尼科尔森微观经济理论基本原理与扩展第11版课后习题详解8章博弈论

1、第 8 章博弈论1考虑下面的博弈：图 8-1博弈矩阵a找到纯策略均衡（如果存在）b在均衡中各个参与人只会在前两个行动之间随机选择，找到此时的混合策略衡。均c计算问题 a、b 中得到的均衡中各个参与人的期望。d画出这个博弈的扩展式。解：a对于参与人 1 来说：1 选择 A，则参与人 2 会选择 E；1 选择 B，则参与人 2 选择 D；1 选择C，参与人 2 会选择 F。同样地，对于参与人 2 来说：2 选择 D，参与人 1 选择A；2 选择E，1 选择 B；2 选择 F，1 选择C。因此，此博弈的纯策略均衡为：（C,F）。b此时博弈矩阵为图 8-2 博弈矩阵设参与人选择 A 的概率为r ，参与

2、人 2 选择D 的概率为 s ，那么参与人 1 的期望表示为：可E1 = 7rs + 5r(1 - s) + 5(1 - r= 2r(2s - 1) - 2s + 7若 s > 0.5 ，随着r 的增加参与人 1 的期望增加；若 s < 0.5 ，随着r 的增加参与人 1 的期望减小；若 s = 0.5 ， r 不影响参与人 1 的期望。同理，参与人 2 的期望为E2 = 6rs + 8r(1 - s) + 8(1 - r )= (- 4r + 2)s + 2r + 6若 r > 0.5 ，随着 s 的增加参与人 1 的期望减小； 若 r < 0.5 ，随着 s 的增加

3、参与人 1 的期望增加；若 r = 0.5 ， s 不影响参与人 1 的期望。综上所述，该博弈的混合策略选择 D，E 的概率也各占 1/2。均衡为参与人 1 选择A，B 的概率各占 1/2，参与人 2均衡点为（C,F），此时 E1a = E2a = 4 。c在a 中，参与人的纯策略在 b 中，= 4rs- 2s + 7 = 4E1b4rs + 2r + 2s + 6 =E2bd参与人 1 先做出选择的博弈扩展式为：图 8-3战2在图 8-4 的般解，假设该博弈的之，混合策略均衡会与的数值相关。为了得到一个一矩阵是：图 8-4战博弈矩阵其中， K ³ 1 。说明该博弈的混合策略均衡如何

4、依赖于 K 的值。解：假设参与人 1 以概率 r 去看芭蕾，2 以概率 s 去看芭蕾，则 A 的期望效用为：E (UA ) = 1- s + r éB 的期望效用为：E (UB ) = K (1- r ) + s éë(K +1)r - K ùû因而可得混合策略均衡为：s = 1 / ( K +1) ， r = K / (3“胆小鬼”博弈描述的是，在一条单行道上，两个血气方刚的年轻人面对面地驾车冲向对方。第一个转向的人会被打上胆小鬼的烙印，而没有转向的人则会受到其他年轻人的尊重。当然，如果双方都不转向，两个人都会因为撞车而矩阵如下图所示。胆小鬼

5、博弈的图 8-5 胆小鬼博弈矩阵a画出博弈的扩展式。b找出博弈的纯策略均衡？c计算混合策略均衡，作为的一部分，画出混合策略的最优反应函数图形。d假定博弈是序贯进行的，其中年轻人 1 首先行动，他扔掉了汽车的方向盘以此来承诺他选择转向。此时年轻人 2 应该选择怎样的策略？写出这个序贯博弈的标准式和扩展式。e利用序贯博弈的标准式求出均衡。f求出这个序贯博弈的严格子博弈。运用逆向归纳法求解子博弈完美均衡，并且解释为什么另一个均衡是不合理的。解：a分别用 A，B 代表两个年轻人。博弈的扩展形式可表示为：图 8-6 博弈树b该博弈存在两个均衡：（转向，不转向）、（不转向，转向）。c设年轻人 1 转向的概

6、率为r ，年轻人 2 转向的概率为c ，那么年轻人 1 的期望为：E1 = 2rs + r(1 - s) + 3(1 - r)s = (- 2s + 1)r + 3s若 s > 0.5 ，随着r 的增加参与人 1 的期望减少； 若 s < 0.5 ，随着r 的增加参与人 1 的期望增加；若 s = 0.5 ， r 不影响参与人 1 的期望。同理，参与人 2 的期望为：E2 = (- 2r + 1)s + 3r若 r > 0.5 ，随着 s 的增加参与人 2 的期望减小； 若 r < 0.5 ，随着 s 的增加参与人 2 的期望增加；若 r = 0.5 ， s 不影响参与

7、人 2 的期望。综上所述，该博弈的混合策略均衡为年轻人 1 选转向、不转向的概率各占 1/2，年轻人 2 选择转向、不转向的概率也各占 1/2。混合策略的最优反应图像：图 8-7 混合博弈d该序贯博弈的标准式和扩展式可表示为：图 8-8序贯博弈图 8-9博弈树e该序贯博弈中有三个均衡：年轻人 1 转向，年轻人 2 总是不转；年轻人 1 不转，年轻人 2 总是转向；年轻人 1 不转，年轻人 2 总是与年轻人 1 做法相反。f这个序贯博弈的严格子博弈均衡是年轻人的策略总是与年轻人 1 的策略相反。e 中年轻人 1 选择不转向，年轻人 2 总是选择转向是不合理的，因为年轻人 2 在觉察到年轻人 1有

8、可能转向时他会选择不转向。同理，年轻人 1 转向，年轻人 2 总是选择不转向也是不合理的，因为如果他察觉到年轻人 1 可能不转向，他会选择转向。4两个邻居， i = 1,2 ，同时选择花费多少时间li 来修剪草坪。每小时的平均为：+ l j10 - li2同时，机会成本为每小时 4 元。房主i 的平均随邻居 j 1 除草时间的增加而增加，这是由于邻居环境的美化能够增加的价值。a计算均衡。b画出最优反应函数，并且在图中标注出均衡。c用图形说明，如果邻居的平均函数的截距由 10 变为一个比 10 小的数值，均衡如何变化。解：a p (l ) = æölç10 - l+

9、÷ × l - 4l 2ji iiiièø利润最大化的一阶条件为：l j+ l jp ¢(l ) = 10 - 2li + 2 - 4 = 6 - 2l= 0 ，即得房主的反应函数：iii212 = 4li - l j同理可得邻居的反应函数：12 = 4l j - li均衡解li * = l j * = 4 。，交点即表示联立两式子求得b最优反应函数均衡点。图 8-10 最优反应函数图函数的截距由 10 变为一个比 10 小的数值 a ，利用 a 中的方法，c如果邻居的平均同样可以得到此时房主和邻居的最优反应函数：ì2(a - 4)

10、= 4li - l jí( - 4) = 4l - l2 aji()()a - 4 3a - 4 3æ 2ö2(4,4)均衡点为ç,÷，这一点较点更加靠左下，意味着房主及其邻èø居修剪草坪的时间变短了。5镜头阐述了获奖美丽心灵用戏剧的手法讲述了的一生，其中有一个在学术上的贡献：他和他的男在酒吧中闲聊的过程时，想到了均衡的概念。他们注意到酒吧中有几个女生，其中一个女性是金发的，其他的都是深褐色头发，他们都认为金发的女生要比深褐色头发的女生更有。把这一场景视为几个男学生之间的博弈。假设 n 个男生同时接近这些女生。如果男生i 单

11、独接近金发女生，那么地和金发女生，得到 a 的他就能。如果接近金发女生的男生人数多于 1 个，那么由于竞争，这些男生都得不到金发女生的青睐，他们只能得到 0 的。然而，如果男生i 接近深褐色头发的女生，他们一定能够与深褐色头发女生，获得b > 0 的，因为深褐色头发的女生数量比男学生的数量多。也就是说，i 一定能够与深褐色头发的女生。同时因为金发女生更迷人，所以 a > b 。a证明这个博弈不存在一个对称的纯策略均衡。b求解出对称的混合策略均衡，即令 p 为一个男生选择接近金发女生的概率，求解p 。c证明下面结论：酒吧中男生越多， b 里的均衡中，至少有一个男生的概率越低。金发女生

12、解：a如果所有男生都选择与金发女生，则会有男生背离这个而选择与深褐色头发女生，因为当接近金发女生的男生人数多于 1 时，即为 0；而与深褐色头发女生能获得正的利而选择与金发女生。如果所有男生都选择与深褐色头发女生，也会有男生背离这个，因为金发女生获得的大于和深褐色头发女生的。因此这个博弈不存在一个对称的纯策略均衡。一定能得到b ，而与金发女生b与深褐色头发女生a(1- p)n-1 。对称的混合策略能得到的期望为相等，即b = a(1- p)n-1均衡是使两者可解出：。1p* = 1 - æ b ön -1ç a ÷èø11-æ

13、; b ö1n金发女生的概率为：1 - (1 - p*)n = 1 -ç a ÷c至少有一个男生èø，é 1 ù¶ê1 - æ b ö1- 1 úç a ÷n úêèø 1 -1 n æ b öëû1n= -1-< 0注意到 n > 1时，ç÷，随着 n 的增加，显然这个概¶nn - 1è a ø率是下降的。6下面的

14、博弈是 徒困境的一个版本，其中与图 8-11 中的博弈有些许变化。图 8-11徒困境a说明这个博弈的略。均衡与普通的 徒困境博弈相似，同时两个参与人都有占优策b假设这个阶段博弈重复无限次。计算出贴现因子在什么范围内，两个嫌疑人能够在各个阶段都采取合作策略（）。描述其中使用的触发策略。解：a对于嫌疑人 1 来说，如果他选择告发，那么嫌疑人 2 会选择告发；如果他选择沉默，2 会选择告发。因此，不难看出告发对嫌疑人 2 来说是占优策略选择。同样地，对于嫌疑人 2 来说，如果他选择告发，嫌疑人 1 也会选择告发；如果他选择沉默，1 会选择告发。因此不难看出告发对嫌疑人 1 来说是占优策略选择。综上所

15、述，双方的告发都是占优的。均衡是（告发，告发），不论对于嫌疑人 1 还是嫌疑人 2 来说，b当博弈重复无限次时，均衡为（沉默，沉默）。假设从某一局博弈开始，嫌疑人 1 选择告发，嫌疑人 2 选择沉默，那么从下一局博弈开始，嫌疑人 2 为嫌疑人 1 的告为，选择一直告发，则此时博弈的均衡变为（告发，告发）。嫌疑人 1 选择告发时，其为：¥10å tE = u +u dt =1= 1 + 3d + 0 + 0 + . = 1 + 3dt嫌疑人 1 选择沉默时，其为：¥+ åu d t = 1 + d + d 2 + . = 1 E = u1 - d20tt

16、=1当 E2 > E1 时，两个嫌疑人会一直采用合作（沉默）策略，此时有> 1 + 3d ， d > 211 - d37回到练习题 8.5 中两个邻居之间的博弈。参与人i 修剪草坪的每小时平均还是10 - l + l j 、参与人 2 的机会成本保持 4 不变；而参与人 1 的机会成本会以相同的概率变为i23 或 5，参与人 1 的成本是他的私人信息。a求解-均衡。b用最优反应函数图形表示-均衡。c哪种类型的参与人 1 倾向于参与人 2 传递真实的信号？哪种类型的参与人 1 倾向于的私人信息？隐藏解：a当参与人 1 的机会成本为 3 时，p (l ) = æ10 -

17、 löl+× l - 3lç2 ÷21 1111èø利润最大化的一阶条件：+ l2+ l2p ¢(l ) = 10 - 2l- 3 = 7 - 2l= 01 11122可解出参与人 1 的反应函数：l= 3.5 + l2L14同样地分析可得，当参与人 1 的机会成本为 5 时，参与人 1 的反应函数为：l= 2.5 + l2H 14参与人 2 的利润函数：p (l ) = æ10 - l +l - 4lElöç1÷ 22 222è2ø由此解出参与人 2 的反应函数为

18、l = 3 +，其中 El = 1 l+ 1 lEl121L1H 1422ìlL1 = 4.5ï联立相关方程可得到均衡解ílH 1 = 3.5ïl= 4î 2.图 8-12均衡b如图 8-12 所示，BRHC (l2 )表示参与人 1 机会成本为 5 时的最优反应函数，BRLC (l2 )表示参与人 1 机会成本为 3 时的最优反应函数， BRLC (l1 )表示参与人 2 的最优反应函数，HC 点表示参与人 1 机会成本为 5 时的最优均衡点，LC 点表示机会成本为 3 时的最优纳什均衡点。c当参与人 1 机会成本为 3 时，在a 中均衡下的

19、为：p= æ10 - 4.5 + 4 ö ´ 4.5 - 3 ´ç2 ÷1Lèø然而在全信息下均衡求得为(l ,l ) = æ 68 , 62 ö ，带入利润函数可得：ç 15 15 ÷1 2èøæ 0 - 68 + 31 ö ´ 68p ¢ç1515 ÷151Lèø参与人 2 传递真实的信号。因此，参与人 1 倾向均衡下的为p1H = 12.25 ，全信类似的，当参与人 1

20、机会成本为 5 时，æ 52 58 ö息下的均衡为ç÷ ，带入利润函数后可得：，è 15 15 øæ 0 - 52 + 29 ö ´ 52p ¢ç1515 ÷151Lèø的私人信息。因此参与人 1 倾向于隐藏8在德克萨斯中，参与人 2 首先从标准牌堆中抽出一张纸牌，并且将纸牌背对自己，让参与人 1 看到纸牌的大小，而不看。参与人 1 首先行动，决定是保留还是盖牌。如果参与人 1 盖牌，他必须向参与人 2 支付 50；如果参与人 1 选择保留，则参与人 2开

21、始动。参与人 2 可以选择盖牌和开牌。如果参与人 2 盖牌，她必须向参与人 1 支付 50 美元；而如果参与人 2 选择开牌，则双方查看纸牌的大小。如果是小牌（2-8），参与人 2 就输 100与人 2。给参与人 1。而如果是大牌（9，10，J，Q，K，A)，参与人 1 就输 100给参a画出博弈的扩展式。b求解杂合均衡。c计算各参与人的期望。解：a博弈的扩展式如图 8-13。其中 Pr(H )和 Pr(L)分别表示在观察到参与人 1 行动前，参与人 2 对牌大小的信念。图 8-13 混合策略均衡b在一个混合均衡中，至少有一个参与者的选择策略是混合策略。如果参与者 1 看到是小牌，他的纯策略均

22、衡是选择保留；那么当他看到的是大牌时，他的选择策略一定是随机的。这是因为如果参与者 1 的纯策略选择是要么保留要么盖牌，参与人 2 的最有反应同样也是一个纯策略，此时的均衡不可能是混合均衡。设参与人 1 看到大牌后选择保留的概率是a ，则看到大牌后盖牌的概率是1 - a ；同样设 2 看到大牌后保留的概率为 b 。b 应保证参与人 2 在保留和盖牌之间的选择是无差异的，即参与人 2 看到大牌后选择保留的应当与看到大牌后选择盖牌的相等，即：- 50 = (-100)b + 50(1 - b ) ，b = 2 / 3 。要保证参与人 2 的策略选择是随机的，则由其在保留和盖牌之间的选择是无差异的，

23、因= 100P(H | 保留)+ (-100)1 - P(H | 保留) = -50 。其中 此有参与人 2 的保留 P(H | 保留) 是一种后验概率， 即参与人 1 在大牌情况下保留的概率。P(H | 保留) = 1/ 4 。根据后验概率 P(H | 保留)满足法则，有P(保留| H )P(H )P(H | 保留) =P 保留| H )P(H ) + P(保留| L)P(L)(6 a= 13= 6a= 16 a +76a + 741313a* = 7 /18总而言之，在混合均衡中，参与人 1 看到小牌总会选择保留，看到大牌后选择保留的概率是 7/18,选择盖牌的概率是 11/18。参与人

24、2 在保留和盖牌之间的选择是随机的，其概率分别是 2/3 和 1/3。参与人 2 的后验信念是如果参与人 1 选择盖牌，则参与人 1 的牌面是大牌；若参与人 1 选择保留，则参与人 1 有 1/4 的概率是大牌，3/4 的概率是小牌。c看到小牌的期望= 100´ 2 + 50´ 1 = 83.3 ，看到大牌的期望= -50（因为33在均衡状态下参与人在看到大牌后保留和盖牌的期望效用一样，都是- 50）。在给定看到76大牌和小牌的先验概率，参与人 1 的期望= 83.3 ´- 50´= 21.8 ，参与人 2 的期1313望= -50（因为在均衡状态下参与

25、人 2 在保留和盖牌之间的效用一样。）由此，此博弈对参与人 1 有利。9之前讨论过的最后通牒博弈。首先行动的参与人提出一个分配 1的方案。令 r 为另一个参与人得到的份额（即先行动的参与人保留1 - r ），其中0 £ r £ 1/ 2 。然后第二个参与人行动，选择接受或者拒绝这个提案。如果回应人接受提案，两个参与人会按照提案获得相应的；如果回应人拒绝，两个参与人就什么都得不到。如果回应人接受或者拒绝一个提案的a. 假设参与人只在意金钱弈完美均衡。b. 比较最后通牒博弈和是无差异的，回应人就会选择接受。请证明在前文中提到的结果是最后通牒博弈的博者博弈的结果（在之前内容中也提

26、到过），即提案人在决策时并考虑回应人的行动（实际上这个博弈并不是策略博弈）。c现在假定参与人会同时考虑公平和金钱。的效用函数为；Fehr 和 Schmidt 的文献，假定参与人U (1 - a | x1 - x2 |其中， x1 为参与人 1 的， x2 为参与人 2 的（对于参与人 2，对称的效用函数同样成立）。函数中的第一项反映了参与人对金钱的渴望，第二项反映了对公平的考虑， 即两个参与人的不能相差太多。参数 a 衡量了参与人对公平的偏好。假设 a < 1/ 2 。1. 求解在最后通牒博弈中回应人的均衡策略。2. 在考虑到回应人的行动后，求解提案人的均衡策略 r * 。提示： r *

27、 会是一个角点解， 并且与a 的取值有关。3在公平偏好下，比较最后通牒博弈和结果匹配的结果，特别是最后通牒博弈比 弈是否存在最公平的分配方式？者博弈结果的区别。并且找到与前文中实验者博弈分配方式更公平的结果。最后通牒博解：a参与人 1 的为p1 = 1 - r ，参与人 2 的为p 2 = max r,0，当r = e （其中e 为任意小的）时，参与人 2 选择接受提案，此时，参与人 1的选择为：max p1 = 1 - r ，因此参与人 1 选择r = e ，所以存在唯一的子博弈完美均衡，即 r = e 。r ³0者博弈中，博弈的均衡提案为r = 0 ，此时与最后通牒博弈相比，参与

28、人 2b在的境况变差而参与人 1 的境况变好。c1回应人的选择问题为：max U2 = r2 - a | r2 - (1 - r1 ) |r2 ³0s.t. r2 £ r1r2 = r1 。2提案人的选择问题为：max U2 = 1 - r1 - a | 1 - r2 - r1 |r2 ³ 0s.t. r2 = r1当 a < 1/ 2 时， r1 = r2 = 0 ； a ³ 1/ 2 时， r1 = r2 = 1/ 2 ，又因为假设了 a < 1/ 2 ，所以 r* = 0 。3在公平偏好下，参与人 1 不仅仅考虑能获得的金钱，同时要考虑

29、参与人 2 所获得的金钱对的效用的影响，因此参与人 1 会适当的考虑提案的公平。而在最后通牒博弈和者博弈中，参与人 1 的效用只与所能获得的金钱有关，而同参与人 2 所能获得的金钱无关，因此参与人 1 只会考虑钱。所能获得的金钱，而考虑参与人 2 所能获得的金由前文实验的结果可知最后倾向于 50 对 50，因此可知参与人是公平偏好的，并且a ³ 1/ 2 ，当r1 = r2 = 1/ 2 ，U1 = U2 = 1/ 2 ，此时分配最公平。10在论家庭中，奖得主提出了著名的坏孩子定理。坏孩子定理是由一个序贯博弈得出，博弈是在一个潜在的坏孩子（参与人 1）和孩子的家长（参与¢收

30、入 Y (r)Y (r) > 0 和父母收入人 2）中进行。孩子首先行动，选择能够影响他11¢Y (r)Y (r) > 0 的行动 r 。然后，父母行动，决定留给孩子的遗产 。孩子在乎L的效22用U1 (Y1 + L)，不过父母则是最大化U2 (Y2 - L)+ aU1 其中a > 0 反映父母的利他程度。请证明，在子博弈完美均衡中，孩子会选择合适的 r ，使得Y1 + Y2 取得最大值，即使他没有利他倾向。提示：运用逆向归纳法，首先求解父母的最优化问题，由一阶条件可以得到均 衡的 L * ;尽管不能得出 L * 的精确值，但是 L * 的微分关于r 的函数可以运用

31、隐函数法则得出（在孩子的第一阶段最优化问题中求解）。解：第二阶段中，父母关于 L 的效用最大化问题为：max U2 (Y2 (r)- L)+ aU1(Y1(r) + L)对 L 求导可得：- U2¢ (Y2 (r)- L)+ aU1¢(Y1(r) + L) = 0U2¢ Y2¢(r ) - aU1¢¢1Y1¢ (r )dL*整理可得=- U ¢ + aU ¢dr21在第一阶段，孩子的效用最大化问题为：max U ()Y (r ) -L (r )*1 1一阶条件为：¢dL*() +U1 Y1 rd

32、r= æU1¢öéY ¢(r)()(-)(U) ¢ + aU ¢¢ + U Y ¢¢¢rùúûç÷êë- aU Y ¢¢r¢U + aU¢¢¢¢1212 211-è21 øæU1U2¢¢¢öé¢Y ()()ùû¢= ç&

33、#247;+ Y rrè - U2¢¢+ aU1¢¢øë12¢由上述等式可得Y (r)+Y (r) = 0 ，所以，在子博弈完美均衡中，孩子们会选择合适的¢12r ，使得Y1 + Y2 取得最大值，即使他没有利他倾向。11假设 徒困境阶段博弈重复进行无限多次。a参与人能否利用以牙还牙策略得到合作的结果，即在出现背离时只转向阶段博弈纳什均衡一个回合，在这个回合后就回到合作策略？两个回合的惩罚够不够？b假设参与人会使用下面的策略，即在出现背离时，会转向阶段博弈均衡 10 个回合，然后才回到合作策略。计算能够实

34、现合作并且最大化双方总取值。的临界贴现因子的解：a沿着均衡路径，每个参与人在每个时期都选择，则每个人各个时期可21 - d获得 2 的，其总的贴现值为。如果在出现背离时采取以牙还牙的策略，则在21- d一个回合后回到合作策略的贴现值为3 + d + d 2 ×。因为在背离的第一阶段，为 3，第二阶段为不合作的惩罚，为 2。为 1，第三阶段回到合作的策略上，为 2，以后各期均要使参与者在一个回合后回到合作，则要223 + d + d 2 ×>1 - d1 - d化简有d 2 > -1 ，0 £ d < 1 。如果采取两个回合的惩罚，则在两个回合后回到合作策略的贴现值为：21 - d3 + d + d 2 + d 3 ×要使参与者在两个回合后回到合作，则要223 + d + d 2 + d 3 ×>1- d1- d0 £ d < 0.62 。b如果采取 10