滑模变结构导引规律

1、第一章 滑模变结构导引规律1.1 引 言对拦截机动目标而言，比例制导律在理论上就存在缺陷，它不能保证视线稳定，因此脱靶量大。以目标导弹相对距离、相对速度和目标加速度等信息为状态变量所产生的线性二次型最优制导律虽然在理论上可以实现零脱靶量，但这种制导律形式复杂，需要信息多，而且对信息误差相当敏感。较大的信息测量或估计误差会使其性能反而低于比例制导律。逆系统控制方法，微分几何控制方法都为设计制导律提供了新的理论工具，但所设计出来的导引律也都存在形式复杂，需要信息多，鲁棒性差等缺点。近些年来, 研究对相对距离、相对速度和目标加速度测量或估计误差具有鲁棒性的制导律受到了人们的关注。滑模变结构控制系统具

2、有宝贵的抗干扰和抗参数摄动特性1。 因此, 应用滑模变结构控制理论设计制导律是一条解决问题的途径28。本章首先介绍空间拦截问题的数学描述，然后介绍作者提出的自适应滑模制导律和最优滑模制导律58。最后，从理论上证明滑模制导对目标机动和制导参数变化有完全自适应性6。1.2 空间拦截中的坐标系 空间拦截中坐标系的定义 为了设计导弹末端导引规律并对末制导过程进行仿真，要建立一组方程来描述末制导阶段导弹和目标的运动，其中包括导弹轨道运动方程和姿态运动方程，目标轨道运动方程，以及目标导弹相对运动方程。为此，要建立几个有关的坐标系。 1. 地心惯性坐标系此坐标系如图1.1所示，原点位于地心上。平面与目标轨道

3、面重合，轴指向某一恒星，轴垂直于轴，且指向上方为正，轴方向按右手定则确定。我们把平面称为侧向平面，而所有与它垂直的平面均为纵向平面。显然，平面就是一个纵向平面。2. 惯性坐标系原点位于末制导初始时刻导弹质心上。轴轴和轴分别平行于轴轴和轴。3. 牵连惯性坐标系原点o位于导弹质心上。轴轴和轴分别平行于轴轴和轴，同时分别平行于轴轴和轴, 见图1.1。4. 导弹弹体坐标系原点o位于导弹质心上。轴与弹体纵轴重合，指向头部为正，轴在弹体纵向对称平面内，垂直轴，指向上方为正，轴方向按右手定则确定。图1.1 地心惯性坐标系、牵连惯性坐标系和视线坐标系5. 导弹（目标）弹道坐标系原点o取在导弹(目标)质心上。轴

4、与弹体质心的速度矢量重合，轴位于包含速度矢量在内的纵向平面内，且垂直于轴，指向上方为正，轴垂直于平面，其方向按右手定则确定。6. 导弹速度坐标系原点o取在导弹质心上。轴与弹体质心的速度矢量重合，轴位于弹体纵向平面内，与轴垂直，指向上方为正，轴垂直于平面，其方向按右手定则确定。7. 视线坐标系如图1.1所示，图中t代表目标质心。原点o位于导弹的质心, 轴与导弹目标视线重合, 由导弹指向目标为正。轴位于包含轴的纵向平面内，与轴垂直，指向上方为正。轴方向按右手定则确定。显然，轴位于侧向平面内。1. 由牵连惯性坐标系到弹体坐标系的变换矩阵 式中，和分别为弹体的俯仰角、偏航角和滚动角。俯仰角定义为轴与侧

5、向平面之间的夹角，轴在侧向平面之上形成的夹角为正，反之为负；偏航角定义为轴在侧向平面上的投影与轴之间的夹角。迎轴顶视, 轴逆时针转至导弹纵轴的投影线为正，反之为负；滚动角定义为导弹的轴与包含弹体纵轴的纵向平面之间的夹角。由导弹尾部顺轴前视，轴位于纵向平面的右侧，形成的夹角为正，反之为负。2. 由牵连惯性坐标系到弹道坐标系的变换矩阵 , 式中，和分别是导弹(目标)的弹道倾角和弹道偏角。弹道倾角定义为导弹(目标)速度矢量 (轴)与侧向平面之间的夹角。若速度矢量在侧向平面之上，则为正，反之为负；弹道偏角定义为导弹(目标)速度矢量在侧向平面上的投影与轴之间的夹角。迎轴顶视，若轴逆时针转到投影线上，则为

6、正，反之为负。3. 由速度坐标系到弹体坐标系的变换矩阵 式中，和分别是攻角和侧滑角。攻角是导弹速度矢量在弹体纵向对称平面上的投影与轴的夹角。若轴位于投影线的上方，则为正，反之为负；侧滑角是导弹速度矢量与弹体纵向对称平面之间的夹角。沿轴前视，若位于平面的右侧，则为正，反之为负。在研究空间拦截的过程中，如果需要考虑空气动力的影响，则和将用于计算气动力和气动力矩。4. 由牵连惯性坐标系到视线坐标系的变换矩阵 式中，和分别代表视线倾角和视线偏角。视线倾角定义为视线(轴)与侧向平面之间的夹角。若视线在侧向平面之上，则为正，反之为负；视线偏角定义为视线在侧向平面上的投影与轴之间的夹角。迎轴顶视，若轴逆时针

7、转到投影线上，则为正，反之为负。推导以上各变换矩阵可以参考文献9中的方法。1.3 空间拦截中的弹道方程 式中，和分别代表导弹的速率、弹道倾角和弹道偏角；和代表导弹在惯性坐标系中的位置；和代表重力加速度在导弹弹道坐标系上的分量；和代表导弹机动加速度在导弹弹道坐标系上的分量。导弹机动加速度由安装在弹体上，作用线通过弹体质心的轨道控制发动机的推力和总空气动力共同产生。在外层空间，空气极其稀薄，空气动力的影响可以忽略不计，那么 式中，和是由轨道控制发动机产生的沿弹体系各轴的制导加速度，而 式中，和代表轨道控制发动机产生的沿弹体系各轴的推力，m代表导弹的质量。 式中，和分别代表目标的速率、弹道倾角和弹道

8、偏角；和代表目标在惯性坐标系中的位置；和代表重力加速度在目标弹道坐标系上的分量；和代表目标机动加速度在目标弹道坐标系上的分量。 式中，和代表导弹沿弹体系三个轴的转动惯量；和代表导弹绕弹体系三个轴的转动角速度；和代表作用于导弹弹体系三个轴上的控制力矩。 , 式中，代表地面重力加速度；代表地球平均半径；,而 , 和是惯性坐标系的原点在地心惯性坐标系中的坐标，和是导弹或目标质心在惯性坐标系中的坐标；是由牵连惯性坐标系到导弹(目标)弹道坐标系的变换矩阵。 式中，m代表导弹的质量；代表第i个发动机的比冲；代表第i个发动机输出的推力; n代表导弹上安装发动机的个数。以上弹道方程的推导也可以参考文献9中的方

9、法。视线角和以及视线角速率和可以用下列公式求得： 式中，。1.4 自适应滑模制导律（ASMG）导弹相对运动的数学描述 为了研究导引规律, 选取某一时间区间起始时刻的视线坐标系作为末制导过程中目标导弹相对运动的参考系，在内此参考系仅随导弹平动。这样，末制导过程中的相对运动可以解耦成纵向平面内的运动和侧向平面内的运动。以纵向平面内的运动为例，设在内，视线倾角的增量为，则 式中，代表导弹与目标之间的相对距离, 代表时间内方向上的相对位移。若时间区间足够小，则是一个很小的量。因此， 将式0相对时间t进行一次微分，得到 把代入式0, 得到 把式0等号两边相对时间再微分一次，得到 把代入式0，得到 式中，

10、 和分别代表导弹和目标机动加速度在方向上的分量。为了便于设计制导律，取状态变量，那么由式0可得状态方程 式中，, , ，, 视为控制量，视为干扰量。ASMG的推导为了使系统0对参数摄动和干扰具有鲁棒性，我们考虑用变结构控制理论设计制导律。根据准平行接近原理，希望在制导过程中趋于零。因此，选取滑动模态为 为保证系统状态能够到达滑模，而且在到达滑模的过程中有优良的动特性，可以应用趋近律来推导出控制器。一般的指数趋近律等速趋近律等只适用于线性时不变系统，而系统0是一个线性时变系统，因此需要构造对时变参数具有自适应性的滑模趋近律来保证滑模到达条件和良好动特性。线性时不变系统滑模趋近律的一般型表达式可写

11、作 式中，是关于s的函数，而自适应趋近律的一般形式可以表达为 式中，p代表系统参数。这里，令系统0的自适应滑模趋近律为 ， 它的物理意义是，当较大时，适当放慢趋近滑模的速率；当时，则使趋近速率迅速增加，确保不发散，从而令导弹有很高的命中精度。对趋近速率进行自适应调节可以有效地削弱绕滑模的抖动。把式0改写作，然后代入式0，并注意到，则得到 再把式0代入式0，并考虑到，得到ASMG的精确表达式 在实际应用中，干扰f可能无法得到，因此易实现的ASMG为 根据Lyapunov第二法，取一个Lyapunov函数。将此函数相对时间进行微分，并考虑系统0，得到 把式0代入式0，得到 显然, 当时，如果, 那

12、么。假设, , , 和是常数, ，则 即。这样, 只要选取，式0就可以保证视线角速率。若时间区间，则增量。另外，末制导过程中变化不大，而且ASMG 对系统参数摄动或变化有鲁棒性，所以 综合以上两种因素，得到 变结构制导律对参数摄动和干扰有完全的自适应性6，作出以上简化是可行的。最后，将和代入式0，则得到纵向平面内的ASMG: 同理，对侧向平面，设时间区间内，视线偏角的增量为，那么 式中，代表时间区间视线参考系轴上的相对位移。若充分小，则是一个很小的增量，因此 用同样的方法可以推导出侧向平面内的ASMG，即 式中，。式0和0中含有开关函数项，要求控制量进行切换。在实际系统中，控制量的切换不可能瞬

13、时完成，总是存在一定的时间滞后，这就会造成抖动。幅度过大的抖动可能有害。为了削弱抖动，可以对非连续开关函数进行光滑处理，例如用高增益连续函数和分别代替和，其中和都是小正数。经过光滑处理的ASMG（SASMG）为 采用式0和0可以削弱抖动。实现ASMG或SASMG，只要求弹上的目标探测器（导引头）提供视线角速率信息，这在工程上是容易做到的。SASMG可以削弱抖动，但并不一定能够消除它（例如，当或选得较大，和选得很小，而实际存在的干扰又较小时，仍然有可能发生抖动）。本书的第二章将研究完全去除抖动的智能ASMG和模糊ASMG方法。在末制导过程中，空间拦截器仅带有两组(共4个)轨道控制发动机，可以分别

14、沿着弹体的轴和轴的正负方向产生控制力。拦截器纵轴（即轴）方向上没有控制力。如果导弹姿态控制系统令其俯仰角跟踪视线倾角，偏航角跟踪视线偏角，那么弹体坐标系便与视线坐标系重合，而SASMG的表达式可以写作 1.5 最优滑模制导律以平面内情况为例, 目标导弹相对运动关系如图1.2所示。图1.2 平面内目标导弹相对运动关系由图1.2可以导出如下方程 式中，代表目标与导弹之间的相对距离, 代表相对于时间的导数；和分别代表目标速率和导弹速率；代表视线角, 代表相对于时间的导数；和分别代表目标和导弹的速度方向角。为便于推导，令，把它们代入式0和0后对式0和0相对于时间求一阶导数，得到 令 把式00代入式0和

15、0，并注意到式0和0，得到 显然，和分别是目标加速度和导弹加速度在视线方向上的分量；和则分别是目标加速度和导弹加速度在视线法向上的分量。把和代入式0，得到 在末制导问题中，只需使得在视线稳定的情况下，相对速度。在空间拦截等一些实例中，导弹迎头拦截目标，这时可以令。设计制导律的关键在于如何通过控制视线角速率，令其趋近于零，从而实现准平行接近。取状态变量，则式0可以化作一个一阶线性时变微分方程： 式中，为控制量，为干扰量。此模型与1.4中导出的模型是一致的。事实上，以纵向平面为例, 当1.4中所设的时间区间趋于零时，也趋于零，此时由式0即可导出式0。同样, 在侧向平面内趋于零，也可以导出式0。值得

16、注意的是, 1.4中纵向平面内导弹和目标视线法向加速度和的正方向分别与和的正方向一致，而侧向平面内导弹和目标视线法向加速度和的正方向则分别与和的正方向相反。 暂时假设式0中的干扰量，也就是说先考虑目标不机动情形，则该式写作 式中，和视作系统的外部参数。选取如下线性二次型性能指标 式中，, ，为加权因子。基于准平行接近原理, 为保证制导精度令, 因为当时, 。在式0中，和分别代表末制导的起始时刻和终止时刻。实际上，导弹上的目标探测器进入盲区或导弹控制能量耗尽后，制导过程终止，随后导弹依惯性继续飞向目标。众所周知，令取极小值的最优控制为 式中，满足Riccati方程 令 代入式0和0得到 为了使燃

17、料消耗最小（这在空间拦截等问题中显得很重要，因为导弹所携带的燃料是有限的），不妨取, 则式0化作一个时变的线性一阶微分方程 考虑到终端条件0, 构造方程0的解析解为 把和代入式0得到 注意到, 选择 则式0化作 把式0和代入式0，同时把式0通过式0代入式0，得到最优控制 最优制导律0适合拦截非机动目标, 然而在拦截机动目标时，它不能保证视线角速率趋于零。为了弥补这种不足，我们把最优制导与滑模制导结合起来，设计一种对目标机动有良好鲁棒性的新制导律，而同时又保留最优制导动态性能好，节省能量等优点。基于准平行接近原理，选取开关函数 为了保证状态x在到达滑模的过程中具有好的动态性能，可以应用滑模趋近律

18、这一概念来设计制导律。这里，我们利用最优制导的解析表达式构造趋近律。把式0以及和的定义式代入式0得到滑模外的最优运动： 根据式0, 构造最优趋近律 式中，, , 把式0和0代入式0得到最优滑模制导律 下面，证明在目标机动时最优滑模制导律仍可以保证。由Lyapunov第二法, 选取Lyapunov函数。考虑目标机动情况，把式0写作 式中，。将相对于时间微分并考虑式0得到 把式0代入式0，得到 由式0并注意，, 得到 所以式0中的第一项为负。显然, 如果, 那么式0中的第二项也为负。这样, 成立。 假设, , , , 而, 其中、和是常数, 则 , 其中 即。严格地讲，实现式0要已知、和。方程0中

19、的第二式表明，当, 时, 。但这种现象只发生在非常接近于的一段非常短的时间内。在制导过程的绝大部分时间内，因此。特别是，如果, 那么，这意味着是比例导航项。在实际应用中, 难以实时获得或验前估计出来, 所以可选。在整个制导过程中，变化不大, 例如在空间拦截或空空短程拦截中，几乎是一个常数。另外，由于滑模制导律对参数摄动有鲁棒性，所以在式0中可以使用的近似估计值，例如取其为。这里代表在末制导初始时刻的估计值。这样, 在实际应用中，最优滑模制导律可以简化为 事实上，当式0中的k 取为2时，ASMG即等价于简化的最优滑模制导律。实际应用中，为了削弱抖动，通常用一个连续函数代替符号函数，其中是一个小的

20、正实数，而制导律则写作 显然，从物理上实现上式只要求测得视线角速率，这在工程上是较容易做到的。1.6 滑模变结构制导律的鲁棒性在这一节中, 我们首先研究线性时变系统的滑动模态不受系统中的干扰和参数摄动影响的条件, 得到具有普遍意义的结论。然后, 在上述结论的基础上证明变结构制导律具有鲁棒性。 设所研究的系统为 , 其中x代表系统状态, u代表控制向量，A(t)和B(t)为相应维数的矩阵。又设切换函数为 , 滑动模态全部位于的子空间内。下面，我们讨论滑模变结构控制系统在干扰及参数摄动作用下的工作特性。1. 系统受干扰情况考虑系统 其中f是维干扰向量，D为维矩阵。 有如下定理描述滑模变结构控制系统

21、的抗干扰性能。 定理1.1：系统0的滑动模态不受干扰影响的充分必要条件为 为了证明上述定理，首先需要一个引理。 令，则由系统0引出 设m×m 矩阵是非奇异的，那么从式0可以解出等效控制 把式0代入式0可以得到描述滑动模态运动的微分方程 由式0易知如下引理: 引理1.1：系统0的滑动模态不受干扰影响的充要条件是 下面对定理1.1进行证明。 证明 ：1 必要性 式0可以写作 式0表示阵之列的任一线性组合必为阵之列的线性组合，即 2 充分性 因为所以式中，是一个m维列向量。这样， 以上讨论表明再由引理1.1，定理1.1得证。2. 系统参数摄动情况 存在参数摄动的系统可以用下列方程组描述：

22、定理1.2：系统0的滑动模态不受参数摄动影响的充分条件是 , 式中，为矩阵T的列向量，T为子空间的一个基的阵。证明：系统0的滑动模态运动方程为 从，即可以解出等效控制从而得到滑动模态运动方程显然，如果 则将不会影响到滑动模态。因为T是子空间的一个基的阵，当向量时，存在一个维列向量，使得下式成立 这样式0可以改写成 由条件 , 可得 即 式中，是一个m 维列向量。由式0可得 式0等价于式0。定理1.2得证。 下面讨论一种能控标准型系统 其中，和均是n维列向量，表示的摄动量。由定理1.1和1.2，系统的滑动模态不受干扰及参数摄动影响的充分条件为 而且 , 对能控标准型系统而言 , , 容易验证，式

23、0和0自然得到满足。因此可得推论1.1：能控标准型系统0的滑动模态自然满足对干扰及参数摄动的不变性条件，无需检验。显然，式0所描述的制导问题是一个能控标准型系统。由推论1.1，如果应用变结构控制理论设计控制器，那么此系统的滑模将不受干扰和参数摄动的影响。目标机动加速度是系统中的干扰，的测量值或估计值不可能很准确，这样，系统中由所决定的参数和必然存在摄动或变化。总之，系统0中不可避免地存在干扰和参数摄动（变化）。因此，利用滑模变结构控制理论设计导引规律对于提高制导系统的鲁棒性有重要意义。参考文献1 高为炳. 变结构控制理论基础. 北京: 中国科学技术出版社, 1990.2 Brierley S D, Longchamp R. Application of Sliding-Mode Control to Air-Air Interception Problem. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1990, 26 (2): 3063253 Babu K R, Sarma I G, Swamy K N. Switched Bias Proportional Navigation for Homing Guidance ag