级高等数学(2-2)课程期中试卷参考答案

1、名姓号学级年班、业专弊作绝拒、纪考肃严、信守实诚、争竞平公院学重庆大学2022级?高等数学(11-2)»期中试卷参考答案二单项选择题(每题3分，共15分)(1)设有平面1 :x y2z 60与平面2 :2x yz 50，那么1与2的夹角为(C )(A)-(B)(C)-(D)2643(2)设有直线L:x 3y 4z “-及平面:4x 2y2z 30，那么直线273L ( A )(A)平行于 (B)在上 (C)垂直于 (D )与 斜交(3) 二元函数f(x,y)在(x°,y°)处两个偏导数fxy(x,y) , fyx(x,y)连续是fxy(x°,y°

2、;) fyx x),yo(A )充分条件(C)充分必要条件(4)二元函数 f (x, y)的(B)(D)x2填空题(每空4分，共24 分)y2 sin必要条件既非充分也非必要12 2x y(x, y)(x,y)(0,0)在点(0,0)(0,0)(1)(2)(3)(4)(5)函数y y(x)在任意点x处的增量yx的高阶无穷小，y(0)曲面ez2sin-那么 uyxy设 f (x, y,z)三角形y x1 x2，且当x0时,，那么y(1)等于e12 2在点(2,)处的值为2 e (1)x yx 2 y 1 z3在(2,1,0)的法线方程为12 0。r2(xir r yj zk)(x232 22 y

3、 z )2o2冲,x2 y2 z2，那么 gradfABC 的顶点分别为 A(1,2,3)，B(3,4,5)，C(2,4,7)那么三角形 ABC的面积、143x22y212(6)由曲线3X 2y12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点z 0(0八 3,、2)处处(D )(A)连续，偏导数不存在(C)偏导数连续(5)心形线COS,(a(B)(D)偏导数存在，不可微偏导数不连续，可微0)所围成的面积为(B(A) -a2(B)3(C)亍(D)的指向外侧的单位法向量为三计算题(每题8分，共40 分)1 求阿基米德螺线a，(a 0)相应于 从0到2 一段弧的长度解：弧长元素 ds i ()2()2da22a2

4、da 12d，S a0，命题人： 组题人： 审题人：命题时间：教务处制1 2d2d212 -d1 2 .1 2d1 2hn一 2 C，dzdx2o2222dydz'2x 4y 6z 0dxdxc dy c dz2y 3z x dx dx 变形为 dy dz2y2xdx dx2.求极限(x,y')im(0,0)sin xdz xdx 3z 1解:2x2y2 2 ysin2 2x y2xy2 2x2y2有:包丛dx 2y(3z 1)lim(x,y)(0,0)2x2y3求由方程组解：视y(x),2x y2x2 2 :x y 2sin x13!x2 y234设z f (2x y, y

5、si n x)，其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求2zy 0(x, y) (0, 0)，解：一z 2 f1 ycosx f2，x22( f11 sin xf12) cosx f2 ycosx( f21 sinxf22) x y2y2y2 3z220所确定的y(x)，Z(x)的导数。z(x)为x的可导函数,x b5.求直线 b (be 0)绕z轴旋转所得的旋转面的方程，它代表什么曲 y - ze面？解：设P(x, y,z)为旋转面上任一点，P1(b, y1,z1)为直线上对应的点。那么b2y12y1zbz1c2x面。四.证明题(第11.设函数f(x,y)，故所求旋转面方程为 x2b2与z2

6、 b2，它是单叶双曲c9992设 x, y | xyR , u f (x, y)在 内可微，且满足x丄 y丄 0。求证：uf (x, y)在内恒为常数。x y小题8分，第2小题6分,2xy24x y0x2y2014分)，证明f(x,y)在(0,0)处沿任0一方向 e (cos ,sin)的方向导数都存在，但在(0,0)处不可微。xyf / ff、(cos ,sin )，贝u(,)lxyr对任一方向(径向)l0 (cos,sint 0,(x, y),那么 u f (x, y)x 证:令1(x, y) 0,|0),x tcos , y tsin证：当cos0时,f (tcos ,tsin )0。f

7、 (tcos ,tsin )为t的一元可微函数，且(0,0)讪 f(tcos ,tsin ) f(0,°)0t 0dfcos dtsin fxy x tcosy tsiny)0，yt 0(0当cos0时,f(tcos ,tsin )f(0,0)dfdtt)，(f(tcos ,tsin) f(0,0)故 f (t cos ,tsin )f(0,0)，即f (x, y)在每一条从圆心出发的射线上2Insi2Insi2s o c又 xliym0f(X，y)4y呵 4y 02y1-f (0,0),满足 f (x, y) f(0,0)。故(x, y) ，f(x,y) f(0,0) C，即f(x

8、, y)在内恒为常数。f (x,y)在(0,0)不连续,故f (x,y)在(0,0)不可微五、应用题(7分)一架飞机以常速v在16千公尺高空飞行，在飞经地面导弹基地上空时基地发射导弹，导弹始终瞄准飞机，设导弹飞行速度为2v(1) 建立微分方程(2) 写出初始条件(3) 求导弹的飞行轨迹。解：(1)建立如下图的坐标系，设P(x, y,z)为导弹飞行轨迹上任一点,那么该曲线在点P(x, y,z)的切线方程为 Y y y'(X x)16.1 y'2dt 2(yxy')对x求导，得微分方程为2xy'' J y'2! (2)初始条件为y x1610y' x 160(3)令y'p,那么 y''坐，代入得dp2xdxd