利用开环频率特性分析系统的性能

1、5.6 利用开环频率特性分析系统的性能在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得直接、准确。因此，须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以Bode图为基点，首先讨论开环对数幅频特性的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。实际系统的开环对数幅频特性一般都符合如图5-49所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。将人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指截止频率附近的频段；高频段指频率远大于的频

2、段。这三个频段包含了闭环系统性能不同方面的信息，需要分别进行讨论。图5-49 对数频率特性三频段的划分需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。一般控制系统的频段范围在之间。这里所述的“高频段”与无线电学科里的“超高频”、“甚高频”不是一个概念。 低频渐近线与系统稳态误差的关系系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。因此，低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。根据低频段可以确定系统型别和开环增益，利用第3章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误

3、差。 中频段特性与系统动态性能的关系开环对数幅频特性的中频段是指截止频率附近的频段。设开环部分纯粹由积分环节构成，图5-50（）所示的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为，相角，因而相角裕度；图5-50（）的对数幅频特性对应两个积分环节，斜率为，相角，因而相角裕度。图5-50 中频段对稳定性的影响 一般情况下，系统开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内是变化的，故截止频率处的相角裕度应由整个对数幅频特性中各段的斜率所共同确定。在处，曲线的斜率对相角裕度的影响最大，远离的对数幅频特性，其斜率对的影响就很小。为了保证系统有满意的动态性能，希望曲线以的斜率穿过线，并保持较宽的频段。截止频率和相角裕度

4、是系统开环频域指标，主要由中频段决定，它与系统动态性能指标之间存在着密切关系，因而频域指标是表征系统动态性能的间接指标。 1 二阶系统典型二阶系统的结构图可用图5-51表示。其中开环传递函数为相应的闭环传递函数为图5-51 典型二阶系统结构图（1）和的关系: 系统开环频率特性为 （5-62）开环幅频和相频特性分别为在处，即亦即解之，得 （5-63）当时，有由此可得系统的相角裕度为 （5-64）将式（5-63）代入式（5-64），得 （5-65）根据式（5-65），可以画出和的函数关系曲线,如图5-52所示。另一方面，典型二阶系统超调量 （5-66）为便于比较，将式（5-66）的函数关系也一并绘

5、于图5-52中。从图5-52所示曲线可以看出：越小（即小），就越大；反之，越大，就越小。通常希望。 图5-52二阶系统、与的关系曲线 图5-53二阶系统与的关系曲线>> 图5-52的绘制程序：ks=0:0.001:1;MMr=;kks=;for i=1:length(ks) r(i)=atan(2*ks(i)/sqrt(sqrt(4*ks(i)4+1)-2*ks(i)2)*180/pi; de(i)=exp(-pi*ks(i)/sqrt(1-ks(i)2)*100/2+10; if ks(i)<0.707 Mr(i)=1/(2*ks(i)*sqrt(1-ks(i)2); el

6、se Mr(i)=1; end if Mr(i)<=7.5 MMr=MMr Mr(i)*10-10; kks=kks ks(i); endendab=plot(ks,r,'b-',ks,de,'r-',kks,MMr,'g-');set(ab,'linewidth',1.5);grid;>> 图5-53的绘制程序:ks=0.2:0.01:1;for i=1:length(ks) r(i)=atan(2*ks(i)/sqrt(sqrt(4*ks(i)4+1)-2*ks(i)2); tswc(i)=7/tan(r(i

7、);endab=plot(r*180/pi,tswc,'b-');set(ab,'linewidth',3);grid;（2）、与的关系：由时域分析法可知，典型二阶系统调节时间（取时）为 （5-67） 将式（5-67）与式（5-63）相乘，得 （5-68）再由式（5-65）和式（5-68）可得 （5-69）将式（5-69）的函数关系绘成曲线，如图5-53所示。可见，调节时间与相角裕度和截止频率都有关。当确定时，与成反比。换言之，如果两个典型二阶系统的相角裕度相同，那么它们的超调量也相同（见图5-52），这样，较大的系统，其调节时间必然较短（见图5-53）。例5-

8、13 二阶系统结构图如图5-54所示。试分析系统开环频域指标与时域指标的关系。解 系统的开环传递函数为式中，转折频率为。若取 （5-70）图5-54 系统的结构图 图5-55 系统的对数幅频特性则开环对数幅频特性如图5-55所示。系统的相角裕度为根据所求得的值，查图5-52可得，。由图5-53查得。再由式（5-70），得 若增加开环增益，则图5-55的向上平移，右移。当移至更靠近时，相角裕度变得较小，超调量自然变大。例如，若选时，则相角裕度，从上述曲线查得，。若值进一步加大，则将落在斜率为的高频渐近线段上，相角裕度将变得更小，超调量就更大。2. 高阶系统对于一般三阶或三阶以上的高阶系统，要准确

9、推导出开环频域特征量（和）与时域指标（和）之间的关系是很困难的，即使导出这样的关系式，使用起来也不方便，实用意义不大。在控制工程分析与设计中，通常采用下述两个近似公式由频域指标估算系统的动态性能指标： （5-71） （5-72）图5-56所示的两条曲线是根据式（5-71）和式（5-72）绘成的，以供查用。图中曲线表明，随着值的增加，高阶系统的超调量和调节时间（一定时）都会降低。图5-56的绘制程序:r=30:0.01:90; tts=; dde=; rr1=; rr2=;for i=1:length(r)图5-56 高阶系统、与的关系曲线 temp=1/sin(r(i)*pi/180)-1;

10、de(i)=0.16+0.4*temp; ts(i)=pi*(2+1.5*temp+2.5*temp2)*0.5/9-6*0.5/9+0.1; if ts(i)<=0.5 rr1=rr1 r(i); tts=tts ts(i); end if de(i)<=0.5 rr2=rr2 r(i); dde=dde de(i); endendaa=plot(rr2,dde,'b-',rr1,tts,'r-'); set(aa,'linewidth',1.5);axis(30 90 0.1 0.55);grid; 高频段对系统性能的影响 的高频段特性是由小时间常数的环节构成的，其转折频率均远离截止频率，所以对系统的动态响应影响不大。但是，从系统抗干扰的角度出发，研究高频段的特性是具有实际意义的，现说明如下。对于单位反馈系统，开环频率特性和闭环频率特性的关系为在高频段，一般有，即。故由上式可得即在高频段，闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。 因此，特性高频段的幅值，直接反映出系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段的分贝值越低，说明系统对高频信号的衰减作用越大，即系统的抗高频干扰能力越强。 综上所述，我们所希望的开环对数幅频特性应具有下述性质： （1）如果要求具有一阶或二阶无差度（即系统在阶跃