Ch82 正态总体均值的假设检验(浙大 4)

1、概率论与数理统计概率论与数理统计单个正态总体单个正态总体 均值的检验均值的检验两个正态总体均值差的检验两个正态总体均值差的检验小结小结第二节第二节 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验 1. 已知，关于已知，关于 的检验（的检验（Z检验）检验） 在上一小节中已讨论过正态总体在上一小节中已讨论过正态总体 , 当当 已知时关于已知时关于 的检验问题的检验问题.在这些检验在这些检验问题中，我们都是利用在问题中，我们都是利用在 为真时服从为真时服从 分布的统计量分布的统计量 来确定拒绝域。这种检验法来确定拒绝域。这种检验法常称为常称为 Z检验法检验法。0Xn(0,1)N0H2( ,)N 202

2、2(,)N 一、单个总体 均值 的检验),(2 N)( ,. 12检检验验的的检检验验关关于于为为已已知知Z ),( 2 N体体在上节中讨论过正态总在上节中讨论过正态总: ,02的检验问题的检验问题关于关于为已知时为已知时当当 . : , : )3( ; : , : )2( ; : , : )1(010001000100 HHHHHH假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验 一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验00 (0,1) , /. HNXZnZ讨论中都是利用为真时服从分布的统计量来确定拒绝域的这种检验法称为检验法)( ,. 22检检验验的的检检验验关关于于为为未未知知

3、t . , , ),(22 显著性水平为显著性水平为未知未知其中其中设总体设总体NX . : , : 0100的的拒拒绝绝域域求求检检验验问问题题 HH , , 21的的样样本本为为来来自自总总体体设设XXXXn , 2未知未知因为因为 . / 0来确定拒绝域来确定拒绝域不能利用不能利用nX , 22的的无无偏偏估估计计是是因因为为 S, 来来取取代代故故用用S . / 0来作为检验统计量来作为检验统计量即采用即采用nSXt ,/ 00Hnsxt过过分分大大时时就就拒拒绝绝当当观观察察值值 ./ 0knsxt 拒拒绝绝域域的的形形式式为为),1(/ ,00 ntnSXH 为为真真时时当当00P

4、H H拒绝为真 , /00 knSXP根据根据第六章第六章2定理三定理三知知, , )1( 2/ ntk 得得 . )1(/ 2/0 ntnsxt 拒拒绝绝域域为为22( ,), , .N 类似可以给出正态总体当未知时关于 的单边检验的拒绝域 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检检验法来检验关于正态总体均值的检验问题验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法. 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服服从正态分布从正态分布, 均为未知

5、均为未知. 现现测得测得16只元件的只元件的寿命如下寿命如下:170485260149250168362222264179379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时小时)?2, 例例1解解 ,225:,225:100 HH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s查表得查表得7531. 1)15(05. 0 t 6685. 0/0 nsxt .225 , 0小小时时大大于于认认为为元元件件的的平平均均寿寿命命不不故故接接受受 H,差差分别是这两个样本的方分别是这

6、两个样本的方定理四定理四 P143分分别别是是具具有有与与设设21,2121nnYYYXXX, ),(211 N相同方差的两正态总体相同方差的两正态总体的的样样),(222 N,本本,且这两个样本互相独立且这两个样本互相独立,1111 niiXnX设设,1212值值分分别别是是这这两两个个样样本本的的均均 niiYnY,)(11112121 niiXXnS 212222)(11niiYYnS则则有有);1, 1(/(1)2122212221 nnFSS ),2(11)()(212121 nntnnSYXw , (2)22221时时当当 ,2)1()1(212222112 nnSnSnSw其其中

7、中.2wwSS 证明证明 (1) 由定理二由定理二),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222 nSn , , 2221独独立立由由假假设设SS 分布的定义知分布的定义知则由则由F222222211211)1()1()1()1( nSnnSn . )1, 1(/ 2122212221 nnFSS 即即1), 1(21 nnF 221221, nnNYX 因因为为212111)()( nnYXU 所以所以(2),1()1( 122211 nSn 由由),1()1(222222 nSn ,且它们相互独立且它们相互独立分分布布的的可可加加性性知知故故由由2 ),1 , 0(NV

8、2222)1( Sn ),2(212 nn ,相互独立相互独立与与由于由于VU)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt.分布的定义分布的定义按按 t 2211)1( Sn 二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN. . ,),(,),( , 22212121注意两总体的方差相等注意两总体的方差相等且设两样本独立且设两样本独立样本样本的的为来自正态总体为来自正态总体的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体设设 NYYYNXXXnn 利用利用t检验法可以检验检验法可以检验具有相同方差具有相同方差的两正的两正态总体态总体均值差均值差的假

9、设的假设. , , , 2212221均均为为未未知知方方差差是是样样本本分分别别是是总总体体的的样样本本均均值值又又设设 SSYX .)( : , : 211210的拒绝域的拒绝域为已知常数为已知常数求检验问题求检验问题 HH . 取显著性水平为取显著性水平为 : 统计量作为检验统计量统计量作为检验统计量引入引入 t,11)(21nnSYXtw .2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt根据根据第六章第六章2定理四定理四知知,其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为,11)(21knnsyxw , 00HHP拒拒绝绝为为真真 knnS

10、YXPw2111)(21).2( 212/ nntk 得得故拒绝域为故拒绝域为 2111)(nnsyxtw ).2(212/ nnt 关于均值差的单边检验问题的拒绝域见表关于均值差的单边检验问题的拒绝域见表8.1, 当两个正态总体的方差均为已知当两个正态总体的方差均为已知(不一定相不一定相等等)时时,我们可用我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值检验法来检验两正态总体均值差的假设问题差的假设问题, 见表见表8.1 . 0 的的情情况况常常用用 例例 2转转）测定冰自）测定冰自和和用两种方法（用两种方法（。C72. 0BA)./(C0克克计计以以卡卡的的水水的的融融化化热热变变为为。测得以下数

11、据：测得以下数据：02.8000.8002.8003.8005.8097.7904.8003.8003.8004.8002.8004.8098.79：方法方法A97.7895.7903.8097.7997.7998.7994.7902.80：方法方法B设这两个样本相互独立，设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体且分别来自正态总体),(),(2221 NN和和.,221均均未未知知 :)05. 0 （取取显显著著性性水水平平试检验假设试检验假设, 0210 H, 0211 H解解分别画出对应于方法分别画出对应于方法A和方法和方法B的数据的箱线的数据的箱线图图(图图83略略)，显差异的，显差异的

12、，如图这两种方法所得的结果具有明如图这两种方法所得的结果具有明现在来检验上述我们看到的假设现在来检验上述我们看到的假设.,0H故拒绝故拒绝.BA测测得得的的融融化化热热要要大大比比方方法法认认为为方方法法,131 n,024. 022 As，82 n2203. 0 Bs2ws8/113/1 wBsxxtA 33. 3.7291. 1 )2813(05. 0 t ,98.79B x,02.80 Ax1971222BAss .0007178. 0 三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验( t 检验检验 )这种方法常称为这种方法常称为逐对比较法逐对比较法.两种方两种方法等的差异法等的差异,有时

13、为了比较两种产品有时为了比较两种产品,或两种仪器或两种仪器,我们常在相同的条件下做对比试验我们常在相同的条件下做对比试验,得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值.然后分析观察数据作出然后分析观察数据作出推断推断.得到得到9对观察值如下对观察值如下:,xI,yI例例3 3 有两台光谱仪有两台光谱仪用来测量材料中某种用来测量材料中某种金属的含量金属的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著差异为鉴定它们的测量结果有无显著差异,制备了制备了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均匀性它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块现在分别用这两台机器对每一试块测量一次

14、测量一次, 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?)01. 0( 本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块一对即对同一试块一对 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因

15、素引起如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起数据数据,的的.由于各试块的特性有广泛的差别，由于各试块的特性有广泛的差别， 解解表中第一表中第一行不能看成是一个样本的样本值行不能看成是一个样本的样本值.表中第二行也不表中第二行也不能看成是一个样本的样本值能看成是一个样本的样本值. 而同一对中两个数据的差异则可看成是仅而同一对中两个数据的差异则可看成是仅素素,而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因由这两台仪器性能的差异所引起的由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样这样, 局限局限表中

16、第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差,iiiyxd ),( , 221 dnNddd来来自自正正态态总总体体设设 ., 2均均为为未未知知这这里里 d若两台机器的性能一样若两台机器的性能一样, ,21属随机误差属随机误差则各对数据的差异则各对数据的差异nddd随机误差可以认为服从正态分布随机误差可以认为服从正态分布, , 其均值为零其均值为零.需检验假设需检验假设, 0:0 DH ; 0:1 DH ,221sddddn样样本本方方差差的的样样本本均均值值设设,3554. 3)8(, 9005. 0/ ttnn 现现在在.3554. 3/ nsdtD由观察值得由观察值得,06. 0

17、d,01227. 0 Ds467. 19/1227. 006. 0 t3554. 3 即知拒绝域为即知拒绝域为 , )1(/0 2/ ntnsdt拒绝域为拒绝域为的值不落在拒绝域内，的值不落在拒绝域内，现现t，故接受故接受0H.著差异著差异机器的测量成果并无显机器的测量成果并无显认为两台认为两台做以下的实验以比较人对红光或绿光的反应做以下的实验以比较人对红光或绿光的反应时间（以秒计）时间（以秒计）. 实验在点亮红光或绿光的同时，实验在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，启动计时器， 要求受试者见到红光或绿光点亮时，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，就按下按钮， 切断记时器，切断记时器，

18、 这就能测得反应时间这就能测得反应时间.测得的结果如下表：测得的结果如下表：例例4 4是是来来自自正正态态总总体体设设)8 , 2 , 1( iYXDiii的的样样本本，),(2DDN .,2均均未未知知DD 取取试试检检验验假假设设( 10. 000. 005. 003. 007. 017. 009. 013. 061. 038. 041. 027. 046. 058. 032. 043. 051. 038. 036. 024. 053. 041. 023. 030. 0 yxdyx绿绿光光红红光光)05. 0 显显著著性性水水平平, 0:0 DH ; 0:1 DH , 8 n现在现在,0625. 0 dx,0765. 0 ds而而311.028/ ddsx8946. 1 解解 )7(05. 0t ，故故拒拒绝绝0H，认为认为0D 即认为人对红光的反应即认为人对红光的反应时间，时间，时间小于对绿光的反应时间小于对绿光的反应也就是人对红光的也就是人对红光的