大学物理完整ch静电场和稳恒电场

1、静电场静电场-相对于观察者静止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场稳恒电场稳恒电场不随时间改变的电荷分布产生不随时间不随时间改变的电荷分布产生不随时间 改变的电场改变的电场 两个物理量两个物理量： 场强、电势；场强、电势； 一个实验规律一个实验规律：库仑定律；库仑定律； 两个定理两个定理： 高斯定理、环流定理高斯定理、环流定理电荷守恒定律电荷守恒定律： 在一个孤立系统内发生的过程中，在一个孤立系统内发生的过程中， 正负电荷的代数和保持不变。正负电荷的代数和保持不变。电荷的电荷的量子化效应量子化效应：Q=Ne8-1 电场电场 电场强度电场强度一、电荷一、电荷电荷的电荷的种类种类：正电

2、荷、负电荷：正电荷、负电荷电荷的电荷的性质：同号相吸、异号相斥性质：同号相吸、异号相斥电量电量：电荷的多少：电荷的多少 单位单位：库仑：库仑 符号符号：C二、库仑定律二、库仑定律02211221rrqqkFF 0 真空介电常数。真空介电常数。or单位矢量，由单位矢量，由施力物体指向受力物体施力物体指向受力物体。电荷电荷q1作用于电荷作用于电荷q2的力。的力。21F 真空中两个静止的点电荷之间的作用力真空中两个静止的点电荷之间的作用力（静电力静电力），），与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。方成反

3、比，作用力沿着这两个点电荷的连线。1q2qror041 k22902121201094110858 CNmkmNC .讨论讨论库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。(a)q1和和q2同性，则同性，则q1 q20, 和和 同向，同向， 方程说明方程说明1排斥排斥221F0r12F21F0r00002121 qqqq斥力斥力022102141rrqqF (b)q1和和q2异性，则异性，则q1 q20的金属球，在它附近的金属球，在它附近P点产生的场强点产生的场强为为 。将一点电荷。将一点电荷q0引入引入P点，测得点，测得q实际受力实际受力 与与 q之比为之比

4、为 ，是大于、小于、还是等于，是大于、小于、还是等于P点的点的0E0EFqF1q2qP四、场强叠加原理四、场强叠加原理点电荷系点电荷系连续带电体连续带电体10r1EE2E20rPdqEd0r iiEqFqFE00 EdE NiiFF11. 点电荷的电场点电荷的电场五、电场强度的计算五、电场强度的计算020041rrqqF 020041rrqqFE 02041rrqE )(0 qP0r E0r)(0 qPE2. 点电荷系的电场点电荷系的电场设真空中有设真空中有n个点电荷个点电荷q1,q2,qn，则，则P点场强点场强02041iiiiiirrqEE iziziyiyixixEEEEEE ,场强在坐

5、标轴上的投影场强在坐标轴上的投影kEjEiEEzyx 例例1电偶极子电偶极子如图已知：如图已知：q、-q、 rl， 电偶极矩电偶极矩lqp 求：求：A点及点及B点的场强点的场强i)lr(qE2024 i)lr(qE2024 解：解：A点点 设设+q和和-q 的场强的场强 分别为分别为 和和 E E lryx BAlr E E E EBEAEirlrlrqrlilrqlrqEA2240220)21()21(42)2()2(41 3030241241rpirqlEA i)lr(qE2024 i)lr(qE2024 lryx BAlr E E E EBEAE)4(41220lrqEE xxxxEEE

6、E 24222lrl cos cos2E0 yyyEEE对对B点：点：232204412)(coslrqlEEB 3041rp 3041rpEB lryx BAlr E E E EBEAE30241rpEA 结论结论pE 31rE 3041rpEB lryx BAlr E E E EBEAE3. 连续带电体的电场连续带电体的电场004rdqEd 02041rrdqEdE zzyyxxdEEdEEdEEkEjEiEEzyx 电荷元随不同的电荷分布应表达为电荷元随不同的电荷分布应表达为体电荷体电荷dVdq 面电荷面电荷dSdq 线电荷线电荷ldqd 例例2 求一均匀带电直线在求一均匀带电直线在O点

7、的电场。点的电场。已知：已知： q 、 a 、 1、 2、 。解题步骤解题步骤1. 选电荷元选电荷元ldqd 2041rlddE sincosdEdEdEdEyx5. 选择积分变量选择积分变量一个变量是变量，而线积分只要、lr 4. 建立坐标，将建立坐标，将 投影到坐标轴上投影到坐标轴上Ed2.确定确定 的方向的方向Ed3.确定确定 的大小的大小EdxEdyEddlq1 2 lyxarO Ed选选作为积分变量作为积分变量 actgactgl)( dald2csc 22222222cscactgaalar cos2041rdldEx coscsccsc42220ada dacos40 xEdyE

8、ddlq1 2 lyxarO Ed dardldEysin4sin41020 2104 dadEExxcos)sin(sin1204 a 2104 dadEEyysin)cos(cos2104 a22yxEEE )(xyEEarctg xEdyEddlq1 2 lyxarO Ed当直线长度当直线长度 2100,aL或或0 xE无限长均匀带无限长均匀带电直线的场强电直线的场强aE02 当EEy, 0, 0 方向垂直带电导体向外，方向垂直带电导体向外，当EEy, 0, 0 方向垂直带电导体向里。方向垂直带电导体向里。讨论讨论)sin(sin1204 aEx)cos(cos2104 aEyaEEy0

9、2 课堂练习课堂练习求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q ,L,a204)xaL(dqdE L)xaL(dxE0204 )(aLa 1140 aPLXOxdxEd)()(aLaqaLaLqL 0044 例例3 求一均匀带电圆环轴线上任一点求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。处的电场。已知：已知： q 、a 、 x。dlaqdldq 2 idEEd /kdEjdEEdzy 204rdqdE yzxxpadqr/Ed EdEd 当当dq位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。由对称性由

10、对称性a.yzxdqEd0 zyEEyzxxpadqr/Ed EdEd cos/EdEdE 2122)(cosxarrx cos220241rldaqEa cos2041rq 2322041)(xaqx i)ax(xqE232204 讨论讨论（1）当当 的方向沿的方向沿x轴正向轴正向当当 的方向沿的方向沿x轴负向轴负向Eq，0 Eq，0 （2）当当x=0,即在圆环中心处，即在圆环中心处，0 E当当 x 0 Ei)ax(xqE232204 2ax 时时0 dxdE23220242)aa(qaEEmax （3）当当 时，时， ax 222xax 2041xqE 这时可以这时可以把带电圆环看作一个点

11、电荷把带电圆环看作一个点电荷这正反映了这正反映了点电荷概念的相对性点电荷概念的相对性i)ax(xqE232204 1.1.求均匀带电半圆环圆心处的求均匀带电半圆环圆心处的 ，已知，已知 R、 E204RdqdE 电荷元电荷元dq产生的场产生的场根据对称性根据对称性 0ydE 0204sinRRdsindEdEEx 0204)cos( RR02 课堂练习：课堂练习：oRXY d dqEdOXY R204RdldE cosRdldEEy204224202020 sincosRdRR 取电荷元取电荷元dq则则 0 xdE由对称性由对称性方向：沿方向：沿Y轴负向轴负向 dl dEd2.2.求均匀带电一

12、细圆弧圆心处的场强，已知求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知 , ,R例例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。 已知：已知：q、 R、 x 求：求：Ep解：细圆环所带电量为解：细圆环所带电量为22Rqrdrdq 由上题结论知：由上题结论知：2322041)(xrxdqdE 2322042)(xrrdrx 232200)(2xrrdrxdEER )1 (2220 xRx RrPxdr22xr Ed讨论讨论1. 当当Rx（无限大均匀带电平面的场强）（无限大均匀带电平面的场强）0 0 )xRx(E22012 02 E212222)1 ( xRxRx 2)(211x

13、R)1 (2220 xRxE 20)(2111(2xR 204xq )xRx(E22012 2. 当当R0211141rEdSESdEse R+rqRr qqi0224 qrE 2024rqE E222242rESdESdEse E204Rq21rrROORq解：解：rR电量电量 qqi高斯定理高斯定理024 qrE 场强场强204rqE 24 rESdEe 电通量电通量均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电场强度分布曲线ROEOrER204RqE2S 高高斯斯面面解解: E具有面对称具有面对称高斯面高斯面:柱面柱面SESES 02110SES 012 02 E例例3. 均匀带电无限大平面

14、的电场，均匀带电无限大平面的电场，已知已知 ES1S侧侧S 12SSSeSdESdESdESdE侧 rlErlE 2200 0iq0 E高高斯斯面面lrE解：场具有轴对称解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面高斯面：圆柱面例例4. 均匀带电圆柱面的电场。均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为 seSdESdESdESdE上底侧面下底 (1) r R Rlqi20 rRE R2 令令rE02 高高斯斯面面lrErlE 2 seSdESdESdESdE上底侧面下底 位于中位于中 心心q过每一面的通量过每一面的通量课堂讨论课堂讨论q1立方体边长立方体边长 a，求，求位

15、于一顶点位于一顶点q1q 2q 移动两电荷对场强及通量的影响移动两电荷对场强及通量的影响2如图讨论如图讨论06 qe 0240qe课堂练习：课堂练习： 求均匀带电圆柱体的场强分布，已知求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R， 202Rr ERr Rr r02 02 lrlE Rr Rr lrRrlE2202 8-3电场力的功电场力的功 电势电势rdrr cl dc E ba保守力保守力dlEql dEql dFdA cos00 drdl cos其中其中 baEdrqA0EdrqdA0 则则与路径无关与路径无关 qarbrdr barrbao)rr(qqdrrqq11440020 一电场力做功一电场

16、力做功推广推广 banabl d)EEE(qA210 bababanl dEql dEql dEq02010 iibiain)rr(qqAAA1140021 (与路径无关与路径无关)结论结论 试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。 acbadbl dEql dEq000二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理abcd即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。00 q 0l dEq0沿闭合路径沿闭合路径 a

17、cbda 一周电场力所作的功一周电场力所作的功 acbbdal dEql dEql dEqA000在静电场中，电场强度的环流恒为零。在静电场中，电场强度的环流恒为零。 静电场的静电场的环路定理环路定理静电场的两个基本性质：静电场的两个基本性质：有源且处处无旋有源且处处无旋三、电势差与电势三、电势差与电势1 1、电势能、电势能静电场力的功，等于电势能的减少静电场力的功，等于电势能的减少 abab电场力的功：电场力的功：baabldEqA0baWW 0W取aaldEqW0注意注意：电势能是电荷与电场所组成的系统共有的电势能是电荷与电场所组成的系统共有的 2 2、电势差、电势差0qWWVVbaba定

18、义：定义： a、b两点的电势差为两点的电势差为 l dEVVbaba a a、b b两点的电势差等于将单位正电荷从两点的电势差等于将单位正电荷从a a点移点移到到b b时，电场力所做的功。时，电场力所做的功。3 3、电势、电势 单位正电荷在电场中某点具有的电势能，单位正电荷在电场中某点具有的电势能，称为电场在该点的称为电场在该点的电势电势。 0qWVaal dEVaa 电势的大小等于场强从该点到电势的大小等于场强从该点到电势零点电势零点（通常通常取无穷远处取无穷远处）的积分。）的积分。 注意注意1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。2、两点间的电势差

19、与电势零点选择无关。、两点间的电势差与电势零点选择无关。四、电势叠加原理四、电势叠加原理点电荷产生的电势点电荷产生的电势：rqVa04qar1 1、点电荷系、点电荷系各点电荷单独存在时，在该点产生的电势的各点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和代数和iiiarqV041r2rnr 1q 2qnq a2 2、电荷连续分布的带电体、电荷连续分布的带电体dqarrdqdV04QardqdVV04注意：注意： 表示对整个带电体求积分。表示对整个带电体求积分。Q方法方法 2 ：电势叠加原理：电势叠加原理 iiiarqV04或或QardqV04五、电势的计算方法五、电势的计算方法方法方法 1 ：已知电

20、场分布求电势，：已知电场分布求电势， l dEVaa通常，用在能够用高斯定理计算场强的场合通常，用在能够用高斯定理计算场强的场合例例1 1、求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：R R、q qpxxRdqrRxx0例例2 2、电量、电量q q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R R的圆盘上，求圆盘的圆盘上，求圆盘轴线上与盘心相距为轴线上与盘心相距为x x 的的P P点的电势。点的电势。rdq例例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，qrRO+功、电势差、电势能之间的关系功、电势差、电势能之间的关系 bababaabW

21、Wuuql dEqA)(讨讨 论论bauu bauu 2.0 abAbaWW 则则则则0 q0 q.0 abAbaWW 0 q则则0 q则则bauu bauu 8-4 场强与电势的关系场强与电势的关系一、一、 等势面等势面等势面等势面 ： 电场中电势相等的点组成的曲面电场中电势相等的点组成的曲面+电偶极子的等势面电偶极子的等势面 等势面的性质等势面的性质等势面与电力线处处正交，等势面与电力线处处正交， 电力线指向电势降落的方向。电力线指向电势降落的方向。abu0)( baabuuqA2 bauu 令令q在面上有元位移在面上有元位移ld0cos dlqEldEqdA 0)( dcdccduuqW

22、WA沿电力线移动沿电力线移动 q cdEdcuu a,b为等势面上任意两点移动为等势面上任意两点移动q,从从a到到b 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。规定规定:场中任意两相临等势面间的电势差相等场中任意两相临等势面间的电势差相等 课堂练习：课堂练习：由等势面确定由等势面确定a、b点的场强大小和方向点的场强大小和方向1u2u3uab03221 uuuu已知已知aEbEEabl dn uduu 二、场强与电势梯度的关系二、场强与电势梯度的关系)(cosduuudlEl dE dudlE cos单位正电荷从单位正电荷从 a到到 b电场力的功

23、电场力的功dudlEl dlduEl 电场强度沿某电场强度沿某一方向的分量一方向的分量沿该方向电势的沿该方向电势的变化率的负值变化率的负值),(zyxuu 一般一般xuEx yuEy zuEz 所以所以lE方向上的分量方向上的分量 在在El dkEjEiEEzyx )(kzujyuixu ugraduE graduu 或或u的梯度的梯度:的方向与的方向与u的梯度反向，即指向的梯度反向，即指向u降落的方向降落的方向E0ndnduE 物理意义：物理意义：电势梯度是一个电势梯度是一个矢量矢量，它的，它的大小大小为电势沿为电势沿等势面法线方向的变化率，它的等势面法线方向的变化率，它的方向方向沿等势面法

24、线方沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。向且指向电势增大的方向。例例1利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。细圆环轴线上一点的场强。22041)(xRqxuu 解解 :)41(220 xRqxxuEx 23220)(41xRqx 0 zyEEiEEx ixRqx23220)(41 例例2计算电偶极子电场中任一点的场强计算电偶极子电场中任一点的场强解：解：23220)(41),(yxpxyxuu (xxuEx )(4123220yxpx (yyuEy )(4123220yxpx lq rxy q B O Al iypE304 B点

25、点(x=0)ixpE302 A点点(y=0)8-5 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质一、静电场中的导体一、静电场中的导体1、静电平衡条件、静电平衡条件E外外+ 将导体放入外电场中，在导体的两端出现将导体放入外电场中，在导体的两端出现等量异号的等量异号的感应电荷感应电荷。导体达到静电平衡状态：导体达到静电平衡状态：+E外外E感感0 感外内EEE感应电荷感应电荷感应电荷感应电荷 导体处于导体处于静电平衡状态的特征静电平衡状态的特征是电荷的宏观是电荷的宏观运动完全停止。运动完全停止。 导体内部的场强处处为零。导体内部的场强处处为零。导体表面附近的场强方向处处导体表面附近的场强方向处处与表

26、面垂直。与表面垂直。静电平衡静电平衡条件条件1 1、导体是、导体是等势体等势体，导体表面是，导体表面是等势面等势面。2 2、导体内部处处没有未被抵消的、导体内部处处没有未被抵消的净电荷净电荷，净电荷只，净电荷只能分布在导体的表面上。能分布在导体的表面上。 3 3、导体外表面附近处的场强大小与导体表面在该处、导体外表面附近处的场强大小与导体表面在该处的面电荷密度的面电荷密度 的关系为的关系为0 E处于静电平衡状态的导体的性质：处于静电平衡状态的导体的性质：等势体等势体等势面等势面babauuE dl0 内内E QPQPQPdlcosEl dEuu0900QPuu ababuupQ导体内导体内导体

27、表面导体表面讨论讨论1）实心导体）实心导体2）腔内没有电荷的空腔导体）腔内没有电荷的空腔导体 电荷只能分布电荷只能分布在导体的在导体的表面表面上上 。S 空腔空腔内表面内表面无电荷，电无电荷，电荷只能分布在荷只能分布在外表面外表面上。上。qS3）腔内有电荷）腔内有电荷 q1的空腔导体的空腔导体未引入未引入q1时时放入放入q1后后2q+2q1q 1q1q 若设空腔导体带电若设空腔导体带电q2，则空腔，则空腔内表面内表面带电带电 q1，外表面外表面带电带电q1+q200cos0 EdSESS 0 E表面附近作足够小的圆柱形高斯面表面附近作足够小的圆柱形高斯面 ES 尖端放电尖端放电 尖端场强特别强

28、，足以使周围空气分子电离尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离而使空气被击穿，导致而使空气被击穿，导致“尖端放电尖端放电”。2、静电屏蔽、静电屏蔽 接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的场接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的场不受壳内电荷的影响。不受壳内电荷的影响。 封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场不受外电场的影响；不受外电场的影响；+ E0 E 电荷守恒定律电荷守恒定律静电平衡条件静电平衡条件电荷分布电荷分布Eu3、有导体存在时场强和电势的计算、有导体存在时场强和电势的计算AB例例2.已知已知R1 R2 R3 q Qq Oq1R2R3RQq 求求 电荷及场强

29、分布；球心的电势电荷及场强分布；球心的电势 如用导线连接如用导线连接A、B，再作计算，再作计算解解:由高斯定理得由高斯定理得电荷分布电荷分布qq Qq 场场强强分分布布204rqQ 204rq E01Rr 32RrR 21RrR 3Rr 球心的电势球心的电势 AOBqq 1R2R3RQq 场场强强分分布布204rqQ E0204rq 1Rr 32RrR 21RrR 3Rr 00213231RRRRRRoEdrEdrEdrEdrrdEu3021041114RQq)RR(q 球壳外表面带电球壳外表面带电用导线连接用导线连接A、B，再作计算，再作计算AO1R2R3RQq Bqq 3Rr 333004

30、RRoRqQEdrEdru 3Rr 204rqQE rrQqEdru04 Qq 0 E连接连接A、B，中和中和q)q( qq 练习练习 已知已知: 两金属板带电分别为两金属板带电分别为q1、q2 求：求： 1 、 2 、 3 、 41q2q4 1 3 2 Sqq22141 Sqq22132 有极分子有极分子：无外电场作用时无外电场作用时,分子正负电荷中心不重合分子正负电荷中心不重合无极分子无极分子：无外电场作用时：无外电场作用时,分子正负电荷中心重合分子正负电荷中心重合CH+H+H+H+正负电荷正负电荷中心重合中心重合甲烷分子甲烷分子4CH+正电荷中心正电荷中心负电荷负电荷中心中心H+HO水分

31、子水分子OH2ep分子电偶极矩分子电偶极矩ep0 ep二、二、静电场中的电介质静电场中的电介质 1、 无极分子的无极分子的位移极化位移极化0 epe无外电场时无外电场时ep ffl外外E加上外电场后加上外电场后0 ep+外外E极化电荷极化电荷极化电荷极化电荷2. 有极分子的转向极化有极分子的转向极化ff外外EpMe +外外E+无外电场时无外电场时电矩取向不同电矩取向不同两端面出现两端面出现极化电荷极化电荷转向转向外电场外电场ep外外Eep加上外场加上外场三、有电介质时的高斯定理三、有电介质时的高斯定理1、电位移矢量、电位移矢量ED DE0 真空中真空中Er 0介质中介质中DSD dS电位移通量

32、电位移通量 ：2、有介质时高斯定理、有介质时高斯定理iSD dSq 通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭合曲面所包围的闭合曲面所包围的自由电荷自由电荷的代数和。的代数和。 设一平行板电容器，极板上的自由电荷面密度设一平行板电容器，极板上的自由电荷面密度分别为分别为 。极板间充满了相对电容率为。极板间充满了相对电容率为 的的电介质。电介质。和r+ + + + + + + + )(1/0jisqqsdE/01() sr00/iSD dSqABCD S 与与 的区别的区别 :DED线线E线线 是自由电荷产生，其大小仅决定于是自由电荷产生，其大小仅决定于自由电自由电荷荷的空间分布，与极化电荷无关。的空间分布，与极化电荷无关。 是自由电荷是自由电荷和极化电荷共同产生的，其量值与和极化电荷共同产生的，其量值与自由电荷和极自由电荷和极化电荷化电荷的空间分布都有关。的空间分布都有关。DEr RPrS求求：（：（1）空间上）空间上任一点的任一点的 D和和E； （2）导体球的电势导体球的电势V。RQr 例例3 . 导体球半径为导体球半径为 ，带电量为，带电量为 ，球外电介质，球外电介质的相对介电常数为的相对介电常数为 。解：解：（1）应用高斯定理）应用高斯定理2 0 () ()4rRDQrRr20 0 () ()4rrREQ