近世代数前两章知识总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上近世代数论文师范学院14级数学与应用数学2班 景羡林 学号：一、 上半学期学习总结第一章 基本概念1、 集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为A或2A。（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）2、 积（笛卡尔积）：A×B=（a，b）|aA，bB叫A与B的积。（A×BB×A）3、 A到B的对应法则ø为A到B的映射xA，x有象 xA，x的象唯一 xA，x的象在B中。4、 若A是含n个元素的集合，则A的映射共有nn个，一一映射共有n！个。5、 代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A

2、5;B到D的代数运算。（o为A×B到D的代数运算（a，b）A×B，aob有意义，且aob唯一，属于D）。6、 满射：yA，设y=（x），求出x（x为y的函数），若x存在且xA，则为满射。（A中的每一个元素都有原象）；单射：a，bA，若ab，则（a）（b）。（元素不同象不同）；一一映射：即单又满。（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）7、 一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。8、 一个A 到A的映射，叫做一个对于代数运算o和o来说的，A 到A的同态映射，假如满足：a,bA，aa，bb则aobaob（运算

3、的象=象的运算）；A与A同态A 与A存在同态满射。9、 一个A 到A的一一映射，叫做一个对于代数运算o和o来说的，A 到A的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。10、 若R为法则，若R满足a，bA，要么aRb，要么aRb，唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A 的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足反射律（aA，有aa）对称律推移律11、 A 的一个分类即为A 的一些子集A1、A2、An满足：A1A2An=A.AiAj=（ij）（不相交）。（集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类）12、 模n的同余关系（ab（n）读作a同余b模n）：若n（a-b）则ab（a与b同除n后

4、余数相同）。若a=b则ab（n）即n|a-b。第二章 群论1、 群的定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如：乘法封闭。结合律成立。存在单位元。逆元存在。2、 群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得am=e成立的最小正整数m，记为a，若这样的m不存在，则说a是无限阶的。（单位元的阶为1）3、 元素的阶的性质：设a的阶为m，若an=e则mn；任何元素与它的逆元同阶；设G为一个群，aG，若a的阶为2，则a=a-1；在一个有限群G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数。4、 交换群：a，bG，ab=ba5、 若一个有乘法的有限集满足乘法封闭；结合律成立；消去律成立（若ax=ax

5、，那么x=x；若ya=ya则y=y）。则必能做成一个群。（无限集不适用）6、 群同态：假定G与G对于它们的乘法来说同态，若G是群，那么G也是一个群（具有相同的特性）。但是反之却不成立。7、 设（G，·）和（G，·）是两个群，如果存在G和G的同态满射，则称G和G同态，记为G G；如果存在G和G的同构映射，则称G和G同构，记为G G。8、 A的一个变换就是一个A到A自己的映射。9、 一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。（变换群是非交换群）；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射，10、 任何一个群都同一个变换群同构。11、 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集

6、合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。（置换群的表示不唯一，置换群是非交换群）12、 一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群；n次对称群Sn的阶是n！。13、 每一个有限群都与一个置换群同构。14、 循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。（循环群的生成元不唯一，不同的元可以生成同一个群）15、 假定G是一个由元a生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定：a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。16、 一个循环群一定是一个交换群。17、 设H为群G的非子集，如果H按G中的运算作成一个群，则称H为G 的一个子群，记为

7、HG。18、 子群的判法：定义法；一个群G的一个非空子集H作成G的一个子群的充要条件是乘法封闭；逆元成立（aHa-1H）；充要条件是：a、bHab-1H；充要条件是：a、bHabH。19、 群G中由等价关系abab-1H决定G 的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用Ha表示。20、 群G中由等价关系abb-1aH决定G 的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用aH表示。21、 一个子群H的右陪集个数和左陪集个数相等。（一般的，aG，HaaH，a为单位元时才相等）22、 一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G里的指数，记为G:H。（陪集个数=H中元素个数）

8、23、 子群的阶能整除大群的阶；一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。24、 一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN（指Na与aN这两个集合一样）。25、 一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。26、 不变子群的判法：定义法：a，有Na=aN；aG，aNa-1=N；aG，nN ana-1N27、 一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群，用G/N表示；G的阶N的阶=G/N的阶。（每一个不变子群都可产生一个商群）28、 一个群G同它的每一个商群G/N同态。29、 假定G与G是两个群，并且G与G同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变

9、子群，并且G/NG30、 一个群G和它的每一个商群同态；群的同态满射的核是一个不变子群。二、 下半学期学习计划l时间安排问题(1)在学习前确定明确的目标，比如要在多少时间里完成多少内容。(2)按时完成作业。（3）充分利用课余时间来提高自己。2注意力问题上课专心听讲，做到注意力高度集中3学习兴趣问题要想学好近世代数这门课程，首先必须要对这门学科有兴趣，兴趣是最好的老师。4.学习方法问题(1)多做题，在做题中体会做题的方法，思想，步骤。(2)敢于不耻下问，与同学们共同提高。（3）敢于向老师请教问题。(4)合理利用课余时间，多在图书馆看一些课外辅助读物，提升自己的能力。（5）课前提前预习，课后及时复

10、习。（6）每隔一段时间就要复习一下以前学过的东西，做到温故而知新。（7）多做一下以前的考试题，了解考试题型。5、学会总结知识将课本上的概念理论用便于自己理解的话总结起来，学会比较记忆，把相同类型的内容总结到一起，一并理解记忆。三、 学习意见、建议希望老师能把之前发的那些题仔细讲一下，近世代数这门课理论概念太多，这也是同学们上课听着浮躁的主要原因，数学专业的学生自然对计算之类的东西比较敏感，而像短篇小说一样的概念理论，无疑是对数学专业学生的煎熬，至少对我来说如此，我感觉这门课的概念理论不难记忆，但是不容易理解。为了能更好地学习近世代数这门课程，现提一点建议如下：1、 如果能把枯燥的理论概念融入到习题讲解中，我感觉效果可能会更好。2、 在课堂上积极调