多项式的根之美

1、.多项式的根之美木遥按：这是美国数学家JohnBaez今年11月14日在他的网页上贴出来的一篇文章原文，很快引起了许多人的兴趣。标题中的“根是指数学中一个多项式的解。假如你还没有忘光你的高中数学课，就应该知道下面这两个事实：任何一个多项式在复数域中必有根，并且每个复数都可以在复平面上对应于一个点。这样，给定一系列多项式，我们就可以把它们的根都画在复平面上，从而形成一些特定的图案。请放心，即使你对多项式毫不理解，也不会阻碍你欣赏这些图案之美的。也许你曾经听说过经典的曼德布洛特集合Mandelbrotset，那你很容易就能在这里看到某些相似之处。所不同的是，人们对这些新的图案还所知甚少。下面所有括

2、号中的文字都是我所添加，以帮助不熟悉复平面的朋友理解所说那些的点的位置。我的朋友DanChristensen发现了一幅令人赞叹的图画见题图。它是由所有系数为-4到4之间的整数的5次以下多项式的根在复平面上的对应点构成的。点击图片可以看大图。二次多项式的根是灰色的，三次多项式的根是青蓝色的，四次多项式的根是红色的，五次多项式的根是黑色的。横轴是实轴，纵轴是虚轴，中间的大洞的中心是原点。两侧小一点的洞的中心是±1，在±i处和1的所有六个虚根出也各有一个小洞即中间那个大洞上下不远处对称的那些小洞。你可以在这里看到许多迷人的图案，给人的感觉是这些整系数多项式的根在竭力避开那些整点和

3、单位根似的，除非这些整点和单位根本身就是多项式的根。假如你把图案放大，可以看到更多细节：在这里你可以看到，在1这个点所在的空白区域周围环绕着一些美丽的羽毛，在expi/3这个点周围有一个六瓣的星形即左上角那个梅花形状的洞，还有一条奇特的红色连线把这两个点连接起来，还有很多其他的点周围的星形的洞，诸如此类。人们应该开场研究这些东西才对！让我们把所有系数为-n到n之间的整数的d次以下多项式的全体根构成的集合称为Christensen集Cd,n，很显然当d和n越大，Cd,n这个集合就越大，并且当n趋于无穷大时这个集合趋于布满全复平面。假如固定d,令n趋向于无穷大，那么我们就能得到全体有理复数；假如令

4、d和n同时趋于无穷大，那么我们就能得到全体代数复数。于是一个有趣的问题就是，假如我们固定n，令d趋于无穷大，会得到什么呢？在上面这些图片的鼓舞下，SamDerbyshire决定绘制一些分辨率更高的多项式根的图片。试验了几次之后，他觉得他最喜欢的是系数为±1的多项式。他把所有24次以下的这样的的多项式的根绘制成一副高明晰度的图片，这些多项式一共有224个，其根大约共有24×224个，也就是大约四亿个。他用mathematica一个数学软件花了大概四天时间才计算出所有这些根，得到了大约5G的数据。然后他用Java语言生成了这幅美妙的图案：颜色表示根的密度，从黑色到暗红色到黄色再

5、到白色。上图是低分辨率版本，这里有一个90M的文件可供。我们可以放大一点看到更多细节：请注意单位根周围的那些小洞，还有圆弧内部的那些羽毛。为了更清楚地观察，我们把下面这些标记出来的区域放大：这里是1这个点处的那个洞。即上面最右边那个标记出来的区域。中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。然后这里是i这个点处的洞。即最上面那个标记区域。这是expi/4这个点周围。差不多位于1和i正中央。请注意，根的密度在接近这个点的时候会变大，然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案！这里是实轴附近的样子，这个图的中心位于4/5点处

6、。右边数第二个标记区域。在4/5i点处的样子就截然不同了。从上数第二个标记区域。一般说来，“老师概念之形成经历了非常漫长的历史。杨士勋唐初学者，四门博士?春秋谷梁传疏?曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也。这儿的“师资，其实就是先秦而后历代对老师的别称之一。?韩非子?也有云：“今有不才之子师长教之弗为变其“师长当然也指老师。这儿的“师资和“师长可称为“老师概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“老师，因为“老师必需要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。“师之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生而来。其中“师傅更早那么意指春秋时国君的老师。?说文解字?中有注曰：“师教人以道者之称也。“师之

7、含义，如今泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师的原意并非由“老而形容“师。“老在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老“师连用最初见于?史记?，有“荀卿最为老师之说法。渐渐“老师之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师当然不是今日意义上的“老师，其只是“老和“师的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“老师的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。但是我觉得最漂亮的还要说是1/2expi/5这个点周围的区域。剩下的那个标记区域。这幅图生动的展示出，在我们的数学研究中，规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的，就像从薄雾中隐约显现出来一样。要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察才