高中数学压轴题系列——导数专题——超越不等式放缩

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学压轴题系列导数专题超越不等式放缩1.（2010大纲版）已知函数f（x）=（x+1）lnxx+1（）若xf（x）x2+ax+1，求a的取值范围；（）证明：（x1）f（x）0解：（），xf（x）=xlnx+1，题设xf（x）x2+ax+1等价于lnxxa令g（x）=lnxx，则 当0x1，g（x）0；当x1时，g（x）0，x=1是g（x）的最大值点，g（x）g（1）=1 综上，a的取值范围是1，+）（）由（）知，g（x）g（1）=1即lnxx+10当0x1时，f（x）=（x+1）lnxx+1=xlnx+（lnxx+1）0；当x1时，f（x）=lnx+（xlnxx+

2、1）=0 所以（x1）f（x）02.（2010大纲版）设函数f（x）=1ex（）证明：当x1时，f（x）；（）设当x0时，f（x），求a的取值范围解：（1）当x1时，f（x）当且仅当ex1+x 令g（x）=exx1，则g'（x）=ex1当x0时g'（x）0，g（x）在0，+）是增函数当x0时g'（x）0，g（x）在（，0是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当xR时，g（x）g（0）时，即ex1+x所以当x1时，f（x）（2）由题意x0，此时f（x）0当a0时，若x，则0，f（x）不成立；当a0时，令h（x）=axf（x）+f（x）x，则f（x）当且仅当h（x）

3、0因为f（x）=1ex，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）1=af（x）axf（x）+axf（x）（i）当0a时，由（1）知x（x+1）f（x）h'（x）af（x）axf（x）+a（x+1）f（x）f（x）=（2a1）f（x）0，h（x）在0，+）是减函数，h（x）h（0）=0，即f（x）；（ii）当a时，由y=xf（x）=x1+ex，y=1ex，x0时，函数y递增；x0，函数y递减可得x=0处函数y取得最小值0，即有xf（x）h'（x）=af（x）axf（x）+axf（x）af（x）axf（x）+af（x）f（x）=（2a1ax）f

4、（x）当0x时，h'（x）0，所以h'（x）0，所以h（x）h（0）=0，即f（x）综上，a的取值范围是0，3.（2012山东）已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（）求k的值；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=（x2+x）f（x），其中f（x）为f（x）的导函数证明：对任意x0，g（x）1+e2解：（）f（x）=，x（0，+），且y=f（x）在（1，f（1）处的切线与x轴平行，f（1）=0，k=1；（）由（）得：f（x）=（1xxlnx），x（0，+），令h（x）=1xxlnx，x（0，+），当x（

5、0，1）时，h（x）0，当x（1，+）时，h（x）0，又ex0，x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，fx）0，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减；证明：（）g（x）=（x2+x）f（x），g（x）=（1xxlnx），x（0，+），x0，g（x）1+e21xxlnx（1+e2），由（）h（x）=1xxlnx，x（0，+），h（x）=（lnxlne2），x（0，+），x（0，e2）时，h（x）0，h（x）递增，x（e2，+）时，h（x）0，h（x）递减，h（x）max=h（e2）=1+e2，1xxlnx1+e2，设m（x）=ex（x+1），m（x）=ex1=exe0，x（0，+）时

6、，m（x）0，m（x）递增，m（x）m（0）=0，x（0，+）时，m（x）0，即1，1xxlnx1+e2（1+e2），x0，g（x）1+e24.（2013辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围解：（I）证明：当x0，1）时，（1+x）e2x1x（1+x）ex（1x）ex，令h（x）=（1+x）ex（1x）ex，则h（x）=x（exex）当x0，1）时，h（x）0，h（x）在0，1）上是增函数，h（x）h（0）=0，即f（x）1x当x0，1）时，ex1+x，令u（x）=ex1x，

7、则u（x）=ex1当x0，1）时，u（x）0，u（x）在0，1）单调递增，u（x）u（0）=0，f（x）综上可知：（II）解：设G（x）=f（x）g（x）=令H（x）=，则H（x）=x2sinx，令K（x）=x2sinx，则K（x）=12cosx当x0，1）时，K（x）0，可得H（x）是0，1）上的减函数，H（x）H（0）=0，故H（x）在0，1）单调递减，H（x）H（0）=2a+1+H（x）a+3当a3时，f（x）g（x）在0，1）上恒成立下面证明当a3时，f（x）g（x）在0，1）上不恒成立f（x）g（x）=x令v（x）=，则v（x）=当x0，1）时，v（x）0，故v（x）在0，1）上是减

8、函数，v（x）（a+1+2cos1，a+3当a3时，a+30存在x0（0，1），使得v（x0）0，此时，f（x0）g（x0）即f（x）g（x）在0，1）不恒成立综上实数a的取值范围是（，35.（2012湖北文）设函数f（x）=axn（1x）+b（x0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为x+y=1（）求a，b的值；（）求函数f（x）的最大值；（）证明：f（x）解：（）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0因为f（x）=anxn1a（n+1）xn，所以f（1）=a又因为切线x+y=1的斜率为1，所以a=1，即a=1，故a=1

9、，b=0（）由（）知，f（x）=xn（1x），则有f（x）=（n+1）xn1（x），令f（x）=0，解得x=在（0，）上，导数为正，故函数f（x）是增函数；在（，+）上导数为负，故函数f（x）是减函数；故函数f（x）在（0，+）上的最大值为f（）=（）n（1）=，（）令（t）=lnt1+，则（t）=（t0）在（0，1）上，（t）0，故（t）单调减；在（1，+），（t）0，故（t）单调增；故（t）在（0，+）上的最小值为（1）=0，所以（t）0（t1）则lnt1，（t1），令t=1+，得ln（1+），即ln（1+）n+1lne，所以（1+）n+1e，即由（）知，f（x），故所证不等式成立6.（2

10、016新课标）设函数f（x）=lnxx+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x（1，+）时，1x；（3）设c1，证明当x（0，1）时，1+（c1）xcx【解答】解：（1）函数f（x）=lnxx+1的导数为f（x）=1，由f（x）0，可得0x1；由f（x）0，可得x1即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+）；（2）证明：当x（1，+）时，1x，即为lnxx1xlnx由（1）可得f（x）=lnxx+1在（1，+）递减，可得f（x）f（1）=0，即有lnxx1；设F（x）=xlnxx+1，x1，F（x）=1+lnx1=lnx，当x1时，F（x）0，可得F（x）递增，即有F（x）F（1）=0，即有xlnxx1，则原不等式成立；（3） 证明：设G（x）=1+（c1）xcx，则需要证明：当x（0，1）时，G（x）0（c1）；G（x）=c1cxlnc，G（x）=（lnc）2cx0，G（x）在（0，1）单调递减，而G（0）=c1lnc，G（1）=c1clnc，由（1）中f（x）的单调性，可得G（0）=c1ln