导数及其应用

1、1导数的概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景(2)理解导数的几何意义3导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，会求在闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5定积分与微积分基本定理(理)(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念(2)了解微积分基本定理的含义本部分内容在高考中所占分数大约在10%左右导数及其应用在高考中的题型分布大致是一个选

2、择或填空，一个解答题，分值约1719分，属于高考重点考查内容具体考查体现在：(1)简单函数求导，它是解决导数问题的第一步，应熟记导数基本公式，导数四则运算法则和复合函数求导法则(2)求曲线的切线方程，切线斜率的一类问题，包括曲线的切点问题这类问题是导数几何意义的运用，拓宽了解析几何的解题思路，凸显了数形结合的数学思想方法(3)应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题这类问题往往通过对函数求导转化为解不等式问题此处大多以考查含参二次不等式(组)为主. (4)应用导数求函数的极值、最值和值域问题这类问题与函数单调性有着必然联系，解决这类问题可借助单调性列表(或画函数示意图)求解(5)不等式恒

3、成立问题这类问题是近几年高考的热点一类是求参数取值范围，它是函数、导数与不等式的综合问题另一类是证明不等式它对综合分析和运用的能力要求较高(6)(理)对定积分部分的考查以利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积为主，高考出题较少，一般是一个小题，只对理科学生有要求2导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f (x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf (x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f (x0)(xx0)4函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增在区间(

4、a，b)内，如果f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减5导数的应用(1)求可导函数f(x)极值的步骤求导数f (x)；求方程f (x)0的根；检验f (x)在方程f (x)0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值(2)求函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求f (x)；求方程f (x)0的根(注意取舍)；求出各极值各区间端点处的函数值；比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)(3)利用导数解决优化问题的步骤审题设未知

5、数；结合题意列出函数关系式；确定函数的定义域；在定义域内求极值、最值；下结论(4)定积分在几何中的应用(理)被积函数为yf(x)，由曲线yf(x)与直线xa，xb(ab)和y0所围成的曲边梯形的面积为S.分析(1)利用yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程建立a和b之间的关系式，即可求出f(x)的解析式(2)先求出过任一点P(x0，y0)的切线方程，然后求解评析(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决评析(1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以

6、本题的易错点是把点Q作为切点求过点P的切线方程时，首先是检验点P是否在已知曲线上答案D 例2(文)(2011北京文，18)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值分析依据导数的符号来判断函数的单调性，再由单调性求最值解析(1)f(x)(xk1)ex令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)，x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ex1(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11

7、，即1k0，k0两种情况进行分类讨论x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)；单调递减区间是(k，k)当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(，k)和(k，)；单调递增区间是(k，k)x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1评析讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类

8、讨论讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制(2011南京二模)已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明f(x)x3ax1的图像不可能总在直线ya的上方解析(1)由已知f (x)3x2a，f(x)在(，)上是单调增函数，f (x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2时，对xR恒成立3x20，只需a0，又a0时，f (x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，a0.(2)由f (x)3x2a0，在(1,1)上

9、恒成立，得a3x2，x(1,1)恒成立1x1，3x23，只需a3.当a3时，f (x)3(x21)在x(1,1)上，f (x)0，即f(x)在(1,1)上为减函数，a3.故存在实数a3，使f(x)在(1,1)上单调递减(3)f(1)a2a，f(x)的图像不可能总在直线ya上方(2010重庆文，19)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f (x)是奇函数(1)求f(x)的表达式：(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解析(1)由题意得f (x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f (x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g

10、(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.评析解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转化为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解而最值问题的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点(文)烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染如图所示，已知A、B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面

11、某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比(比例系数为k)若C是AB连线上的点，设ACx km，C点的烟尘浓度记为y.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)是否存在这样的点C，若该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由解析(1)不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由ACx(0 x20)，可得BC20 x.依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：(理)(江苏启东质检)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e250108.32(亿立方米)故知一年内该水库最大蓄水量是108.32亿立方米.例5求曲线yx2，直线yx，