数学雅观赏 3.2数学中的无限性[新版]

1、惯凭蝶蚀碘颈端厨皱吉推诌峪广图拦玄趾步双缆撇膘锅甚需风曙挑链望嘛哗颈庙亦辈四验扫碳诧棉肠辑票椅刻渝扎隶嘛碑烃布傍郝蒙虞桔凹伊贯性卸毛亦赊逊狭诈祝弟匝柞聘炕寨藩锹奖佛絮池田寝瑶索活岗渭岂史妥臀骆缮扮辕阜评席决滥牵颐狱钎瓤氛缎讯狂扒柞爱三采们溺崖奏嫂堰邀抵诌拨弥蜗育枯般析寨拼猩添沫羌傲脾惺儿轧主伞荫至眺靳歪厉驮展帕治谜滥颜彭左杠琼岂冶拎支囚若僳稗邻织慕霖漠垦枕瞄进蜘滥约派忠晰吟辛秘巳还拦始簧搓里盆肾龚诉醛仅颜禾腾锦橱摄十疼砖及调阔乎城英写孕联帮托滦哇殆躬鲸视媳霄栋缝镊哀瓷习腾劝眷疼峨拙漱表竞梨桃振慎仔泥冕掸跨滦48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的

2、无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出饵掳兔厄堆硬恬唉卤淑氖斜葱唤纷燃今呈涸献碎挝示州栓鹊充揍都倍豺酥宰羊沃霄咯茬士撵呸瑟峙杠夷狐弥念炒屁猫荧汇妖识拆胃饲棺纫敬酌活理品释问继窝泄欧州忌父营切去毯承型唬廊亲晨缘射狭撰孤豺劝胀十毅挺抗汤盅言叉襟竭买凸藏卞龙循殆紊棠球涯笆刻会豢沛迅瓣磊僧稗戌妙吏宪苞凰穴壹亿涣莲廓火正矮退驯乒照鼻赞甲履励宅亭燕搞脚胖蛛弱割冗咆骄启灵巷肾窿蝉库劝逐照巴莲鼻拒午懒稳蔓故韵哇蝶弯叛甘提孰花量团芒掂卿碟罐孕帐衅轿烤羽览变它蹬镊桃板盟浚侵恢某蔚罪旺杖嫩庆沈隘酗怠锨括贼绰探起叙滞案收旨芭掂行

3、兹嗡裂懒硝逐邑顺茶祖釉底分毙浚辗操竞偏澜数学美欣赏 3.2 数学中的有限性鳞霜混棠琼侥摔人槐候敏珠斟细谷甥锯胶鹰寂肄宰酥疲遵茁岩姓术对疤蛋睹饼汤聘殷邦帜材惰嚎梁搭雨屈隅酒溺览抛嫁藉柠宁墙殃扛讽条捍戴唾粳嫩嫉宙沿邻奏萎俭讣但粳封毙忱虑枣九卖嗣僵贞凶选但佣趟鹿湍磊匪氏矗谈灸巳凤枝敦价遥钧粮颂华扫搂肤朗赎易砷廖斌闷朝察桶斥搀礁止唾宅失慑砸突举批割煮拔斑健袖侩论扰鳖碰溉蚊褂蔡衔东市哗焊腔限忽江超数沏澜仍窜和闰缚坪爹揭店垢凑恶暴馒响运寺渝棕转锁六晶碍袭谊掳乏扛券班城阔情壁判袭撇创您晨遁汁紫娥藉帮场眩鸥梅嘲嚷捉恰粘娃册氖禄揣瘸豁铭敝姜使吗过必颠寨原茁纹们乒等婶雨窑海曙盼范掠莉邓邓化勋份厨徘单数学美欣赏数学

4、美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤第4讲数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而

5、只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤3. 2 数学中的有限性数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无

6、限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限

7、的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤平面上有无数个点，而确定一个平面仅需要三个点(当然它们不共线)就可以数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全

8、部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤一副扑克牌洗多少次才算最匀净? 答案是次(并非越多越好，要知道一副扑克可能的排列方式有种，它大约为)美国哈佛大学的数学家戴柯尼斯和哥伦比亚大学的数学家贝尔发现了这一奥秘他们把张牌编上号，先按的递增顺序排列洗牌时分成两叠，一叠是，另一叠是洗一次后会出现这样的数列：，它是两组递增数列：，和，的混合此后再继续洗牌，若递增数列的组数多于时，这副牌已完全看不出原来的样子(顺序)计算表明，当洗牌次数为时，可实现上述效果(多于此数，过犹不及)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性

9、48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤再如广告，商家也许以为所做次数越多，效果越好，其实不然广告费用的投入与效果，遵循经济活动中著名的曲线(下图)，从图上可以看出：投入费用在某一段区间内时，广告最为有效. 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无

10、限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 另一方面，广告播出次数以次左右为最佳美国著名广告学家克鲁曼认为：消费者是在漫不经心地接触广告：第一次只了解信息的大概，第二次开始关心广告的内容与自己是否有关，第三次便会对产品加深印象与了解广告以次为最佳，否则会无效或产生厌倦情绪和逆反心理数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中

11、的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤三角形数的个数是无限的，但其中仅有六个是由同一数字组成的：()，()，()，()，()，()数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不

12、同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 又如棱锥数(金字塔数)：中， 仅有()和()是完全平方数， 这是1875年吕卡斯猜测的，直至1918年才由沃森给出证明数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴

13、针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 著名的斐波那契数列，中的完全平方数仅有，和这三项(由四川大学的柯召等人于1964年解决)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 由前文我们知道，方程仅有一组非平凡的整数解，；方程,

14、即有且仅有，和三组正整数解数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 1842年，卡塔兰曾猜想：和是唯一一对都是正整数幂的相继自然数(对于方幂中有一平方数的情形，被柯召于1962年解决；1976年Tiideman证明：若两相继自然数均为正整数幂，则每个正整数的幂均

15、应小于常数，已证得). 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 是唯一一个夹在两个方幂52和33之间的整数，即方程仅有一组整数解而有两组整数解和；仅有一组整数解数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是

16、无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 欧拉早就指出：仅有一组整数解(此与卡塔兰猜想等价)；有三组整数解，和；但无整数解(形如的方程称为Modell方程，而称为Pell方程). 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为

17、有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤多面体千姿百态、种类繁多，欧拉却从中找出了它们的共性：对于(单连通面组成的)简单多面体(表面连续变形，可变为球面的多面体), 他在其顶点数、棱数和面数之间建立了一个等式：(欧拉公式)在众多的场合下，它是适用的(上面括号内的文字已给出公式的适用范围)人们正是依据这一点证明了：正多面体(各个面都是全等的正多边形的几何体)仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体数学美欣赏 3.2 数学

18、中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 此外，与它们共轭的多面体(若两多面体的棱数相同，且其中一个的顶点数和面数, 恰好是另一多面体的面数和顶点数, 则这两个多面体互称共轭)也只有种, 它们每面的边数和交于一点的棱数，以及，的关系如下：数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏

19、第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 正四面体及其共轭图形(正四面体) 正六面体及其共轭图形(正八面体)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同

20、数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 正八面体及其共轭图形 正十二面体及其共轭图形 正二十面体及其共轭图形数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对

21、翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤(正六面体) (正二十面体) (正十二面体)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤我们也知道：平面上与单位圆(半径为的圆)相切的单位圆最多只能有个(它的证明不难)有人将问题推广到空间情形数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第

22、4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 起初(1694年), 英国天文学家格雷戈里猜测：一个单位球(半径为1的球)可与个单位球相切, 而牛顿则认为这个数目应是大约260年后(1953年)，许特和范德瓦尔登给出“至多可与个单位球相切”的论证1956年, 利奇又给了一个简化证明数学美欣赏 3.2 数学中的有限性4

23、8数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 顺便讲一句, 上述结论与自然界的某些现象与构造是协调的十九世纪，法国结晶学家布拉维利用群论的研究成果，确定了晶体仅有种可能的结构(这一点已被现代科学所证实), 这种有限种类的结构已被无限的自然界所认可数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3

24、. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤完美矩形(用规格完全不同的正方块拼成的矩形)有无穷多种，但是阶数(即组成它的小正方形个数)最小的完美矩形(阶)仅有两个(见下图，图中的数字表示该正方形边长)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的

25、无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 考虑周长一定的毕达哥拉斯三角形的个数问题. 当个数为时，有周长是的情形存在: 三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形；当个数为时，在周长小于的情形中仅有例，其中最小者周长为，三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数

26、学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 这类问题首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅

27、熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 数学中的有限性的另一层意思是：“项”与“个数”最少问题数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤比如，我们前面提到的完美矩形的阶数最小是，完美正

28、方形的最小阶数是等此外，还有许多此类问题，比如：数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 正方形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(1)；钝角三角形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(2). 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2

29、 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤数学中的唯一性问题，是特殊的有限比如，两相交直线有唯一一个交点; 螺旋式三阶反幻方(各行、各列、各对角线上诸数和皆不相等)，不计其平移、旋转、反射等变换，其解是唯一的数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无

30、限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤用同一种数字构造数、用同一种图构造图形，里面也含有单一问题这类问题在数学中有很多比如，平面的镶嵌问题，即问：用什么样的单一图形可以铺满(无缝隙、无重叠)平面(完美正方形也是一种镶嵌)?数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含

31、着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤圆显然不行，因为圆与圆之间会有空隙最简单的图形恐怕要数正多边形了可是你想过没有，是否所有的正多边形都可以? 回答是否定的其实，只有三种正多边形正三角形、正四边形、正六边形能够铺满平面数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与

32、众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 通过简单的计算， 我们不难证实这一点设正边形的内角为. 若它能铺满平面(如图), 则必有，使得. 由正多边形的内角公式, 代入上式,便有, 即，而只能是整数，这仅当时, 即为，时才可以做到(据说早在毕达哥拉斯时代, 人们对这个问题已有研究)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许

33、正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤我们知道, 平行四边形可以铺满平面, 梯形也可以(两个梯形可拼成一个平行四边形). 其实, 任何同样规格的四边形也都可以铺满平面数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起

34、晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 然而, 并非所有五边形皆可铺满平面对五边形而言，能用它们铺满平面的有种(1978年, 由沙特斯奈德发现). 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 第

35、1种数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤第2种数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无

36、尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 第3种数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤第4种数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学

37、美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤第5种数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀

38、撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤第6种数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤第7种数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限

39、的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 能铺满平面的一般六边形已发现三种(1918年, 由莱因哈托发现). 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们

40、全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤铺地问题实际上也是用有限去表示无限问题的变形或另一种提法. 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤无限中的有限是数学中的美现

41、象，而有限中的无限，同样是数学特有的美就拿数来讲，前文我们讲过：虽然数的概念不断扩大：数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤但人们只须用这十个数码，至多加上某些符号，如“+”、“-”、“”(小数点)，等，就可以将全部数表达出来，正如外语中用有限个字母表达无限的

42、语汇数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 早在一千多年以前，我国就出现了一种广泛流传于民间的数学游戏七巧板它是我们的祖先运用面积的分割和拼补的方法，以及有相同组成成份的平面图形等积的原理研究并创造出来的数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3

43、. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤七巧板是由尺寸互相关联的一对大直角三角形、一对小直角三角形、一个中直角三角形、一个正方形和一个平行四边形所组成的数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不

44、可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤用七巧板可以拼出形状不同的人、动物以及其它物体的造型它对于锻炼人们的智力和培养人们的思维想象能力、审美观点是十分有益的. 甚至在今天，这种数学游戏仍具有很高的品位(比如，它已做成了游戏机软件)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与

45、众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤七巧板的制做步骤如下：数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 (1)在所选材料

46、(如薄纸板)上画出一个正方形，并作出它的对角线(图1)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 (2)分别找出和的中点，连接(图2)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世

47、界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 (3)过作的垂线, 与交于，与交于(图3)数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明

48、嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤(4)过作，过作(图4). 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤最后，沿图中所做的线段依次进行分割，即得七巧板数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性

49、 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤七巧板传到西方后，国外称之为“唐图”上个世纪80年代还有人对它的数学原理、性质进行探讨，得出许多结论例如,“一副七巧板只能拼出种不同的凸多边形”等. 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有

50、限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤再回到铺地问题，其实, 有些不规则的图形也能铺满平面数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶

51、奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤有意思的是, 下面的图案也可以镶嵌(铺满)平面(包括前面对称一节中给出的骑士图案也可以铺满平面，它是荷兰画家埃歇尔的作品)如前所述，这些图形从拓扑变换观点看都是等价的数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧

52、颤 我们想再强调一点，这里的有限性是指那些貌似无限而实则有限的数学现象数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤几十年前，赫柴德征解字谜算式数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无

53、限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤的解(你也许以为它的解很多)，想不到它仅有一组：数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹

54、颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤但验证工作(只靠手算进行)并不轻松，直到新近才由罗素等人借助于计算机(在几分钟内)完成数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 这里, 我们还想讲一件有趣的事公元三世纪，丢番图在其所

55、著算术中指出：分数, , , 中任何两数之积再加，必是某个分数的平方例如, . 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 大约1400年后, 费马发现：整数，中任意两数之积再加都是完全平方数. 例如, . 数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3

56、. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 500多年以后，有人又旧话重提1969年, 英国数学家大卫鲍特和马凯尔证明：使、中的任何两数之积再加后是完全平方数的仅有一个稍后人们发现：若是斐波那契数列，,的第项，则，中的任意两数之积再加均为完全平方数. 例如，时，于是，.数学美欣赏 3.2 数学中的有限性48数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出蛛糯勾喀撅熊楼鞋拐起晴稼刻般再然粗苟葡俘晒隘正裹颠驴针哦明嘘羔剁赣碰凶奇孔防童饲福欠导揪薄娃似销垂张吕对翠至浅美蛊票傣洒反翼氧颤 我们多次讲过, 研究丢番图方程(不定方程)的目的，是研究其整数解