电动力学课件

1、第二章第三节第二章第三节分离变量法分离变量法Separation of Variables2. 3 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 分离变量法分离变量法、分离变量法的适用条件、分离变量法的适用条件四、例题四、例题三、解题步三、解题步骤骤二、拉普拉斯方程的解在球标系中的形式二、拉普拉斯方程的解在球标系中的形式五、拉普拉斯方程的解在其它标系中的形式五、拉普拉斯方程的解在其它标系中的形式1 1、空间、空间 ，自由电荷只分布在某些介质（或导，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界，体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用可用 拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。0一、一、分离变

2、量法的分离变量法的适用条件适用条件2 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布产生的势为已知。自由电荷分布产生的势为已知。处理方法：区域处理方法：区域V V中电势可表示为两部分的和，中电势可表示为两部分的和，即即 ， 为已知自由电荷产生的电势，为已知自由电荷产生的电势， 不满足不满足 ， 为束缚电荷产生的电势，满为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程足拉普拉斯方程202000但注意，边值关系还要用但注意，边值关系还要用 而不能用而不能用SS1(, )()(cos)cosnmnmnmnnnmbRaRPmR 1()(cos)sinnm

3、nmnmnnnmdcRPmR)(cosmnP缔合勒让德函数（连带勒让德函数）缔合勒让德函数（连带勒让德函数）nnnnnnPRbRaR)(cos)(),(1 ) 1cos3(21)(cos22Pcos)(cos110PP)(cosnP-勒让德函数勒让德函数二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式三解题步骤三解题步骤 确定求解区域、选择坐标系和电势零点确定求解区域、选择坐标系和电势零点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，坐标系选择主要根据区域中分界面形状，电势零点主要根据电荷分布是有限还是无限；电势零点主要根据电荷分布是有限还是无限；（1）边界条件：）边界条件：

4、电荷分布有限电荷分布有限 0RbaR)(00,coszEE eE R电荷分布无限，电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如电势参考点一般选在有限区。如均匀场中，均匀场中，ns SQdSn |s导体的边界面上导体的边界面上（2）边值关系：介质分界面上）边值关系：介质分界面上SSSSnn221121一般讨论分一般讨论分界面无自由界面无自由电荷的情况电荷的情况1 1一个内径和外径分别一个内径和外径分别为为R2和和R3的导体球壳，的导体球壳，带电荷为带电荷为Q，同心地包围，同心地包围着一个半径为着一个半径为R1的导体的导体球（球（R1 R2），使这个，使这个导体球接地，求空间各导体球接地，求空间各点

5、的电势和这个导体球点的电势和这个导体球的感应电荷。的感应电荷。四、例题四、例题220 210 球壳内球壳内 球壳外球壳外13212()()baRRRdcRRRR电荷在球上均匀分布，电荷在球上均匀分布，场有球对称性，所以场有球对称性，所以选择球坐标系，原点选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分在球心。考虑电荷分布在有限区域，选择布在有限区域，选择无穷远为电势零点。无穷远为电势零点。13212()()baRRRdcRRRR110, 0,abRR 121,0,0dRRcR321232,R RR RbdcRR04Qbd321200R RRdSdSQRR1110010,444QQQQbcdR 131111

6、213QRQRRR111200111,44QQQRRR1201R RdSQR选择球坐标系，原点选择球坐标系，原点在球心，在球心，z轴沿轴沿E0方向。方向。考虑电荷分布在无限考虑电荷分布在无限区域，选择坐标原点区域，选择坐标原点为电势零点。为电势零点。11nnnnnnba RPcosR21nnnnnndc RPcosR10010nnaE ,an,d 1001R,E RcosE RP cos, 20R,由边值关系：由边值关系：介质球面上介质球面上000012120R RR RR RR RRR30100001000123012nnbE R ,bncE ,cn 3010100120020101232E

7、 RP cosE RP cosRE RP cos 0222200312rEeeERR 0222200312rEeeERR 003120000032PEE003RE例题半径为 的导体球置于均匀外电场中,求电势及导体上的电荷面密度。R0Rz0E1nnnnnnba RPcosR1001naE ,an 001R,E RcosE RP cos, 导体球面上导体球面上00RR310001nbE R ,bn00003R RE cosR 3000E RE R coscosR 0RfQ选择球坐标系，原点在球心。考虑选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分布在有限区域，选择无穷远电荷分布在有限区域，选择无穷远处为电势

8、零点。处为电势零点。fSD dSQ0300344ffQ RRRREQ RRRR04fRQE dlR00001144RffRRRQQE dlE dlE dlRR04fQR04fQR04PQR201020()()baRRRdcRRR束缚电荷在球上均匀分布，场有球对称性，所以束缚电荷在球上均匀分布，场有球对称性，所以11,00abRR 220,0Rcd有 限00012,R RR RbcR00120044,fR RR RfQRQRb00044ffQQcRR104fQR2001144ffQQRRp21R0z1fp2选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分布在有限区选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分布在有限

9、区域，选择无穷远处为电势零点。域，选择无穷远处为电势零点。0314fpRR自由偶极子在介质中产生的电势自由偶极子在介质中产生的电势fp1121()(cos)()(cos)nnnnnnnnnnnnba RPRdc RPR 221,0,(cos )0nnnnndRPRc 110,(c0os )nnnnnRabR P有限 0012010,1nnnnR RR Rda RR 0012122211 13330100110220,2222311R RR RffnnnnRRppdaRRRndna RnR 01nnadn221131121120(1),(1)2(2)2(2)ffppadR 12103311120

10、1220333111212()42(2)()342(2)4 (2)fffffpRpRRRRRpRpRpRRRRRR 01(1)fpp00210210001231120()3 ()cos2(2)PnnR RR RfEERRpR 11012202,PEPE21()PnPP 五、拉普拉斯方程在其它坐标系中解的形式五、拉普拉斯方程在其它坐标系中解的形式02222222zyx1、直角坐标直角坐标 )()()(),(zZyYxXzyx（1）令令 1122( )( )( )sincosk xk xXxAeBek yk yYyCeDeZ zEkzFkz000222222ZdzZdYdyYdXdxXd0222212221,kkkkk令令),(yx（2 2）若若 ( )( )sincoskxkxX xAeBeY yCkyDky )(xzy,（3 3）若）若 ，与与 无关。无关。 BAxdxd022002222YdyYdXdxXd022,kk01)(1222222zrrrrr 柱坐标柱坐标 )()(),(grfr令令 0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgd),(r0000(ln )()()(cossin)ABr CDA rB rCD0000(ln )()()(cossin)AB