材力讲稿第2章拉压21 (1)

1、 强度强度(strength) 构件抵抗破坏的能力构件抵抗破坏的能力刚度刚度(stiffness) 构件抵抗弹性变形的能力构件抵抗弹性变形的能力稳定性稳定性(stability) 构件保持原有平衡状态的能力构件保持原有平衡状态的能力弹性杆件弹性杆件 受力如何？受力如何？ 内力如何？内力如何？ 如何变形？破坏？如何变形？破坏？ 如何设计？如何设计？性态性态规则规则均匀连续性假设均匀连续性假设 假设构件在整个几何空间内毫无空隙地充满了相同的物假设构件在整个几何空间内毫无空隙地充满了相同的物 质，其组织结构处处相同，而且是密实、连续的。质，其组织结构处处相同，而且是密实、连续的。各向同性性假设各向同

2、性性假设 假设材料在各方向上的力学性质相同。假设材料在各方向上的力学性质相同。小变形条件小变形条件 构件受力后变形的尺寸大小远远小于构件原始尺寸。构件受力后变形的尺寸大小远远小于构件原始尺寸。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种，所涉及的一些基本原理与方法比较简单的一种，所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。 本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题，包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压题，

3、包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时的力学性能；拉压杆的强度设计、变形计算缩时的力学性能；拉压杆的强度设计、变形计算以及连接部分的强度计算。以及连接部分的强度计算。 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩受拉的缆索与受压的立柱受拉的缆索与受压的立柱轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩受压的桥墩受压的桥墩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩钢拉杆连杆FFFAABB轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FFFF(a)(b)外力特征：外力特征：作用于杆件上的外力或作用于杆件上的外力或其合力的作用线沿杆件的轴线。其合力的

4、作用线沿杆件的轴线。变形特征：变形特征：杆件产生轴向的伸长或杆件产生轴向的伸长或缩短。缩短。受力简图：受力简图：反映杆件几何特征和受反映杆件几何特征和受力特征的简化图形。力特征的简化图形。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 截面法、轴力与轴力图截面法、轴力与轴力图 拉压杆件的变形分析拉压杆件的变形分析 拉压杆件横截面上的应力拉压杆件横截面上的应力 拉压杆件斜截面上的应力拉压杆件斜截面上的应力 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 安全因数安全因数 许用应力许用应力 强度条件强度条件 连接部分的强度计算连接部分的强度计算 拉压超静定问题拉压超静定问题 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴

5、向拉伸和压缩 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 内力内力（internal force）由外力作用引起的、物体内相邻两部分间因变形而由外力作用引起的、物体内相邻两部分间因变形而产生的相互作用力。产生的相互作用力。 三种内力：三种内力： (1) 分子间相互吸引；（固有内力）分子间相互吸引；（固有内力） (2) 刚体相互机械作用；（静力学中的内力）刚体相互机械作用；（静力学中的内力） (3) 在外力作用下，物体产生变形，分子间在外力作用下，物体产生变形，分子间 固有内力发生变化，产生附加内力，简固有内力发生变化，产生附加内力，简 称内力。（材料力学中的内力）称内力。（材料力学中的内力）问

6、题：如何求内力？内力在物体内如何分布？问题：如何求内力？内力在物体内如何分布？第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩截面法截面法：求某个截面上的内力，假想用截面将构件求某个截面上的内力，假想用截面将构件 剖成两部分，在截开的截面上，用内力代剖成两部分，在截开的截面上，用内力代 替另一部分对它的作用替另一部分对它的作用。F1F2F3FnF1F3F2Fn假想截面假想截面分布内力分布内力第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩问题：如何求内力？内力在物体内如何分布？问题：如何求内力？内力在物体内如何分布？内力内力是连续地分布在截面各个点上的空间力系，一般情况下可向是连续地分布在截面各个点上的空

7、间力系，一般情况下可向截面形心简化，合成三个主矢和三个主矩分量，即内力分量：截面形心简化，合成三个主矢和三个主矩分量，即内力分量： *坐标系坐标系：x 轴轴-杆件轴线杆件轴线 yz 平面平面截面所在平面截面所在平面第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩一般情形下杆件的内力一般情形下杆件的内力+ 当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面上只有沿轴线方向的一个内力分量，这个内力分量称上只有沿轴线方向的一个内力分量，这个内力分量称为为“轴力轴力” 用用FN 表示表示。表示轴力沿杆轴线方向变化的。表示轴力沿杆轴线方向变化的图形，称为图形，称为轴力图轴

8、力图。 为了绘制轴力图，杆件上同一处两侧横截面上的轴力必须为了绘制轴力图，杆件上同一处两侧横截面上的轴力必须具有具有相同的正负号相同的正负号。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩特殊情形下杆件的内力特殊情形下杆件的内力约定：约定：使杆件受拉的轴力为正；受压的轴力为负。使杆件受拉的轴力为正；受压的轴力为负。FFFFFF 绘制轴力图的方法与步骤：绘制轴力图的方法与步骤： (2) 根据杆件上的载荷以及约束力，确定轴力图的根据杆件上的载荷以及约束力，确定轴力图的关键点关键点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；在有集中力作用处即为轴力图的分段点； (3) 应用应用截面法截面法，用假想截面从控制

9、面处将杆件截开，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负确定轴力的大小与正负； (4) 建立建立FNx坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，中，画轴力图画轴力图。 (1) 确定作用在杆件上的外载荷与约束力确定作用在杆件上的外载荷与约束力（外力）（外力）；第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩CAB直杆，直杆，A端固定，在端固定，在B、C两处两处作用有集中载荷作用有集中载荷F1和和F2，其中，其中

10、F15 kN，F210 kN。F1F2llCABllF1F2FA试画出：试画出：杆件的轴力图。杆件的轴力图。 【例2.1】解：解：1. 确定确定A处的约束力处的约束力（外力）（外力） A处虽然是固定端约束，但由于处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向的约束力有一个轴向的约束力FA。0 xF求得求得 FA5 kN 由平衡方程由平衡方程 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图2. 确定控制面确定控制面（关键点）（关键点） 3. 应用应用截面法截面法求控制面上的轴力求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制

11、面用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截开，处将杆截开，假设横截面假设横截面上的轴力均为正方向上的轴力均为正方向（拉力），并（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。考察截开后下面部分的平衡。 CABF1F2llCABllF1F2FA 在集中载荷在集中载荷F2、约束力、约束力FA作用作用处的处的A、C截面，以及集中载荷截面，以及集中载荷F1作用点作用点B处的上、下两侧横截处的上、下两侧横截面都是控制面。面都是控制面。 BB第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图 3. 应用应用截面法截面法求控制面上的轴力求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面

12、用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截开，处将杆截开，假设横假设横截面上的轴力均为正方向截面上的轴力均为正方向（拉力）（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：求得各截面上的轴力： CABllF2FACABllF2FNA0 xFkN512NFFFA第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图3. 应用应用截面法截面法求控制面上的轴力求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面用假想截面分别从控制面A、 B 、B、C处将杆截开，处将杆截开，假设横截假设横截面上的轴力均为正方向面上的轴力均为正方向（拉力）（拉力

13、），并考察截开后下面部分的平衡，并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：，求得各截面上的轴力： CABllF2FA0 xFCBlF2kN512N FFFBFN 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图 3. 应用应用截面法截面法求控制面上的轴力求控制面上的轴力CABllF2FAFN 0 xFClF2kN102NFFB第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图 3. 应用应用截面法截面法求控制面上的轴力求控制面上的轴力CABllF2FAFN 0 xFClF2kN102NFFC第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向

14、拉伸和压缩 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图FN/kNOxCABF2llCABllF2FNAFN CBlF2FN ClF2FN ClF2510105第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图 4. 建立建立FNx坐标系坐标系，画轴力图画轴力图 FNx坐标系中坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向，坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴垂直于坐标轴垂直于x轴。轴。根据以上分析，绘制轴力图的方法根据以上分析，绘制轴力图的方法 外力：外力：包括包括确定约束力；确定约束力； 关键点（控制面）：关键点（控制面）：根据杆件上作用的载荷以及约束力根据杆件上作用的载荷以

15、及约束力，确定控制面，也就是轴力图的分段点；，确定控制面，也就是轴力图的分段点； 应用截面法应用截面法：用假想截面从控制面处将杆件截开，在截用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力; 画轴力图：画轴力图：建立建立FNx坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画图。坐标系中，画图。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩【例2.2】图示杆的图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大

16、小为5P、8P、 4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解： 求OA段内力FN1：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDFN10:X 01NDCBAPPPPF 04851NPPPPFPF21N第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩同理，求得AB、BC、CD段内力分别为： FN2= 3PFN3= 5PFN4= P轴力图如下：BCDPBPCPDFN2CDPCPDFN3DPDFN4FNx2P3P5PP+第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴力轴力(图图)的简便求法：的简便求法：自左向右自左向右轴力图的特点：突变值轴力图的特点：

17、突变值 = 集中载荷集中载荷 遇到向左的遇到向左的F， 轴力轴力FN 增量为正；增量为正；遇到向右的遇到向右的F ， 轴力轴力FN 增量为负。增量为负。5kN8kN3kN+3kN5kN8kN第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩ABqlFNxO+ql第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩ABCqllFNxO+ql第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩解：解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。取左侧x段为对象，内力FN(x)为：qk LxO20N21d)(kxxkxxFx2maxN21)(kLxF【思思2.1】 图示杆长为图示杆长为L，受分布力，受分布力 q = kx 作用，方向

18、如图，试画作用，方向如图，试画出杆的轴力图。出杆的轴力图。Lq(x)FN (x)xq(x)FNxO22kL第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩应力的概念应力的概念问题提出：问题提出：FFFF1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 截面上内力的分布情况如何？截面上内力的分布情况如何？定义：定义：由外力引起的内力由外力引起的内力第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩平均应力：平均应力： 横截面上的内力连续横截面上的内力连续分布，但不一定均匀，单分布，但不一定均匀，单位面积上的内力称为平均位面积上的内力称为平均应

19、力。应力。KFAp(a)(b)KFpA当 趋于零时， 称为 应力A0dlimdAFFpAA一般来说一般来说 p 既不与截面垂直，也不与既不与截面垂直，也不与截面相切。把垂直于截面的应力分量截面相切。把垂直于截面的应力分量称为称为正应力正应力，用符号，用符号 表示。把切于表示。把切于截面的应力分量称为截面的应力分量称为切应力切应力，用符号，用符号 表示。表示。单位单位：Pa(N/m2)第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩应力分解应力分解P M ANANAddlim0ATATAddlim0垂直于截面的应力分量称为垂直于截面的应力分量称为“正应力正应力” ( (Normal Stress) )

20、；位于截面内的应力分量称为位于截面内的应力分量称为“切应力切应力”( (Shear Stress) )。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应，杆上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。件横截面上将只有正应力。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩又一个问题：又一个问题：拉压杆横截面上的应力表达式？拉压杆横截面上的应力表达式？AAFdN猜想猜想根据以上分析，轴力为拉压杆横截面上各点处内力之根据以上分析，轴力为拉压杆横截面上各点处内力之合力，且通过横截面

21、的形心（杆的轴线）；显然，横合力，且通过横截面的形心（杆的轴线）；显然，横截面上各点处的切应力不可能对轴力有任何贡献，因截面上各点处的切应力不可能对轴力有任何贡献，因为它们与轴线垂直，只有正应力才能合成轴力，即为它们与轴线垂直，只有正应力才能合成轴力，即AFN下面的关键是如何确定下面的关键是如何确定？原为平面的横原为平面的横截面在杆变形截面在杆变形后仍然是平面后仍然是平面，只是相对地，只是相对地移动了一段距移动了一段距离。离。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩变形前变形前变形规律试验及平面假设：变形规律试验及平面假设：平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。原为平面的横截

22、面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。纵向纤维变形相同。abcd受载后受载后PP d ac b第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 根据平面假设，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长根据平面假设，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为 NFA其中其中 FN 横截面上的轴力，由截面法求得；横截面上的轴力，由截面法求得； A 横截面面积。横截面面积。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩注意： 1. 上述正应力计算公式来

23、自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩提出问提出问题，选题，选择有关择有关的研究的研究系统。系统。对系统对系统进行抽进行抽象与简象与简化，建化，建立力学立力学模型。模型。利用利用力力学原理学原理进行分进行分析、推析、推理，得理，得出结论出结论与已知

24、与已知结论相结论相比较，比较，或由或由实实验进行验进行验证验证。确认或确认或进一步进一步改善模改善模型，深型，深化认识化认识这让我们想起力学解决问题的一般方法：这让我们想起力学解决问题的一般方法：由定义有： 故可知， 。0limAFA 【思2.2】 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F = 50 kN。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩段柱横截面上的正应力12所以，最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa (压应力） 解：段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1AF(压应力)MPa

25、1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2AF(压应力)第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FFFF(a)(b)外力特征：外力特征：作用于杆件上的外力或作用于杆件上的外力或其合力的作用线沿杆件的轴线。其合力的作用线沿杆件的轴线。变形特征：变形特征：杆件产生轴向的伸长或杆件产生轴向的伸长或缩短。缩短。上节回顾上节回顾第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩内力内力（internal force）受力构件内相邻两部分间因变形而产生的相互作用力。受力构件内相邻两部分间因变形而产生的相互作用力。截面法截面法：求某个截面上的内力，假想用截面将构件剖成两部求某个

26、截面上的内力，假想用截面将构件剖成两部分，在截开的截面上，用内力代替另一部分对它的作用分，在截开的截面上，用内力代替另一部分对它的作用。F1F2F3FnF1F3F2Fn第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩上节回顾上节回顾内力分量：内力分量： *坐标系：坐标系：x 轴轴-杆件轴线杆件轴线 yz 平面平面截面所在平面截面所在平面第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩上节回顾上节回顾 当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面上只有当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面上只有沿轴线方向的一个内力分量，这个内力分量称为沿轴线方向的一个内力分量，这个内力分量称为“轴力轴力” 用用FN

27、表示。表示轴力沿杆轴线方向变化的图形，称为表示。表示轴力沿杆轴线方向变化的图形，称为轴力图轴力图。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩上节回顾上节回顾 外力；外力； 控制面（关键点）；控制面（关键点）； 截面法确定控制面上的轴力截面法确定控制面上的轴力 建立建立FNx坐标系，画轴力图。坐标系，画轴力图。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩上节回顾上节回顾应应 力力分布内力内力在一点的集分布内力内力在一点的集度度（单位面积的内力？）（单位面积的内力？）KFAp(a)(b)KFpA0dlimdAFFpAA 应力定义在截面内的一点处；应力定义在截面内的一点处； 应力是一个矢量。应力是一

28、个矢量。 正应力正应力 , 切应力切应力 单位单位：Pa(N/m2)，MPa(106N/m2)第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩上节回顾上节回顾轴向拉伸和压缩杆件横截面上只有正应力。轴向拉伸和压缩杆件横截面上只有正应力。NFA平面假设：平面假设：原为平面的横截面在杆变形后仍然原为平面的横截面在杆变形后仍然是平面，只是相对地移动了一段距离。是平面，只是相对地移动了一段距离。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩上节回顾上节回顾 变截面直杆，变截面直杆，ADE段为铜制段为铜制,EBC段为钢制；在段为钢制；在A、D、B、C等等4处承受轴向载荷。已知：处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的

29、横截面面积段杆的横截面面积AAB10102 mm2，BC段杆的横截面面积段杆的横截面面积ABC5102 mm2；FP60 kN；各段杆的长度如图中所示，单位为；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。 试求：试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。直杆横截面上的绝对值最大的正应力。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩NFA作轴力图作轴力图 由于直杆上作用有由于直杆上作用有4个轴向个轴向载荷，而且载荷，而且AB段与段与BC段杆横截段杆横截面面积不相等，为了确定直杆面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大正应力和杆的横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必须首先确定各段总变形量，必须首先确定各段杆

30、的横截面上的轴力。杆的横截面上的轴力。 应用截面法，可以确定应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力段杆横截面上的轴力分别为：分别为： FNAD2FP120 kN； FNDEFNEBFP60 kN； FNBCFP60 kN。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2计算直杆横截面上绝对计算直杆横截面上绝对值最大的正应力值最大的正应力36N226120kN 10120 10 Pa120MPa10 10 mm10ADADFADA 横截面上绝对值最大的正应力将发横截面上绝对值最大的正应力将发生在生在轴力绝对值最大的横截面，或者横轴力绝对值最大的横截面，或者横截面面积最小的横截面

31、上截面面积最小的横截面上。本例中，本例中，AD段轴力最大；段轴力最大；BC段横截面面积最小。段横截面面积最小。所以，最大正应力将发生在这两段杆的所以，最大正应力将发生在这两段杆的横截面上：横截面上： 36N C22660kN 10120 10 Pa120MPa5 10 mm10BBCFBCAmax120MPaADBC第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩（压应力）（压应力）（拉应力）（拉应力） 三角架结构尺寸及受力如图示。其中FP22.2 kN；钢杆BD的直径dl254 mm；钢梁CD的横截面面积A22.32103 mm2。杆BD与CD的横截面上的正应力。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉

32、伸和压缩 首先对组成三角架结构的构件作受力分析，因为B、C、D三处均为销钉连接，故BD与CD均为二力构件。由平衡方程受力分析，确定各杆的轴力 0 xF 0yF第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩其中负号表示压力。 受力分析，确定各杆的轴力 0 xF 0yFNP2222.2kN31.40kNBDFFNP22.2kNCDFF计算各杆的应力 应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为： NN2162.0MPa4BDBDxBDBDFFdANN29.75MPaCDCDxCDCDFFAA第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 【思2.3】 试求薄壁圆环在内压力作用下

33、纵向截面上的拉应力。已知：d = 200 mm，= 5 mm，p = 2 MPa。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2RNFF 而 R0(d )sin2dFpbpbd所以MPa 40Pa 1040 m) 102(5m) Pa)(0.2 102(2)2(163-6pdpbdb 解：薄壁圆环 (d )在内压力作用下，纵向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出纵向截面上的法向力FN后用式 求拉应力。 bFN仍然是仍然是截面法截面法第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩R?F R= (d )sind2dpFbRdF由定义有： 故可知， 。0limAFA 第二章第二章 轴向拉伸和压缩

34、轴向拉伸和压缩 考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和一斜置小方格一斜置小方格 受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面方向却产生剪切变形，方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的这种剪切变形必然与斜截面上的切应力有关切应力有关。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩差异的原因？差异的原因？为确

35、定拉为确定拉( (压压) )杆斜截面上的应力，可以用假想截面杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设沿斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为为 。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总内力总内力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FR是轴力吗？是轴力吗？力力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分解为沿对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分解为沿斜截面法线和切线方向上的分量：斜截面法线和切线方向上的分量： FN 和和 FQ 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 FN 和和

36、 FQ 分别由整个斜截面上的正应力和切应分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成。力所组成。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 正应力和切应力均匀分布吗？正应力和切应力均匀分布吗？在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为相邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜斜截面上的正应力和切应力都是均匀分布的。截面上的正应力和切应力都是均匀分布的。于是斜截面于是斜截面上正应力和切应力分别为上正应力和切应力分别为2NPcoscosxFFAAQPsin1sin 22xFFAA其中，其中， x为杆横截面

37、上的正应力为杆横截面上的正应力; A 为斜截面面积为斜截面面积 cosAA 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的微元而求得。的微元而求得。 求斜截面上的应力：有无其它思路？求斜截面上的应力：有无其它思路？第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩0nF 0tF dd coscos0dd cossin0 xxAAAA微元法！微元法！第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩正负号规定：正负号规定：以以x轴为始边，方位角轴为始边，方位角 为逆时针转向者为正；为逆时针转向者为正；切应力以对杆件有顺时针旋

38、向的力矩为正，反之为负。切应力以对杆件有顺时针旋向的力矩为正，反之为负。按照此规定，按照此规定，上图中的正应力和切应力均为正。上图中的正应力和切应力均为正。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横横截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有切应力切应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的正应力和切应力各不相同。正应力和切应力各不相同。 2NPcoscosxFFAAQPsin1sin 22xFFAA第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2

39、NPcoscosxFFAAQPsin1sin 22xFFAAAFxPmaxAFx22P45maxAFx22P45第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩【例【例2.52.5】图中的两块钢板由斜焊缝焊接成整体，受力图中的两块钢板由斜焊缝焊接成整体，受力F作用。作用。已知：已知：F=20kN,b=200mm,t=10mm,a a=300。试求焊缝内的应力。试求焊缝内的应力。 解：3N20 1010MPa0.2 0.01FFAbt2230cos10 cos 307.5MPaa3011sin 210 sin(2 30 )4.33MPa22a一般焊缝的强度第二

40、章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 设一长度为设一长度为l、横截面面积为、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为载荷后，其长度变为l十十 l，其中，其中 l为杆的为杆的伸长量伸长量 实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量 l与杆所承与杆所承受的受的轴向载荷、杆的原长轴向载荷、杆的原长成正比，与成正比，与横截面积横截面积成反比。成反比。PF llAa= 写成关系式为写成关系式为 绝对变形绝对变形 弹性模量弹性模量第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、

41、压杆件变形分析=？PFAEll 这是描述这是描述弹性范围内弹性范围内杆件承受轴向载荷时杆件承受轴向载荷时力与变形力与变形的的胡克定律胡克定律。其中，。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；为作用在杆件两端的载荷；E为杆材为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为杆件称为杆件的的拉伸（或压缩）刚度拉伸（或压缩）刚度(tensile or compression rigidity );式式中中“”号表示伸长变形；号表示伸长变形；“”号表示缩短变形。号表示缩短变形。 EAlFlP绝对变形绝对变形 弹性模量弹性模量 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和

42、压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析是谁首先提出弹性定律是谁首先提出弹性定律 ？ 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克。一般认为它是由英国科学家胡克(1635(1635一一1703)1703)首先提出首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。在胡克之前来的，所以通常叫做胡克定律。在胡克之前15001500年，我国年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。早就有了关于力和变形成正比关系的记载。见两大学者对话！见两大学者对话！第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析“胡：胡

43、：请问，请问， “弛其弦，以绳缓擐之弛其弦，以绳缓擐之”是什么意思是什么意思? 郑：郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。的两端，然后加重物，测量。 胡：胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自 然状态。然状态。 东汉经学家郑玄东汉经学家郑玄(127(127200)200)对对考工记考工记弓人弓人中中“量其力量其力，有三均，有三均”作了这样的注释：作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一

44、石，则张一尺。，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” ( (图图) )郑：郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之郑又云假令弓力胜三石，引之中三尺者，此即三石力弓也。中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。尺。 其中其中”“两萧两萧 就是指弓的两端。就是指弓的两端。一条一条 “胡：胡：郑老先生讲郑老先生

45、讲“每加物一石，则张一尺每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一。和我讲的完全是同一个意思。您比我早个意思。您比我早1500年就记录下这种正比关系，的确了不起，年就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化：一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国地加以描述的知识王国”。1686年年关于中国文字和语言的研究关于中

46、国文字和语言的研究真是令人佩服之至。我在真是令人佩服之至。我在（1 1）当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量和即为杆的总伸长量(或缩短量或缩短量)： EAlFlP绝对变形绝对变形 弹性模量弹性模量 iiiiEAlFlN第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析()NlFx d xlE A（2 2）当杆件受到分布轴向外力时，需要先写出当杆件受到分布轴向外力时，需要先写出FN(x)的表的表达

47、式，然后利用积分公式：达式，然后利用积分公式：最本质的！最本质的！特殊情形！特殊情形！对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变正应变，用用 x x 表示。表示。 llxEAlFlPPxF llEAllxxEAFx/P相对变形相对变形 正应变正应变 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析胡克定律胡克定律的又一形式的又一形式 需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。llx 对于各处变形不均

48、匀的情形，必须考察杆件上沿轴向的微段dx的变形，并以微段dx的相对变形作为杆件局部的变形程度。微元法！微元法！第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析这时 N( )ddddxxFxxEA xxxxE结论：结论：无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。变之间的关系都是相同的。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析横向变形与泊松比横向变形与泊松比 杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称

49、为横向变形。件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变 x x与横向与横向应变应变 y y之间存在下列关系：之间存在下列关系： yxeme= - 为材料的另一个弹性常数，称为泊松比为材料的另一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。泊松比为无量纲量。泊松比为无量纲量。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析 变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB10102 mm2，BC段杆的横截面面

50、积ABC5102 mm2；FP60 kN；铜的弹性模量Ec100 GPa，钢的弹性模量Es210 GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。直杆的总变形量。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向载荷，而且AB段与BC段杆横截面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必须首先确定各段杆的横截面上的轴力。 应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为： FNAD2FP 120 kN； FNDEFNEBFP 60 kN； FNBCFP60 kN。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压

51、缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析NF llEAiiiiEAlFlN( )NlFx dxlEA 计算直杆的总变形量 直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和代数和。BCEBDEiADiiillllEAlFlNmm106571m106571m104280m102850m1060m1021366666sCNsBNcENcDN.BCBCBEBEBEDEDEDADADAAElFAElFAElFAElF 上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析 【思思2.42.4】

52、求图中所示薄壁圆环其直径的改变量d。已知： ，GPa210E。MPa2 mm,5 mm,200pd第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析 2. 如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为 薄壁圆环沿圆环切向的线应变(周向应变)与纵向截面上的正应力 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即 4-96109 . 1Pa10210Pa1040EMPa40NbF 解：解：1. 前已求出圆环纵向截面上的正应力。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析mm038. 0m108 . 3m2 . 0109 . 15-4-ddd从而有圆

53、环直径的改变量(增大)为ddddddd-)( 3. 圆环的周向应变与圆环直径的相对改变量d有如下关系：第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉、压杆件变形分析拉、压杆件变形分析NdF 体会：体会：第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论 本章得到了承受拉伸或压缩时杆件横截面上的本章得到了承受拉伸或压缩时杆件横截面上的正应力公式、变形公式、正应变公式和胡克定律正应力公式、变形公式、正应变公式和胡克定律：NNxxxFAF llEA其中，其中，正应力公式只有杆件沿轴向方向

54、均匀变形正应力公式只有杆件沿轴向方向均匀变形时，才是适用的。时，才是适用的。怎样从受力或内力判断杆件沿怎样从受力或内力判断杆件沿轴向方向的变形是均匀的呢？轴向方向的变形是均匀的呢？ 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论xxEllx 哪些横截面上的正应力可哪些横截面上的正应力可以应用拉伸应力公式计算？哪以应用拉伸应力公式计算？哪些横截面则不能应用。些横截面则不能应用。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论对于变形公式对于变形公式 应用时必须注意：应用时必须注意：NxF llEA 因为导出这一公式时应用了胡克定律，因此，只因为导出这一公式时应用了

55、胡克定律，因此，只有杆件在有杆件在弹性范围弹性范围内加载时，才能应用上述公式计算内加载时，才能应用上述公式计算杆件的变形；杆件的变形； 公式中的公式中的FNx为一段杆件内的轴力，只有当杆件为一段杆件内的轴力，只有当杆件仅在两端受力时仅在两端受力时FNx才等于外力才等于外力FP。 杆件上有多个外力作用，则必须先计算各段轴力，杆件上有多个外力作用，则必须先计算各段轴力，再再分段计算分段计算变形然后按代数值相加。变形然后按代数值相加。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论 杆件上轴力随杆件上轴力随x有连续变化时，需利用有连续变化时，需利用积分公式积分公式。第二章第二章 轴向拉

56、伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论在F作用点附近，横截面上的正应力均匀分布吗？第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论 前面已经提到拉伸和压缩时的正应力公式，前面已经提到拉伸和压缩时的正应力公式，只只有在杆件沿轴线方向的变形均匀时有在杆件沿轴线方向的变形均匀时，横截面上正应，横截面上正应力均匀分布才是正确的。因此，对杆件端部的加载力均匀分布才是正确的。因此，对杆件端部的加载方式有一定的要求。方式有一定的要求。 当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所

57、有横截面都能保持平面，从而产生杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生非均非均匀的轴向变形匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。对杆件上的所有横截面都适用。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论 当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生非均匀杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生非均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。件上的所有横截面都适用。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩小结与讨论小结与讨论Saint-Venant原