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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上序言1.研究对象复数变量之间的依赖关系复变函数、主要是解析函数的运算和性质。2.研究方法利用分析和几何的方法研究解析函数。3.理论的建立与展开参照高等数学，尤其前几章基本是高等数学理论的平行推广。复数与复变函数§1 复数及其运算一、复数的概念及代数表示1.定义 设为实数，形如的数称为复数，记为复数的代数表示。其中称为复数的实部；称为复数的虚部；称为虚单位。如显然有：等。全体复数构成复数域，记为。注：复数代数式中的“+”非运算符号，有时还记为。特别地，当时，称为虚数，如等（注意习惯说法，如）；当时，称为实数，如等；当时，称为纯虚数，如等。2.基本关系复数相等：

2、设，则。特别地，。复数无大小之分：比如，若，则应有，矛盾；若，则同样应有，矛盾。二、代数运算与共轭复数1.代数运算 设，则；多项式乘法；分母实数化。容易证明：上述和、差、积、商运算满足交换、结合、分配律等。为实数运算的推广。2.共轭复数称实部相同，虚部符号相反的数为的共轭复数，记为。同时构成度量复数间关系的基本单位。由定义容易证明，共轭复数有性质：反身性：；，；。仅证明，。例1 设，求。解 ，。例2 设，求。解 ， 。例3 设，求。解 由题设关系式知， 。三、复数的几何意义1.复平面复数平面点：虚轴yi y z=x+yi r (x,y) 实轴xO x ：由复数的全体实部和虚部实数构成的平面称为

3、复平面，如图：复数向量：，如图：其大小：称为复数的模；其方向：称为复数的幅角，显然，。注：10.当时，幅角不确定、无意义或无幅角。20.对，幅角有无穷多。规定位于间的幅角为的主值，记为，即。确定的方法如下：例4 设，求。解 ，；又，且在第四象限，从而， N P z y S x。2.复球面 取一个切复平面于原点的球面（如右图），切点S称为南极；过S点作平面的垂线交球面于N，称为北极。连任一点与N点的线段交球面于P点。则有下列性质或结论：，但除北极N外。一定程度可用球面上的点P表示平面上的点z。注意到，当时，对应的点z将远离原点S，即，从而规定：复平面上有唯一“无穷远点”极复数中有唯一“无穷大数”上的“无穷远点”，记为。此时，复数球面点，称此球面为复球面。并将含点的复平面称为扩充复平面，记为，即；而不含点的复平面称为有限复平面或复平面。复数唯一：，幅角不确定、无意义。对。运算：对，对。但是，无意义。四、基本问题（复变量与实变量表达式之间的转换）1.已知图形，求方程 对实表达式，利用代换化为复表达式。例5 化为复数式。解 原方程为：，代入上式，得即为所求。注：圆周的一般复方程：。2.已知方程，求图形 对复表达式，利用代换化为实表达式。例6 指出方程表示什么曲线，并图

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