利用系综理论求弗伦克尔缺陷

1、利用系综理论求弗伦克尔缺陷* 安徽省教育委员会资助课题 倪 致 祥( 阜阳师范学院物理系，安徽 阜阳 236032 )摘 要 利用各种系综分布方法处理了晶体中的弗伦克尔缺陷问题，发现结果在热力学意义上完全等效。关键词 系综理论，弗伦克尔缺陷分类号 O4141引言弗伦克尔缺陷是非理想晶体的常见现象，在固体物理的研究中有重要意义。在通常的教学参考资料中，这个问题都是用统计热力学的方法处理的1。按照统计物理学，最一般的处理方法应该是系综理论。达到平衡时孤立系统服从微正则分布，封闭系统服从正则分布，开放系统服从巨正则分布。根据系统与外界的关系，我们可以利用不同的分布函数来研究非理想晶体的弗伦克尔缺陷问

2、题。2物理模型N个原子有规则地排列形成一个理想晶体。如果其中的原子脱离晶体的晶格位置而跑到晶格的空隙（填隙位置）中，原来的理想晶体就出现了缺陷，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。通常原子能够占有的填隙位置的数目N与晶格位置数N具有同样数量级，可以假定N = q N ，其中q1为比例系数。为了简单起见，设一个原子从晶格位置移到填隙位置所需要的能量为常数u。在上述简化的非理想晶体模型下，较容易研究晶体中弗伦克尔缺陷的数目n与温度T的关系2。3统计系综方法3.1微正则分布 把晶体看成孤立系统，应采用微正则分布方法。当系统出现n个弗伦克尔缺陷时，N个晶格点阵位置有n个是空位；N个晶格填隙位置有n个被原子占据。

3、如果忽略边界效应，系统的状态数W为 ， (1)系统由于原子填隙而增加的总能量为 (2)在一般情况下有n << N，利用斯特林公式，(1)式可化为 (3)对于常温下的宏观物体，有1 << n，(3)式可进一步化简为 (4)由(2)和(4)两式，不难得到系统的微正则配分函数的对数 (5) 由统计热力学公式可得 ， (6)上式容易化成 ， (7)即 (8)(8)式给出了孤立系统晶体中弗伦克尔缺陷的数目n与温度T的关系。3.2正则分布 把晶体看成与大热源平衡的封闭系统，应采用正则分布方法。正则配分函数为 (9)利用公式(2)和(4)，我们有 (10)上式求和中的主要贡献在于n取

4、较大值的项，对n!利用斯特林公式，我们不难算出 (11)由统计热力学公式我们得到 ， (12)上式容易化成 (13)(13)式给出了封闭系统晶体中弗伦克尔缺陷的平均值与温度T的关系。3.3巨正则分布方法 把晶体看成与大热源和大粒子源平衡的开放系统，应采用巨正则分布方法。巨正则配分函数为 (14)利用公式(11)和关系式N = q N，我们不难算出 (15)由统计热力学公式可得 (16)由上式可以解出 ， (17)等价于 (18)(18)式给出了开放系统晶体中弗伦克尔缺陷的平均值与温度T的关系。4结论上面我们用三种不同的统计系综方法计算了非理想晶体中弗伦克尔缺陷的数目与温度T的关系，发现算出的缺陷数完全相同。这表明在晶体的热力学问题上这些方法是完全等价的。从原则上来说，这三种分布描述的是三种不同系统的统计分布规律；但是在实际上，只要系统本身足够大，一般涨落并不显示出宏观效应。因此在实际计算中，把一个系统看成遵从哪个分布差别是不大的。参 考 文 献1 上海市物理学会教学研究委员会理论物理习题集上海：上海科学技术文献出版社，1983 2901 马本 ，高尚惠，孙 煜热力