圆锥曲线几何最值专题训练

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题二 压轴解答题第二关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值 类型一 离心率问题典例1 如图，在平面直角坐标系中，椭圆： 的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于， 两点（在第三象限），与椭圆的右准线交于点.已知，且.（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的标准方程.【答案】(1) ；(2) .（2）由（1），右准线方程为，直线的方程

2、为，所以， ，所以， ，所以， 椭圆的标准方程为. 【名师指点】求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值【举一反三】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为_.【答案】类型二 最值、范围问题典例2 已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点， 为椭圆上的动点， ， 面积最大值为（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为（2）【解析】（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，即， 联立，消去可得，令，则，所以，所以，所以

3、 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，综上， 的取值范围是【名师指点】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.【举一反三】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求的最小值.【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为.【解析】（1

4、）抛物线的焦点为，所以，又因为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为. .易知的斜率为，所以. .当，即时，上式取等号，故的最小值为.（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得.综上， 的最小值为.类型三 面积问题典例3 平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点.（）求点的轨迹方程；（）设点的轨迹为曲线，抛物线： 的焦点为.， 是过点互相垂直的两条直线，直线与曲线交于， 两点，直线与曲线交于， 两点，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）四边形面积的取值范围是.（）的焦点为，的方程为，当直线斜率不存在时， 与只有一个交点，不合题意.当直线斜率为时，可求得，

5、，.当直线斜率存在且不为时，方程可设为，代入得 ， ，设， ，则， ， .直线的方程为与可联立得，设， ，则，四边形的面积 .令，则， ，在是增函数， ，综上，四边形面积的取值范围是.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键【举一反三】已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)若的角平分线所在的直线与椭圆的另一个交点为为椭圆上的一点,当面积最大时,求点的坐标.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由椭圆经过点,离心率,可得,解得,所以椭圆的标准方程为直线

6、的方程为,设过点且平行于的直线为由,整理得由,解得,因为为直线在轴上的截距,依题意, ,故解得， ，所以点的坐标为【精选名校模拟】1如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，直线与椭圆交于两个不同点， ，设， ，则， ， ，又 ， 设，则， ， ，关于在单调递增，的面积的取值范围是.2. 设椭圆的左、右焦点分别

7、为，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且（）求椭圆的离心率；（）若过、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；（）过的直线与（）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由【答案】（）；（）椭圆的方程为；（）存在，直线的方程为.【解析】，再借助韦达定理来解决即可.试题解析：（）由题，为的中点设，则，由题，即，即（）设，由题异号设的内切圆的半径为，则的周长为， 因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大，由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，由韦达定理得 ，（）令，则，当时有最大值此时，故的内切圆的面积的

8、最大值为，此时直线的方程为3. 已知椭圆 的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】 (2)设， 的中点为，点，使得,则.由得，由，得.，.，即，.当时， （当且仅当，即时，取等号），；当时， （当且仅当，即时，取等号），点的横坐标的取值范围为.4. 已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同

9、的两点和,且满足（O为坐标原点），求实数的取值范围【答案】（1） ；（2）【解析】（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设将直线方程代入椭圆方程得： 6分设,则 8分当k=0时，直线l的方程为y=0,此时t=0，成立，故，t=0符合题意。5. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（）求椭圆的方程；（）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线， （为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】() ；() .【解析】（）设直线的方程为.由，消元可得，设， ，则， ，而 ，由，得，因为此等式对任意的都成立，所以，即.由题意得点在椭圆内，故，即，解得.6

10、. 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程为，联立直线与椭圆方程：，化简得：， ，设，则 ，7. 如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，因此椭圆的离心率为. （4分）8. 在平面直角坐标系xOy中，点P是圆上一动点，x轴于点D.记满足的动点M的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)已知直线与轨迹交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹于点Q，且.证明：求AOB的面积S()的解析