中线倍长法和截长补短法学

1、几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法： 例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图， ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD < - (AB+AC)21分析：要证明AD <丄(AB+AC),就是证明AB+AO2AD也就是证明两条线段之和2大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中的三条 线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转 化。待证结论AB+AO2AI中，出现了 2AD即中线AD应该加倍。证明：延长 AD至E,使DE=AD连CE贝U AE=2AD在厶 ADBffiA EDC中,AAD= DEZADB二

2、 ZEDCBD= DC ADBA EDC(SAS) AB=CE又在厶ACE中,AC+C&AE AC+AB>2AD 即 AD < 寸(AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法AB AC和两个角/ BAD和/CAD集中于同一个三它可以将分居中线两旁的两条边 角形中，以利于问题的获解。课题练习：ABC中，AD是 BAC的平分线，且 BD=CD求证AB=ACA例2:中线一倍辅助线作法 ABC 中AD是BC边中线AD方式1:延长AD到E,使 DE=AD连接BE方式2:间接倍长E作CF丄AD于F,作BE! AD的延长线于E连接BEN延长MD

3、到N,使 DN=MD 连接CD例 3:A ABC中, AB=5AC=3求中线AD的取值范围例4:已知在 ABC中，AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上,求证：BD=CEDE交 BC于 F,且 DF=EFADF课堂练习：已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,AC于 F,求证：AF=EFE是AD上一点，且 BE=AC延长 BE交例5：已知：如图，在 ABC中，AB 交 AE于点 F, DF=AC.求证：AE平分 BACAC，D、E 在 BC上，且 DE=EC 过 D作 DF /BA第1题图课堂练习：已知 CD=ABZ BDA=/ BAD AE是厶ABD的中线，求证：/ C=Z BAE作业

4、：1、在四边形 ABCD中, AB/ DC E为BC边的中点，/ BAE=/ EAF, AF与DC的延长线相交于 点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论D2、已知：如图，ABC中，C=90 , CM AB于M, AT平分 BAC交CM于 D,交BC于T,过D作 DE/AB 交 BC于 E,求证：CT=BE.3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,求证：AF=EFCBE是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于F,4:已知 CD=ABZ BDA=/ BAD AE 是厶 ABD的中线，求证：/ C=Z BAE5、在四边形 ABCD中, AB/ DC E为BC边的中点，

5、/ BAE=/ EAF, AF与DC的延长线相交于 点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论D（二）截长补短法例1.已知，如图1-1 ,在四边形 ABCD中, BO AB At=DC BD平分/ ABC图1-1求证：/ BAD/BCD180° .分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长补短法”来实现 E证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点 E,作DF丄BC于点F,如图1-2 BD平分/ ABC： DE=DF在 RtA ADE与 RtA CDF中,DE D

6、FAD CD Rt ADE RtA CDF HD，DAE/ DCF又/ BAD/ DAE=180°,./ BAD/ DCI=180°,即/ BAD/ BCD180°例2.如图 2-1 , AD/ BC 点 E在线段 AB上,/ ADE/ CDE / DCE/ ECB求证：Ct=ADBC图2-1C例3.已知，如图3-1，/仁/ 2, P为BN上一点，且 PDL BC于点D, AE+B&2BD求证：/ BAF+Z BCP180° .图3-1例4.已知：如图 4-1，在 ABC中,Z C= 2Z B,Z 1 = Z 2.求证：AB=AQCD图4-1作业

7、：1、已知：如图， ABCD是正方形，/ FAt=/FAE求证：BBDFAEDFC2、五边形 ABCD中, AB=AE BGDE=CD / ABC/ AED180°,求证：AD平分/ CDE（三）其它几种常见的形式:1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全 等三角形。例：如图1:已知ABC的中线，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4,求证：BE CF> EF02、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全 等三角形。例：如图 2： AD ABC的中线，且/ 1 = / 2,/ 3=/4,求证：BECF> EFA练习：已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各 向形外作等腰直角三角形，如图 4,求证EF= 2ADF图43、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AC= BD, ADLAC于A , BCLBD于B, 求证：AD= BCC4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解 决。D7例如：如图 7: AB/ CD AD/ BC 求证：AB=CD5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8:在 Rt ABC中，AB= AC / BAC= 90 的延长于E。求证：BD= 2C