数学 七年级下册 北师大版 第一章 整式的运算 第一章总复习

1、.2b16x53ha2 像像 , , , , 等等, ,都是数与字母的都是数与字母的乘积乘积, ,这这样的代数式叫做样的代数式叫做单顶式单顶式. .几个单项式的几个单项式的和和叫做叫做多多项式项式, ,例如例如 , , 等等. .单顶式单顶式和和多项式多项式统称统称整式整式. .2b16-abmnab21-21知识点知识点:ha2 一个单项式中一个单项式中, ,所有字母的所有字母的指数和指数和叫做这个叫做这个单项式的次数单项式的次数. .如如2 2是是0 0次次, , 是是1 1次次, , 是是3 3次次. .一个多项式中一个多项式中, ,次数最高的项的次数次数最高的项的次数, ,叫做这个叫做

2、这个 多项式的次数多项式的次数. .如如 、 是是2 2次次, , 、 是是3 3次次. .x532b16-abmnab21-211-2312bba+2222-bbaa+.练一练练一练1.1.下列整式哪些是单项式下列整式哪些是单项式? ?哪些是多项式哪些是多项式? ?它们它们的次数分别是多少的次数分别是多少? ?,yxyx,x,yx,a222 1-2 31- +. -52 62 1 723byx,ab,xy,h+2.2.下列多项式分别有哪几项下列多项式分别有哪几项? ?每项的系数和次数每项的系数和次数分别是多少分别是多少? ?. 32- 2 ; 2-31- 122232yyxx)(yxx)(+

3、.议一议议一议 等于什么等于什么(m,n都是正整数都是正整数)?为什么为什么?nmaa )aaa)(aaa(aanm=m个个an个个aaaa=(m+n)个个anma+=)n,m(aaanmnm都都是是正正整整数数即即 +=同底数幂相乘同底数幂相乘,底数不变底数不变,指数相加指数相加. 同底数幂的乘法运算法则同底数幂的乘法运算法则.练一练练一练计算下列各式：计算下列各式：673 -3 - 1)()()()()()(101101 2353- 3xx)(=原式原式解解 :673 -+)(133 - )(=原式原式解解 :13101+)(4101)(=原式原式解解 :53-+x8-x=.复习与思考复习

4、与思考:aaaa)(.m= 1 1个个a?m=nmaa)( 2?nma+=64 1 2)(.? 444444=68 2)(?888888222222222222=622 )(=333333222222=632 )(=?个个22?个个32?)(2262=?)(2263=幂的乘方幂的乘方.即即 (m,n都是正整数都是正整数)mnnma)a(=幂的乘方幂的乘方, ,底数底数_,_,指数指数_._.不变不变相乘相乘- 幂的乘方运算法则幂的乘方运算法则 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体地球、木星、太阳可以近似地看做是球体, ,木木星、太阳的半径分别约是地球的星、太阳的半径分别约是地球的1010倍和倍

5、和 倍倍, ,它们的体积分别约是地球的它们的体积分别约是地球的_、_倍倍. .2102.2.如果甲球的半径是乙球的如果甲球的半径是乙球的n n倍倍, ,那么甲球的体那么甲球的体积是乙球的积是乙球的 倍倍. .3n3106321010=)(.计算下列各式计算下列各式: :43- 2)ba()ba()(432 3)aa()(解解:43-)ba()ba(43-+=)ba(7- )ba(=解解:432)aa(432)a(+=45)a(=45=a20a=.议一议议一议 与同伴交流并解决以下问题与同伴交流并解决以下问题:3352 1)(=8852 2)(=121252 3)(=?有几种做法有几种做法?能说

6、明理由吗能说明理由吗?方法一方法一:=3352)()(5552221258=1000=方法二方法二:=3352)()(555222)()()(525252=101010=1000=方法三方法三:=3352)()(555222)()()(525252=352)( =310=1000=)()(5552228个个28个个5)()()(525252=8个个(25)852)( =810=1252)( 1210=.做一做做一做,并说明理由并说明理由:)()()()( 75353 1=)()(m)()( 5353 2=)()(nba)ab()( 3=)ab()ab()ab()ab(n= n个个ab)bbb)

7、(aaa(=n个个an个个bnnba=)n(ba)ab(nnn是是正正整整数数即即 =积的乘方等于积的乘方等于_._.各因数乘方的积各因数乘方的积77mm?.1.计算下列各式计算下列各式:.3 4 ; 2- 3 2- 2 ; 3 12452n)a()()xy()(;)b()()x()(=23 1 )x()(:解解223 x29x=52- 2)b()(552-b)(52-3 b=42- 3)xy()(4442-yx)(=4416yx=n)a()(23 4nn)a(23nna23=.nmaa)( 4aaaaaa=m个个an个个aaaa=(m-n)个个anma-=nmnmaaa- =).nm,n,m

8、,a(且且都都是是正正整整数数0同底数幂相除同底数幂相除, ,底数底数_,_,指数指数_._.不变不变相减相减同底数幂的除法运算法则同底数幂的除法运算法则练一练练一练.bb)();xy()xy()(;)x()x()(;aa)(:m22243647 4 3 - 2 1+计计算算.练一练练一练.)(;)(;)(:.4-2-03-1061 3 87 2 10 11各各数数用用小小数数或或分分数数表表示示下下列列2.课本课本P21习题习题1.7课堂小结课堂小结:nmnmaaa- =).a(0 0 a1 pp-).p,a(a是是正正整整数数=);a(a0 10=. 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘,

9、把它们的系数、相同把它们的系数、相同字母的幂分别相乘字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变其余字母连同它的指数不变,作为积的因式作为积的因式.计算下列各式计算下列各式:)()()()()b()()xy()xy()(45322105104 3-3a-2a 2312 132232312yx)yy()xx()(=333263-2-bab)aa()()(=109451021020101054=)()(.)4 - ()2( . 1232xyyx计算2.一种电子计算机每秒可做一种电子计算机每秒可做 次运算次运算,它工它工作作 秒可做多少次运算秒可做多少次运算?910421055723623632 -4

10、) -84 -8yx)yy()xx()xy(yx=121129291021020 101054105104 =)()()()(:解解答答:它工作它工作 秒可做秒可做 次运算次运算.21051210232232) - () - ( )2(yxzxy6786346236642 - - -zyxz)yy()xx()yx(zyx=.如何进行单项式与多项式相乘的运算如何进行单项式与多项式相乘的运算?)xmx(x41 -241 -x=2mx 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律用就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加再把所得的积相加.-

11、单项式与多项式相乘的计算法则单项式与多项式相乘的计算法则试一试试一试计算下列各式计算下列各式:)baab(ab)(22352 1+ab)abab()(212-32 22252abab=baab232+2332610baba+=322231-baba+=23221221abababab.试一试试一试计算下列各式计算下列各式:(1) (1-x)(0.6-x)(2) (2x+y)(x-y)解解:(1 -x)(0.6 -x)(1 -x)(0.6 -x)=0.6 -x-0.6x2x+21.6 -60 xx.+=解解:(2x +y)(x -y)(2x +y)(x -y)22x=22-2yxyx=xy2-x

12、y+2- y.平方差公式平方差公式22-ba)ba)(ba(=+两数和与两数和与这这两数差的积两数差的积,等于它们的平方差等于它们的平方差.试一试试一试利用平方差公式计算下列各式利用平方差公式计算下列各式:)x)(x()(6-565 1+)yx)(yx()(22- 2+)nm)(nm()(- 3+22226-256-5x)x(=22224y-2-x)y(x=2222-nmn)m(=.2.计算计算)yx)(yx()(7-373 1+).x.)(x.()(30200.3-20 2+)nmn)(nmn()(33- 3+)yx)(yx()(3-23-2 4+)yx)(yx()(241-2-41- 5+

13、)xy)(xy(x)(+- 62222249-97-3yx)y()x(=0.09-04030-20222x.).()x.(=222229-3-nnm)n()mn(=22229-43-2-yx)y()x(=22224-1612-41-yx)y()x(=2222-yxyx=+=.课堂练习课堂练习计算下列各式计算下列各式:696704 1)() 1-x)(1x()y2-x)(y2x( )5(112108 3)(224-7004-7004700=+=)(120964-12100=1-4-21-4-22222yxxyx=+=984 48916-490000=222-11021102-110=+=)(.)

14、ba)(ba()ba)(ba()(232-3-21-21 9+ 3-3 8)yx(y)yx)(yx()(+222yxyy-x9:原式解xyx +=29)b4-a9 ( -b41a:2222原式解2222b4a9-b41a224158 -ba +=.abba想一想想一想 一块边长为一块边长为a米正方形米正方形实验田实验田,因需要将其边长增因需要将其边长增加加b米米,形成四块实验田形成四块实验田,以以种植不同的新品种种植不同的新品种. 实验田总面积的三种求实验田总面积的三种求法是法是:_;_;_; _; _._.上述三式上述三式_,_,理由是理由是_、_._.2)ba( +)ba(b)ba(a+2

15、22baba+相等相等面积相等面积相等多项式乘法多项式乘法2)ba( +)ba(b)ba( a+=222baba+=)ba)(ba (+=两数和的平方两数和的平方2- )ba()ba(b)ba( a-=222-baba+=)ba)(ba (-=两数差的平方两数差的平方完全平完全平方公式方公式怎样用语言表述怎样用语言表述? 两数和两数和(或差或差)的平方的平方,等于这两数的平方等于这两数的平方和和,再加上再加上(或减去或减去)这两数的乘积的两倍这两数的乘积的两倍.2222baba)ba(+=“首平方首平方,尾平方尾平方,2倍首尾乘积放中央倍首尾乘积放中央.”.利用完全平方公式计算利用完全平方公式

16、计算:222512 32-21 2- 1 )xxy()()yx()()amn()(+2222a-amnnm+=2242-41yxyx+=2222251544xyxyx+=.222221- 527 410151 31-2- 211)cd()()ab()()yx()()t()(22-3 1)m()(+4131-912+=mm1442+=tt221001251251yxyx+=4284922+=abba41-22+=cddc.1.利用完全平方公式计算利用完全平方公式计算:2102 1)(2197 2)(222100102)(:+=解解223-200197)(:=解解22221002100+=4400

17、10000+=10404=22332002-200+=92001-40000+=38809=.2.计算计算:22-3 1x)x()(+)ba)(ba()(3-3 2+)x)(x()x()(3-2-5 32+9696:22xxxx原式解923)(:2222bababa原式解1915)623(2510:22xxxxxx原式解.练习练习: : 计算下列各式计算下列各式: :2199 1)(22001 2)()ba)(ba()(3-3- 4+2212-1-2 3)a()a()(+解解: :原式原式= =21-200)(1400-40000+= =39601= =解解: :原式原式= =212000)(

18、+1000 4000 000 4+= =4004001= =解解: :原式原式= =)aa(aa144-14-422+1-4-4-14-422+= =aaaaaaa8 -4-4 -= = =解解: :原式原式= =b)a(b)a(+3-3-22-3-b)a(= =22-96-baa还有别的方法吗还有别的方法吗? ?.议一议议一议如何进行单项式除以单项式的运算？如何进行单项式除以单项式的运算？ 单项式相除单项式相除, ,把系数、同底数把系数、同底数幂分别相除后幂分别相除后, ,作为商的因式作为商的因式; ;对于对于只在被除式里含有的字母只在被除式里含有的字母, ,则连同则连同它的指数一起作为商的

19、一个因式它的指数一起作为商的一个因式. .单项式除单项式法则单项式除单项式法则与单项式乘单项式比较与单项式乘单项式比较, ,有何异同有何异同? ?.);yx()xy()yx()(34232147-2 4 ;)ba()ba()(2422 5+解解: :原式原式)yx()xy()yx(34236147 -8 = =)yx()yx(34571456 -= =234 -yx= =解解: :原式原式22)ba(+= =2244baba+= =第第(4)(5)(4)(5)小题的中间过程不能省略小题的中间过程不能省略! !. 单项式相除单项式相除, ,把系数、同底数幂分别把系数、同底数幂分别相除后相除后,

20、,作为商的因式作为商的因式; ;对于只在被除式里对于只在被除式里含有的字母含有的字母, ,则连同它的指数一起作为商则连同它的指数一起作为商的一个因式的一个因式单项式除单项式法则单项式除单项式法则计算下列各式计算下列各式: :)ba()cba()(22331-2 - 1)zx()zyx()(2234121 - 2abc6= =22 - xy= =.多项式除以单项式的运算法则多项式除以单项式的运算法则 多项式除以单项式多项式除以单项式, ,先把这个多项式的每一先把这个多项式的每一项分别除以单项式项分别除以单项式, ,再把所得的商相加再把所得的商相加. .尝试练习尝试练习 计算下列各式计算下列各式:

21、 :)b()bab()(286 1+)a()aaa()(3615-27 223+)xy()xyyx()(36-9 322)xy()xyxyyx()(21-21-3 422+43 += = a25-92+= =aayx 2-3= =1-26 -yx+= =.2aa)(1abtt)(22.分别计算下面图中阴影部分的面积分别计算下面图中阴影部分的面积.解解:(1)中阴影部分面积为中阴影部分面积为解解:(2)中阴影部分面积为中阴影部分面积为22222323321-81421-221aaa)a()a(=2-tatbt) ta( tbt+=+第第(2)题有几种不同的求法题有几种不同的求法?.议一议议一议米

22、米x81米米x81米米x米米mx 求法一求法一: :先求出画面的长先求出画面的长和宽和宽, ,由此得到画面的面积由此得到画面的面积为为_;_; 求法二求法二: :用纸的面积减去空白处的面积用纸的面积减去空白处的面积, ,由此由此得到画面的面积为得到画面的面积为_._. 宁宁也作了一幅画宁宁也作了一幅画,所用纸所用纸的大小与京京的相同的大小与京京的相同,她在纸她在纸的左右两边各留了的左右两边各留了 米的空米的空白白,这幅画的画面面积是多少这幅画的画面面积是多少?x81)xmx(x41 -( (直接求法直接求法) )2241 -xmx( (间接求法间接求法) )这两个结果这两个结果_,_,)xmx

23、(x41 -2241 -xmx=即即相等相等上面等式成立的理由是上面等式成立的理由是_、_._.面积相等面积相等乘法分配律乘法分配律.2.解解:卫生间卫生间厨房厨房卧房卧房客厅客厅2xxy2y4y4x单位单位:米米yxxyyx+242 xyaaxy1111=.xya;xy:元元所所需需地地砖砖至至少少需需要要平平方方米米地地砖砖至至少少需需要要答答11 11xyxyxyxy1128=+=.2. (P28习题习题1.10第第2题题)APBaxxa-解解:(1)22- )xa(xS+=222-2aaxx+=(2);a)a()a(S,aAP22295323131=+=时时当当.a)a()a(S,aA

24、P22221212121=+=时时当当.S,aAP更更小小时时所所以以当当21=.b+ab+a2 2a+ba+b2b+a2b+a3a+2b3a+2ba aa a3b3b2a2ab b11.解解:左图阴影部分的面积为左图阴影部分的面积为:)ab)(ab()ba)(ba(+2-223)aababb(bababa222222-2436+= =2222- -2-2-2436aababbbababa+= =aba452+= =右图阴影部分的面积为右图阴影部分的面积为:ba)ba)(ba(32-322 +22223246-3264babaabbababa+= =+= =.ab baba-ba-ba+b做一

25、做做一做 如左下图如左下图,边长为边长为a的大正方形中有一个边的大正方形中有一个边长为长为b的小正方形的小正方形.(1)(1)图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积为_._.22-ba(2)(2)将阴影部分拼成右下图的一个长方形将阴影部分拼成右下图的一个长方形, ,这个长这个长方形的长是方形的长是_,_,宽是宽是_,_,面积是面积是_._.ba+ba-)ba)(ba(-+(3)(3)比较比较(1)(2)(1)(2)的结果即可验证的结果即可验证_平方差公式平方差公式:)ba)(ba(ba-22+=.2.2.解解: :222- - )r (r4)4r- 22+=r (r4- 4r -r 22r+=

26、4- 4r=答答:这个圆的面积减少了这个圆的面积减少了 平方厘米平方厘米.4- 4r3.3.解解: :设个位数是设个位数是5 5的两位数为的两位数为10a+5,10a+5,则则2510010051022+=+aa)a(由此可知后两位数是由此可知后两位数是25.25.答答: :末尾两位数为末尾两位数为25.25.另解另解: 122535 62525 22515 222= 422565302555202545225= 902595 722585 562575 222=.25后后两两位位数数为为答答: :末尾两位数为末尾两位数为25.25.试一试试一试1.1.任意写一个两位数任意写一个两位数; ;2

27、.2.交换这个两位数的十位数字和个位数字交换这个两位数的十位数字和个位数字, ,又得又得到一个数到一个数; ;3.3.求这两个数的和求这两个数的和. . 再写几个两位数重复上面的过程再写几个两位数重复上面的过程. .这些和有这些和有什么规律什么规律? ?这个规律对任意一个两位数都成立吗这个规律对任意一个两位数都成立吗? ? 如果用如果用a,ba,b分别表示一个两位数的十位数字和分别表示一个两位数的十位数字和个位数字个位数字, ,那么这个两位数可以表示为那么这个两位数可以表示为:_.:_.从上面你能得出什么规律从上面你能得出什么规律? 把这两个数相加并化简得把这两个数相加并化简得: : _. _

28、.交换这个两位数的十位数字和个位数字交换这个两位数的十位数字和个位数字, ,得到的得到的数是数是:_.:_.10a+b10b+a(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b).想一想想一想(1)(1)计算下列各组算式计算下列各组算式, ,并观察它们的共同特点并观察它们的共同特点. .7 79 =9 =8 88 =8 =111113 =13 =121212 =12 =797981 =81 =808080 =80 =636414414364006399 三个连续整数中三个连续整数中,首尾两数首尾两数的积的积,等于中间数的平方减等于中间数的平方减1(2)(2)从上可发现规律从上可发现

29、规律:_:_._.(2)(2)这一规律用字母可表示为这一规律用字母可表示为_,_,它的正确性可用它的正确性可用_说明说明. .1-11-2a)a)(a(=+平方差公式平方差公式练一练练一练1.用平方差公式进行计算用平方差公式进行计算:(1) 103(1) 10397 (2) 11897 (2) 1181221229991 3-100 3-100310022=+=)(:原原式式解解14396 2-120 21202-12022=+=)(:原原式式解解.下面是用棋子摆成下面是用棋子摆成的的 “小屋子小屋子”.观察观察思考思考探索探索 摆第摆第1 1个个 “小屋子小屋子”需要需要5 5枚棋子枚棋子,

30、 ,摆第摆第2 2个需个需要要_枚棋子枚棋子, ,摆第摆第3 3个需要个需要_棋子棋子, ,摆第摆第4 4个需要个需要_枚棋子枚棋子, ,摆第摆第n n个需要个需要_枚棋子枚棋子, ,你是如你是如何得到的何得到的? ?能用不同的方法解决这个问题吗能用不同的方法解决这个问题吗? ?请与请与同伴交流同伴交流. .111723(6n-1)(6n-1)6n-12n-14n(2n-1)+4n=6n-1从数与形可知从数与形可知, ,后比前多后比前多6:5+6(n-1)6:5+6(n-1).做一做做一做任意写一个三位数任意写一个三位数交换它的百位数字与个位数字交换它的百位数字与个位数字,又得到一个数又得到一

31、个数两数相减两数相减 两个数相减后的结果有什么规律两个数相减后的结果有什么规律?这个规律这个规律对任意一个三位数都成立吗对任意一个三位数都成立吗?100a+10b+c100c+10b+a(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a- c)议一议议一议: 在上面的在上面的 “试一试试一试”、 “做一做做一做”中中, ,涉及了整式的涉及了整式的_运算运算. .你是怎样运算你是怎样运算的的? ?你曾经做过这种运算吗你曾经做过这种运算吗? ?加、减加、减先去括号先去括号, ,再合并同类项再合并同类项. .想一想想一想 一位老人非常喜欢孩子一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子每当有孩子到他家做客时到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们老人都要拿出糖果招待他们.来一来一个孩子个孩子,老人就给这个孩子一块糖老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子来两个孩子,老老人就给每个孩子两块糖人就给每个孩子两块糖, (1)(1)第一天有第一天有a a个男孩去了老人家，老人一共个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？给了这些孩子多少块糖？(2)(2)第二天有第二天有b b个女孩去了老人家，老人一共个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？给了这些孩子多少块糖？(3)(3)第三天有第三天有(a+b)(a+b)个男孩去了老人家，老人个男孩去了老人家，老人一共给了这些