问题意识与创新思维10月12日课程——数学与金融

1、1.谈资产的时间价值 以住房按揭贷款为例 什么是住房按揭贷款？ 怎样计算按揭贷款的月还款额？ 按揭贷款合算吗？“时间价值”讨论2. 谈资产的风险价值 用不确定性的未来价值的均值来确定当前价值 能否用未来不确定性的价值来确定当前价值？ 住房按揭贷款 ttp:/ 推导公式 【P12 月还款额=贷款总额*贷款月利率* 1+月利率总月数/1+月利率总月数-1 EXCEL 月利率 0.01*B1/12 月还款 10000*C1*POWER(1+C1,A1)/(POWER(1+C1,A1)-1)计算得出：要么选择五年以下，要么十年以上，6年很不合算问题：银行计算月利率是年利率的1/12合理吗？ 实际把年利

2、率提高了千分之一！与存款使用单利不同！复利魔方，巴菲特，叠报纸RR1)121 (12传统复利计算最多能使利率提高多少？rrrnnenrnr)1(Lim)1 (Lim/nn当年利率是5%时，用传统方法计算复利，银行最多也只能把利率提高千分之一， 即 e0.05=1.051271。对于住房按揭贷款问题来说，用年利率的1/12当月利率来计算复利，所提高的利率幅度【（1+5%/12）12=1.051162】几乎到顶！“时间价值”讨论按揭贷款合算吗？ 贷款利率比存款利率高很多，直到现今，仍然为银行80%的收入来源 “时间价值” Irving Fisher利息理论练习：等额本金还款法 等额还本付息还款法金

3、融经济学第二讲7利用“时间价值”来估算股票价值 J.B.Williams (1940) 投资价值理论股票的当前价格等于股票未来股利的折现之和 假设预计估价到明年的增长率是g，有可以看到：投资者如果感到股值的增长率很接近他心目中的预期，他对该股票的估价很会高10)1 (kkkkrdPgrdPrgPrdP100101)1 (1金融经济学第二讲8利用“时间价值”来估算股票价值 假设预计每年的增长率是g，有与上式一致！说明：预期当年的增长率相当于预计以后每年的增长率。若gr，P趋于无穷，说明：成长型股票价格“疯涨”既然金融资产有代表其“一般利润”的“时间价值”，那么为什么不同的资产、证券、资金等等会表

4、现出不同的收益率呢？)1 ()1 ()1 (1110grdrgdrdPkkkkkk金融经济学第四讲9Markowitz 证券组合选择理论 风险价值：在金融市场，人们为了获得更多的利益愿意承担更大的风险，从而风险本身将体现一定价值 Markowitz 问题:投资者同时在许多种证券上投资，应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。 Markowitz 把证券收益率看作随机变量，定义证券收益为它的数学期望，风险为它的标准差。问题归结为使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。H. Markowitz (1927) 1990年诺贝尔经济奖获得者金融经济学第二讲10均值方差分析 Mar

5、kowitz (1952) 首先提出把收益率看作随机变量，并用它的均值（数学期望）来刻画“收益”，用它的方差来刻画“风险”。这个观点沿用至今。 有了这样的观念以后，利用随机变量可进行线性运算，我们就可用来处理证券组合，其中的“风险”可“分散”、“对冲”以至“重新组合”。这是金融工程的核心。金融经济学第二讲11随机变量与向量的比较 随机变量： 协方差： 标准差： 相关系数 ： 金融经济学第四讲12金融经济学第四讲13金融经济学第四讲15带无风险证券的均值方差证券组合选择问题的解 【p60 n=2金融经济学第四讲16金融经济学第四讲17金融经济学第四讲18金融经济学第四讲资本市场线金融经济学第二讲

6、20资本资产定价模型Markowitz的证券组合选择理论是金融学上第一个阐述“收益-风险关系”的理论，但它说明的是“均值-方差有效证券组合”的问题，单个金融资产的“风险价值”从何而来？金融经济学第四讲21取自列维：投资学用“贝塔”度量风险梅哈啦（1985）“股权之谜”：为什么1990年以来，美国股票的平均收益比国库券收益高6% ？定量问题还未解决？金融经济学第二讲22金融资产定价问题 金融经济学的基本问题是在不确定市场环境下对金融资产定价。 这大致可表达为这样的一个问题：已经知道一种金融资产在未来各种可能的价值，要问它当前的价值是多少。 历史上最早的“金融资产定价”研究紧密联系着概率论的早期历

7、史。当时研究的“金融资产”就是赌博。赌博。 从“定价”（“下赌注”）的角度来看，赌博与金融资产一样，要确定“未来”价值不确定的“赌局”的“当前”价值。金融经济学第二讲23概率论的早期历史 Blaise Pascal (1623-1662)Pierre de Fermat (1601-1665)1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率论的基础。他们当时考虑一个掷骰子问题，开始形成数学期望的概念，并以“输赢的钱的数学期望”来为赌博“定价”。金融经济学第二讲24Pascal - Fermat 问题 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者赢。有一次，A 掷满 4 次双 6

8、 点，B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无意再赌下去，那么该怎样分割赌注？ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. 【P118 结论：应该用数学期望来定价。金融经济学第二讲25Bachelier 的观念 Pascal-Fermat 的观念被 Bachelier 用到证券市场的定价上。 如果证券的未来价值是随机变量 x, 那么其当前价值就是 p(x)=Ex, 或者 x=p(x)+, 其中 E=0.金融经济学第二讲26随机游走、布朗运动和鞅 如果考虑多时期的问题，即假定股票的各时期的价格为 它们之间的关系为金融经济学第二讲27随机游走、布朗运动和鞅 (续) 这里的 满足 且独立同分布。 随机序列称为随机游走随机游走；其“连续化”称为布朗运动布朗运动。价格序列满足有这种性质的随机序列称为鞅鞅。金融经济学第二讲28有效市场理论的先驱 这几个概念虽然都是后人提出的，但都起源于 Bachelier 1900 年的论文，而其更早的根源是 17 世纪的 Pascal-Fermat 的观念。 这样的观念也成为有效市场理论的先驱；不过后人发现：把上述价格序列代换为价格的对数序列更符合实际。早期有效市场理论就企图验证这样的结果。金融经济学第二讲29时间价值和风险价值 上述观