拓宽解题途径

1、拓宽解题途径，提高学生审美创造力香山中学 孙 瑛审美能够陶冶人们的情操，增长人们的智慧，增强人们生活的乐趣，审美教育是培养学生具有正确的审美观点和感受美、鉴赏美、创造美的能力教育，是培养全面发展人才的一个重要途径。围绕我校“以美立校，立美育人”的办学理念，我有意识地把美育带入课堂。法国哲学家狄德罗说过：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个复杂问题的简单解答。”高三的数学课堂，解题方法的教学显得尤为重要，数学的美体现在数学技巧上，简单巧妙的解题方法就是一种简洁美。为了让学生尽快提高数学解题能力，我在教学中追求探索解题途径过程的简单美，追求突破常规思路，拓宽解题方法的奇异

2、美，注重培养学生思维的敏锐性和创造性。撰写此文将我教学中的做法列举一二，企盼能给同仁起到抛砖引玉的作用。一、追求简洁美凡是简洁的，一目了然的解题方法总是易于为大家选择接受的，教学中培养学生追求简洁的品质，在多种解法中选择“美的解法”，特别是在复习课教学中，更要注意引导学生总结规律，避繁就简，在数学解题过程中追求解法的简洁美。1. 巧用公式化解繁琐计算复习平面向量这一章时，我让学生做了一个习题：“已知向量是与垂直的单位向量，若，求。”学生先设，再根据及是单位向量列出两个关于x、y的二元二次方程组，然后解出x、y，代入求出，最后就可以算出的值了。但因为上面的方程组有两解，且数据较复杂，所以整个解题

3、过程繁琐，基础较差的学生就难以算出正确答案。我在教学中，引导学生分析曾经学过的一个公式的特点，它能将向量的模的运算转化成向量的运算，由此带来计算的简便，本题可以利用这个公式将化为，因为且，故能轻松得到答案的。2. 利用数形结合获得解题思路的简单美一个解析几何题往往会有很多的解题思路，从不同的角度去分析，获得的解题方法也各异，并且难易程度差距很大。如何让学生获得比较简单的解题方法，是我本学期注重研究的课题。学生在解题时多从字面上去理解，根据字面的表达来确定解题思路，由此得到的思路常会带来繁琐的计算，我的做法就是告诉学生，解析几何毕竟是几何，许多时候，画出简单图形，用平面几何的知识来分析理解题目的

4、已知与未知条件之间的关系，寻找解题思路，就有可能避免繁琐的运算。例如，例题“已知直线L1与直线L2的夹角平分线方程是若直线L1的方程是求直线L2的方程。”我先让学生分析解题思路，有学生回答：设直线L2的斜率为k，然后根据直线L1与直线的夹角等于直线L2与直线的夹角用两直线的夹角公式来求出k,再联立方程组求得直线L1与平分线的交点P,因为点P也在直线L2上，最后用点斜式写出直线L2的方程。我首先肯定这个学生的思路正确，然后让全班同学按照这个思路进行解答，一部分学生作对了，但还有不少学生运算能力比较差，这里求k与求交点的运算令他们感到头疼。我引导学生用对称的观点来分析本题：直线是直线L1与直线L2

5、的夹角平分线，则直线L2关于直线的对称直线是L1，在直线L2上任取一点P(x、y)，则它关于直线的对称点Q一定在直线L1上。下面只要求出点P关于直线的对称点Q的坐标并代入直线L1的方程即可。这样的解题思路，化解了常规解题中的繁琐计算，使学生获得了解题过程的简单美。如此教学，既是教育，又是美育，这种数学技巧的简洁美给人以强烈的美感体验。二、追求奇异美有些数学题，用常规思路设计的解法很难求得结果或根本找不到思路，这时，就需要突破常规，另辟蹊径。“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”，引导学生追求奇异美，拓宽解题思路，往往会得到意想不到的效果。例如，立体几何中有一道习题：“若斜三棱柱的一个侧面面积为5，

6、这个侧面与它相对棱的距离为2，求这个棱柱的体积。”这道题对于我们普通中学的大部分学生来说确有一定难度，不少同学会感到无从下笔，丧失解题的信心，在教学中我是这样对学生进行引导的：老师：若用常规方法，需要先求什么？怎么求？学生：需要先求出此斜三棱柱的底面积和高，但从题目的已知条件中很难求得。老师：既然很难根据已知条件求得斜三棱柱的底面积，而题目中已知一个侧面面积，能否考虑用它来代替底面积呢？学生甲：可它不是底面，怎么能代替？除非让这个斜三棱柱翻倒，用这个侧面作底面。（哈哈哈，许多学生都在笑）老师：可能吗？学生乙：不可能，因为棱柱的侧面不能是三角形。老师：是的，斜三棱柱的底面与侧面是不能改变的，有没

7、有能将底面与侧面改变的斜棱柱呢？学生丙：有，底面是平行四边形的斜四棱柱。老师：对，也就是平行六面体，它的任意一个面都可以作底面。请大家想一想，能否将题中的三棱柱变成四棱柱？怎样变？（学生们进入思考状态，过了一会儿，）老师：就好比平面三角形，怎样能等到一个与它相关的平行四边形。学生丙：我想起来了，用两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，也就是说，用两个全等的斜三棱柱可以拼成一个斜四棱柱。老师：很好，在讲下去！学生丙：这样的斜四棱柱就可以用已知侧面积的那个侧面作底面了，而这时，正好可以用这个侧面与它相对棱的距离2作为斜四棱柱的高，所以，这个斜四棱柱的体积就是5乘以2等于10。（整个课堂气氛变得轻

8、松起来，许多学生都听明白了，齐声说：本题的答案就是5，更有学生感叹：太奇妙了！如此一来，这个题就不是难题了）再如，复习解析几何时，我给学生讲解了这样一道例题：“已知P（a，b）是圆外一定点，PA、PB是过P点的圆的两条切线，A、B为切点，求证：直线AB的方程是”。此题若用常规的方法，可设切线PA、PB的点斜式方程，分别与圆的方程联立方程组，求出切点A、B的坐标，最后得到直线AB的方程是，整个的计算特别繁琐，学生很难完成。我教给学生的证法是：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则以A为切点的切线PA的方程是：以B为切点的切线PB的方程是：，因为，点P在两条切线上，所以， 由知，点A、B的坐标满

9、足方程，即直线AB的方程是。不知不觉中就证明出本题了，既简洁又奇特，给予了学生一种全新的思维。3.提高学生创造力一个严谨的数学问题是一个有机的整体。因此，在教学过程中，引导学生运用审美直觉，洞察其内在的隐蔽的联系，帮助他们从“繁杂中区分简洁明了的实质性东西，从而发现优美而正确的解题途径”，是培养学生创新意识，提高学生创造力的有效措施。在讲解例题：“设,若直线L与AC垂直，且被ABC截得的线段长为，求直线L的方程。”时，我先让学生分析、设计解题思路，他们基本上都是先求出直线AC的斜率，再利用“直线L与AC垂直斜率相乘等于-1”求出直线L的斜率是-2，然后设直线L的斜截式方程，并与直线AC的方程联

10、立求交点D、与直线BC的方程联立求交点E，最后由 求出b的值-2，后面两个方程组的求解以及求b的方程的解运算量都很大。这时，我要求学生根据题目所给条件画出准确的ABC图形（强调图形一定要准确），从图上猜一猜ABC的形状，很快就有学生回答是个以A为直角的直角三角形，即BAAC，（提醒学生注意，猜出的结论一定要证明），因为直线L与AC也垂直，所以直线L与BA平行，而直线L被ABC截得的线段DE长为，且，由平面几何知识可知，DE是三角形ABC的中位线，因此，只要求出AC、BC的中点D、E的坐标，就可以轻松求得直线L的方程。按照这样的思路，解题过程就简单多了。引导学生通过比较，优化解法，挖掘和采撷数学的