第6章+常微分方程

1、第六章常微分方程为了深入研究几何、物理、经济等许多实际问题，常常需要寻求问题中有关变量之间的函数关系而这种函数关系往往不能直接得到，而只能根据实际问题的意义及已知的公式或定律，建立起含有自变量、未知函数及其导数（或微分）的关系式，这就是所谓的微分方程通过求解微分方程，可以得到所需求的函数本章主要介绍微分方程的基本概念、几种常见类型的微分方程的解法及微分方程的简单应用第一节常微分方程的基本概念一、实例分析引例6.1【曲线方程】设某一平面曲线上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的倍，且曲线通过点，求该曲线方程引例6.2【火车制动】 一列车在直线轨道上以的速度行驶，制动时列车获得加速度，问开始制动后

2、经过多长时间才能把列车刹住？从制动到列车停住这段时间内列车行驶了多少路程？二、微分方程的基本概念上述两个引例中，关系式（6-1）和（6-5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程下面介绍微分方程的一些基本概念1微分方程解的概念凡含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程若未知函数只含有一个自变量，这样的微分方程称为常微分方程；若未知函数是多元函数，导数是指偏导数，这样的方程称为偏微分方程微分方程中所含未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶数本书我们只讨论常微分方程，以下简称为微分方程例如，方程，和都是一阶微分方程方程和都是二阶微分方程由引例6.1和引例6.2可知，在研究实际问题时，首先

3、建立微分方程，然后设法找出满足微分方程的函数，也就是说，要找到这样的函数，将其代入微分方程后，能使该方程成为恒等式，这个函数叫做微分方程的解求微分方程解的过程，叫做解微分方程例如，函数（6-3）和（6-4）都是微分方程（6-1）的解；函数（6-8）和（6-10）都是微分方程（6-5）的解如果微分方程的解中包含有任意常数，并且独立的（即不可合并而使个数减少）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解通解中任意常数取某一特定值时的解，称为微分方程的特解例如函数（6-3）和（6-8）分别是微分方程（6-1）和（6-5）的通解，函数（6-4）和（6-10）分别是微分方程（6-1）和

4、（6-5）的特解从上面两引例看到，通解中的任意常数一旦由某种附加条件确定后，就得到微分方程的特解，这种用以确定通解中任意常数的附加条件叫微分方程的初值条件引例6.1的初值条件是，引例6.2的初值条件是，通常情况下，一阶微分方程的初值条件是，当自变量取定某个特定值时，给出未知函数的值；二阶微分方程的初值条件是；阶微分方程的初值条件是，当自变量取定某个特定值时，给出未知函数以及直至阶导数的值，即，例1验证函数是微分方程的通解，并求满足初值条件的特解2微分方程解的几何意义微分方程的每一个特解在几何上表示一条平面曲线，称为微分方程的积分曲线而微分方程的通解中含有任意常数，所以它在几何上表示一族曲线，称

5、为积分曲线族例如，引例6.1中的特解（6-4）式的几何意义是过点的那一条积分曲线，而通解（6-3）式的几何意义是以为参数的积分曲线族（图61）图61例2解微分方程，其中案例6.1【等轴双曲线】已知一曲线过点，且曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分恰为切点所平分，求此曲线方程案例6.2【自由落体运动】一质量为的物体受重力作用而下落，假设初始位置和初始速度都为0，试确定该物体下落的距离与时间的函数关系第二节 可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程引例6.3求微分方程的通解通过这个例子我们可以看到，在一个一阶微分方程中，如果能把两个变量分离，使方程的一端只包含其中一个变量及其微分，另一端只包

6、含另一个变量及其微分，这时就可以通过两边积分的方法来求它的通解，这种求解的方法称为分离变量法，变量能分离的微分方程叫做可分离变量的微分方程变量可分离的微分方程的一般形式为求解步骤为：（1）分离变量，得，（2）两边积分，得，（3）求出积分，得通解其中、分别是和的一个原函数例1求微分方程的通解例2 求微分方程满足初值条件的特解例3求微分方程满足初值条件的特解例4求微分方程的通解案例6.3【铀的衰变】 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知时铀的含量为，求在衰变过程中铀含量随时

7、间变化的规律案例6.4【降落伞降落】设降落伞从跳伞塔降落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系案例6.5【销售预测】 在商品销售预测中，时刻的销售量用表示如果商品销售的增长速度与销售量和销售接近饱和水平程度之积（为饱和水平）成正比，求销售量函数二、齐次微分方程如果一阶微分方程可以化成 （6-24）的形式，则称此方程为齐次微分方程例如，微分方程是齐次方程因为此方程可以变形为这类方程的求解分三步进行：（1）将原方程化为方程（6-24）的形式（2）作变量代换以为新的未知函数（注意仍是的函数），就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方程来求

8、解由，得，两端求导，得，代入方程（6-24）中，得，这是变量可分离的微分方程分离变量并积分，得（3）求出积分后，再以代回，便得到所求齐次方程的通解例5 求微分方程的通解例6 求微分方程满足初值条件的特解第三节 一阶线性微分方程形如 （6-25）的微分方程称为一阶线性微分方程，其中，都是自变量的已知函数，称为自由项所谓“线性”指的是，方程中关于未知函数及其导数都是一次式当时，称方程（6-25）称为一阶非齐次线性微分方程；当时，方程（6-25）变为 （6-26）称方程（6-26）为方程（6-25）所对应的一阶齐次线性微分方程例如，方程是一阶非齐次线性微分方程它所对应的齐次线性微分方程是而方程等，虽

9、然都是一阶微分方程，但都不是线性微分方程下面讨论一阶非齐次线性微分方程（6-25）的解法先求非齐次线性微分方程（6-25）所对应的齐次线性微分方程（6-26）的通解它是可分离变量的微分方程，分离变量，得，两端积分，并把任意常数写成的形式，得，化简后即得线性齐次微分方程（6-26）的通解为 （6-27）其中是任意常数下面利用“常数变易法”求非齐次线性微分方程（6-25）的通解方程（6-25）不能用分离变量的方法求解，但方程（6-25）与方程（6-26）的左端是一样的，只是右端不同，故（6-26）是（6-25）的特殊情况因此可以设想（6-25）与（6-26）的解一定有联系，不妨按照（6-26）的解

10、题思路分析它们之间的联系，把变形为，两边积分，得，即其中是的函数，记为于是上式可以写成 （6-28）把（6-28）式和（6-27）式比较，它们的区别仅仅是把（6-27）式中的常数变成了（6-28）式中的函数上述推导表明，方程（6-25）的解一定可以表示为的形式，如果能进一步求出，就求出了方程（6-25）的解，下面求将代入方程（6-25），得，整理，得，两边积分，得将上式代入（6-28）式中，得方程（6-25）通解为（6-29）推导（6-29）式的方法是把方程（6-25）对应的齐次线性微分方程（6-26）通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出非齐次线性微分方程（6-25）的通解这种方法称为常数

11、变易法下面来分析非齐次线性微分方程（6-25）的通解结构由于方程（6-25）的通解公式（6-29）也可以写成上式右端第一项是方程（6-25）所对应的线性齐次微分方程（6-26）的通解，第二项是原非齐次线性微分方程（6-25）的一个特解（它可从通解（6-29）中，取得到）由此可知，一阶非齐次线性微分方程的通解是由它所对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解相加而构成的这个结论揭示了一阶非齐次线性微分方程的通解结构定理6.1一阶非齐次线性微分方程（6-25）的通解是由其对应的齐次线性微分方程（6-26）的通解加上非齐次线性微分方程（6-25）的一个特解构成的经过上面的讨论，将求方程（6-25）的

12、通解的步骤总结如下：（1）求出对应的线性齐次微分方程（6-26）的通解；（2）用常数变易法或用公式（6-29）求方程（6-25）的通解例1 求微分方程的通解例2 求微分方程 （6-32）满足初值条件的特解案例6.6【物体运动规律】一质量为的物体，在倾斜角为的斜面上由静止下滑，摩擦力为，其中为运动速度，为物体对斜面的正压力，为常数，求速度随时间的变化规律图 6.2案例6.7【电流方程】有一个电路如图63所示，其中电源电动势为（，都是常量），电阻和电感都是常量，求电流图 6.3为了便于应用，现将一阶微分方程的几种常见类型及解法归纳如下（见表6.1）表6.1一阶微分方程常见类型及解法方程类型方 程解

13、 法可分离变量的微分方程将不同变量分离到方程两边，然后积分齐次微分方程引进新的未知函数，所以，原方程化为可分离变量的方程一阶线性微分方 程齐次方程分离变量，两边积分或用公式非齐次方程用常数变易法或公式法第四节二阶常系数齐次线性微分方程我们把形如 （6-38）的微分方程叫做二阶线性微分方程，其中都是一次的，是的已知连续函数，叫做自由项当时，称方程为二阶齐次线性微分方程；当时，称方程（6-38）为二阶非齐次线性微分方程在方程（6-38）中，如果和的系数均为常数，且，则（6-38）式成为（6-39）方程（6-39）叫做二阶常系数齐次线性微分方程下面讨论二阶常系数齐次线性微分方程解的结构和解法一、二阶

14、常系数齐次线性微分方程解的结构定义6.1 设有两个不恒为零的函数和在区间内有定义，若存在两个不同时为零的常数，使在内成立，则称和在内线性相关，否则叫做线性无关定义6.1的另一种说法是：若常数，则与线性相关；若常数，则与线性无关例如，因为，所以与线性相关再如，因为常数，所以与线性无关定理6.2如果函数与是二阶常系数齐次线性微分方程（6-39）的两个解，那么也是方程（6-39）的解，其中是任意常数例如，都是方程的解，不难验证也是方程的解定理6.2表明，齐次线性微分方程的解具有可叠加性定理6.3 如果函数与是二阶常系数齐次线性微分方程（6-39）的两个线性无关的特解，那么就是方程（6-39）的通解，

15、其中是任意常数例如，方程，容易验证与是所给方程的两个特解，且常数，即它们是线性无关的因此，就是该方程的通解二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法由前面讨论可知，求方程（6-39）的通解，可归结为求它的两个线性无关的特解，再根据定理6.2写出通解从方程（6-39）的结构来看，它的解应有如下特点：未知函数的一阶导数，二阶导数与未知函数只相差一个常数因子也就是说，方程中的应具有相同的形式而指数函数正是具有这种特点的函数因此，设是方程（6-39）的解，将代入方程（6-39），得因为，故有，只要找到，使（6-40）成立，则就是方程（6-39）的特解而是方程（6-40）的根，这样一来，求微分方程（6-39）

16、的解的问题，归结为求代数方程（6-40）的根的问题定义6.2 方程（6-40）叫做微分方程（6-39）的特征方程，特征方程的根叫做特征根方程（6-40）是一元二次方程，它的根有三种情况，相应地，方程（6-39）的解也有三种情况：（1）当时，特征方程（6-40）有两个不相等的实根，从而可得方程（6-39）的两个特解，又因为常数，所以与线性无关因此，微分方程（6-39）的通解为（2）当时，特征方程（6-40）有两个相等的实根，此时，我们只得到微分方程（6-39）的一个特解为了求得微分方程（6-39）的通解，还需求出另一个特解，且要求常数为此，不妨设，即，其中为待定函数下面来求将，代入方程（6-39

17、），整理后得因，且是的重根，故，所以有两次积分后得因为我们只要求常数，所以为简便起见，不妨取，得从而得到方程（6-39）的另一个与线性无关的特解为因此微分方程（6-39）的通解为（3）当时，特征方程（6-40）有一对共轭复根其中，这时，与是微分方程（6-39）的两个解为了得出实数解，由欧拉公式：，将与改写为，由本节定理6.2可知，是方程（6-39）的两个特解，且常数所以方程（6-39）的通解为综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下：（1）写出微分方程的特征方程；（2）求出特征方程的根和；（3）根据和的不同情形，按照表6.2写出方程的通解表6.2二阶常系数齐次微分方程通解特征方程

18、的两个根微分方程的通解 两个不相等的实根 两个相等实根 一对共轭复根例1 求微分方程的通解例2求微分方程满足初值条件的特解例3 求微分方程的通解案例6.8【电压变化规律】如图所示，电路中，且开关在拨向之前，电容上的电压（1）开关先被拨向，求电容上的电压随时间的变化规律；（2）达到稳定状态后，再将开关拨向，求第五节 二阶常系数非齐次线性微分方程在二阶非齐次线性微分方程中，如果和的系数，均为常数，则方程变为 （6-41）方程（6-41）叫做二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质与通解结构对于二阶常系数非齐次线性微分方程（6-41）的通解结构，有如下定理：定理6.4如果

19、是二阶常系数非齐次线性微分方程（6-41）的一个特解，是与方程（6-41）对应的齐次方程 （6-42）的通解，那么 （6-43）是方程（6-41）的通解与定理6.1比较，可以看出，二阶线性微分方程与一阶线性微分方程一样，其通解的结构是对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解例如，方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，是与其对应的齐次方程的通解；又容易验证是方程的一个特解因此是方程的通解二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法下面我们来讨论二阶常系数非齐次线性微分方程（6-41）的解法由定理6.4知道，方程（6-41）的通解等于它的一个特解与它对应的齐次线性微分方程（6-42）的通解的和即方程（6-42）的通解的求法我们已经讨论过，因此现在只需解决如何求非齐次