.【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得所给式子的值.【解答】 解：sin160cos10 +cos20 sin10 =sin20cos10+cos20 sin

9、10 =sin (20 +10°)故选：C.3 .下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()IA. y=x3, x C R B. y=sinx , xCRC. y= -x, xCR D, y=(5)x, x R【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断.【分析】 根据奇函数的定义，哥函数和一次函数，正弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出 正确选项.【解答】 解：A. y=x3在定义域R上是增函数，该选项错误；B. y=sinx在定义域上没有单调性，该选项错误；C. y=-x是奇函数，且在定义域上为减函数，该选项错误；D.y=(：)”的图象不关于原点对称，不是

10、奇函数，该选项错误.故选：C.4 .已知副&并且臼=(3, x),国二(7, 12),则x=(A. - -B.4C.【考点】平面向量的坐标运算.【分析】根据向量垂直得到关于 x的方程，解出即可.【解答】解：，后，E，二(3, x),诙(7, 12),，21+12x=0,解得：x=- 一,45 .若 tana=A- 25 B, - 25 C- 1【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用.【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cos2 a的值.【解答】4.3解：.tana=5 一 sinCL1 - CL，则 cos2“二 c/口$”口 =l+tan?U6 .某市重点中

11、学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+n的值是(甲组 乙组87(5488 5 w 29A. 10 B. 11 C. 12D. 13【考点】茎叶图.【分析】利用平均数求出 m的值，中位数求出n的值，解答即可.【解答】解：二.甲组学生成绩的平均数是 88,.由茎叶图可知 78+86+84+88+95+90+m+92=88 X 7, /. m=3又乙组学生成绩的中位数是89,n=9, /. m+n=12 .故选：C.7 .已知 0V xvyvavl,则有()A . loga ( xy) &

12、lt; 0 B. 0V loga (xy) < 1 C. 1 v loga (xy) v 2 D. loga (xy) >2 【考点】对数值大小的比较.【分析】利用对数函数的性质，比较logay、logax与1的大小，可得结论.【解答】 解：Ovxvyvav 1 logax>logaa=1, logay> logaa=1loga (xy) =log ax+logay>2故选D.8.要得到 y=sin ( 2x+）的图象，只需将 y=sin （- 2x）的图象（7CA.向左平移二小单位C.向左平移；个单位兀B .向右平移下个单位D.向右平移匕个单位【考点】函数y=A

13、sin （cox+j）的图象变换.利用函数y=Asin （cox+（j）的图象变换规律，诱导公式，得出结论.将 y=sin解：y=sin ( 2x（-2x）的图象向右平移)=sin 2 (x媪个单位，可得y=sin - 2 （xTT)=sin兀 2x4）的图象,9 .已知平面向量 & 方满足：2| a| =| b|=| 2a-b| *0,则周与E的夹角为（）兀八2兀 5兀A.京 C'» k【考点】平面向量数量积的运算.【分析】对条件|的两边平方即可得出4|a|2 - 8|a|2cos< a,甘>:0,这样即 可求出8号< a., b>的值，从而

14、得出向量 型 b的夹角.【解答】解：根据条件，4a =4a，且|b二2直|；I 2 - 8 G I Zcos<, 4- 8coy a, b>=Q;Z un回与上"的夹角为.J故选：A.A.c.【考点】程序框图.S-【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出 值.【解答】 解：n=5时，k=1 , S=0,第一次运行：S=0i 1 =, k=1<5,1乂2 2_ . ,八 L 1 I 2第二次运行：k=1+1=2, SmfW k=2v5,2 2 久 3 3上，k=3<5, 4第三次运行：k=2 + 1=3,二二二一一LJ 3人44 14第四次运行：

15、k=3 + 1=4, S=-4-=, k=4<5,q 4x5 5415第五次运行： k=4+1=5, S=-=-, k=5 ,5 5 X 名 6结束运行，输出 S=- 皿4 911 .已知a, b均为正数，且 a+b=1,则+一的最小值为（）A. 24 B. 25 C. 26 D. 27【考点】基本不等式.【分析】 运用1的代换和基本不等式即可求得的最小值.a b【解答】解：二已知a, b均为正数，且a+b=1,：.-+= (+) (a+b) =4 + +a+9>l3+2uL X=13 + 12=25,a b a ba b Vab当且仅当2b=3a时取得等号，故包+9的最小值为25

16、.a b故选：B.12 .已知xC R,用A (x)表示不小于 x的最小整数，如 A (V3) =2, A (- 1, 2) =T,若A (2x+1)=3,则x的取值范围是（）A 3、-A . 1）B. （1,【考点】进行简单的合情推理.【分析】由A （2x+1） =3可得2<2x+1W3,从而解得x的取值范围.【解答】 解： A (2x+1) =3, .-.2<2x+1<3,解得，xC (2，1,故选：D.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分。13 .高一（4）班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生 2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去 浇水，选出的2

17、人都是男生的概率是.-I】o一【考点】 古典概型及其概率计算公式.【分析】先求得所有的取法总数为 C，再求出选出的2人中都是男生的取法数是 c 从而求得选出的2人 都是男生的概率.【解答】解：由题意得，选出的2人都是男生的概率是：=10；故答案为：14.已知x,且函数z=2x+y - a的最大值为8,则常数a的值为 4【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由 z=2x+y- a 得 y= - 2x+z+a,平移直线 y= - 2x+z+a,由图象可知当直线 y= -

18、2x+z+a经过点C时，直线y= - 2x+z+a的截距最大,此时z最大.代入目标函数 z=2x+ya得z=2x 5+2a=8.得 12 - a=8,则 a=4,故答案为：415.已知函数f (x) =asinxcosx sin2x+1的一条对称轴方程为 x=-r- ,则函数f (x)的最大值为1【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性.【分析】 本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值.【解答】解：f (x) =rsin2HttcosSx , zz兀 I兀、 :是对称轴，f (0) =f (), 63" "， f Cx)sin (2x

19、+-,最大值为 1.故答案为1. I 与 a<b .16 .定义一种运算 a?b=】令f (x) = (3x2+6x) ? (2x+3-x2),则函数f (x)的最大值是4(bi【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】 运用分段函数的形式，求得 f (x)的解析式，分别求得 f (x)在两段上的最大值，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系.【解答】解：: a?b二.f (x) = (3x2+6x) ? (2x+3x2)- Ji 或 *< 日2- 3,154当w xw时，f (x) =3x2+6x=3 (x+1)可得f (x)在x= - 1处取得最小值-3；在x=C处取得最大值 2,

20、1 .3, 一当 x>去或 xv 时,f (x) =-x2+2x+3=-当x=1时，f (x)取得最大值4.综上可得，f (x)的最大值为4.故答案为：4.三、解答题(共6小题，满分70分)17 .已知Sn为等差数列an的前n项和，且ai=- 15, S5= - 55.(1)求数列an的通项公式；(2)若不等式Sn>t对于任意的nCN*恒成立，求实数t的取值范围.【考点】 数列的求和；数列递推式.【分析】(1)利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出.(2)利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出.【解答】 解：(1)设等差数列an的公差为d,则由 a1=15, 5d,得

21、-15X 5+10d= - 55,解得d=2,%=- 15+ (n- 1) ?2=2n - 17,，数列 an的通项公式为an=2n - 17.(2)由(1)得 Sn=-nd 16n ,Sn=n2 16n二亿- 8) 2- 64- 64,，对于任意的ne N* , Sn>- 64恒成立，若不等式Sn>t对于任意的nCN*恒成立，则只需tv - 64, 因此所求实数t的取值范围为(- 8, 64).18 .在 ABC中，角A、B、C所对的边分别是 a、b、c,且满足csinA - JacosC=0.(1)求角C的大小；(2)若c=2,求 ABC的面积S的最大值.【考点】正弦定理.【分

22、析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 匝心足砧,血切式,结合sinAw。，可求tanC=有，结 合范围0vCv兀，即可求得C的值.（2）由已知及余弦定理得 4=a2+b2-ab,结合基本不等式可求 ab<4,根据三角形的面积公式即可得解.【解答】解：（1） csinA _ V3»cosC=0 ,，由正弦定理得3inCsinA=V3sinAcosC ,0V Av 兀，.sinAw。， tanC=/3,0<C< 兀,JI c.（2）由余弦定理得c2=a2+b2 - 2abcosC,又 c=24=a2+b2 - ab,/ a>0, b>0,ab+4=a2+b2

23、> 2ab, ，abw4,当且仅当a=b=2时等号成立， ，S福色4母名士也=4加（右，当且仅当a=b=2时等号成立,.ABC的面积S的最大值为19.从某大学一年级女生中，选取身高分别是150cm、155cm、160cm、165cm、170cm 的学生各一名，其身高和体重数据如表所示:身高/cm (x)150155160165170体重/kg (y)4346495156（1）求y关于x的线性回归方程;168cm时，体重的估计值为多少?线性回归方程参考公式:（2）利用（1）中的回归方程，计算身高为【考点】线性回归方程.【分析】（1）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最

24、小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；(2)由回归直线方程，计算当 x=168cm时，即可求得体重的估计值【解答】解：(1)由已知数据，可得 及4(150十155十160十165+170)二161， 5于 4143+非+49 + 51+56);4£，5_£ (y-*)(¥y)=(150- 160)(43- 49)f(155 -160)(46 - 49)+(160 160)(g-49；t=i 1(51 - 49) + (56- 49) =155,£ (空工一=)?=(150- L6U)2+(i55- 160)斗(16。

25、- 160) 2+(165- 160产+(170- 160)。250 ,匕15_-工(町一笈)-甘), bLJ冬 625250£- I)1=1=y - .=49/Q， 62X16。二15。.7，y关于x的线性回归方程为 y=0.62x - 50.2 ,(2)由(1)知，当 x=168 时,尸0.62义 168 50, 2=53,认(kg)因此，当身高为168cm时，体重的估计值.为53.96kg.j20 .设函数 f (x) =ax2- (a+1) x+1.(1)若不等式f (x) v mx的解集为x| 1 v xv 2,求实数a、m的值;(2)解不等式f (x) <0.【考点

26、】一元二次不等式的解法；二次函数的性质.a、m的值;【分析】(1)根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求出实数(2)不等式化为(ax- 1) (x- 1) < 0,讨论a=0和a>0、av 0时，求出不等式f (x) v 0的解集即可.【解答】 解：(1) f (x) =ax2- (a+1) x+1,不等式 f (x) v mx 等价于 ax2- ( a+m+1) x+1v0,依题意知不等式 ax2- (a+m+1) x+1 v 0的解集为x| 1 vxv 2,a> 0且1和2为方程ax2- (a+m+1) x+1=0的两根，ra>01+2=5 1X2=-

27、1一72,；m=O，实数a、m的值分别为a=1、m=0, (2)不等式 f (x) v 0可化为(ax - 1) (x- 1) v 0,(i )当a=0时，不等式f (x) <0等价于-x+1<0,解得x> 1,故原不等式的解集为x|x>1,(ii )当a>0时，不等式f (x) v 0等价于当0v av 1时上>1,不等式"-与(x - 1)< Q的解集为k |,即原不等式的解集为当a=1时，不等式& 1,8(K-L)1)<O的解集为Ma即原不等式的解集为当a> 1时L<1,不等式(菖一的解集为K<K<

28、1,即原不等式的解集为(iii )当av 0时，不等式f (x) V 0等价于a< 0,X<13，不等式(方一工)(算一 1) >0的解集为x| xL或x>1,即原不等式的解集为x|xL或x> 1 , a综上所述，当a> 1时不等式f (x) v0的解集为七"1,当a=1时不等式f (x) v 0的解集为 想当0vav 1时不等式f (x) v 0的解集为x|l<K<),a当a=0时不等式f (x) <0的解集为x|x>1,当av 0时不等式f (x) v 0的解集为为x|xL或x>1.a21 .已知Sn是数列an的前

29、n项和，且Sn=2an+n-4.(1)求a1的值;(2)若bn=an- 1,试证明数列bn为等比数列;c 一，一 111,(3)求数列an的通项公式，并证明： + <1.鼻1 口2 an【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定.【分析】(1)直接令n=1代入计算即可；(2)通过Sn=2an+n-4与Sn-i=2an-i+n- 5作差、变形可知 方=2an - 1,进而整理即得结论;(3)通过(2)放缩可知 十<±,进而利用等比数列的求和公式计算即得结论.【解答】(1)解：Sn=2an+n- 4, ai=Si=2ai+1 4,即 a1二3；(2)证明：.Sn=2an+n

30、- 4,当 n>2 时，Sn i=2an i+n- 5,两式相减得：an=2an _ 2an 1 + 1 ,即 an=2an- 1 ,变形，得：an- 1=2 (an-1 - 1),由(1)可知 bi=ai-1=2,故数列 bn是首项、公比均为 2的等比数列；(3)证明：由(2)可知an=2n+1,1 1 I 1.= < -，% 1+2“ 2n.+ +< + +922.对于函数y=f(x),若x0满足f(X0)=X0,则称X0为函数f (x)的一阶不动点，若X0满足f f (xo) =xo,则称x0为函数f (x)的二阶不动点，(1)设f (x) =2x+3,求f (x)的二阶不动点.(2)若f (x)是定义在区间 D上的增函数，且x0为函数f (x)的二阶不动点，求证：x0也必是函数f (x) 的一阶不动点；(3)设f (x) =ex+x+a, aC