高等数学b学习资料-3.6微积分基本定理

1、编辑ppt第六节第六节 微积分基本定理微积分基本定理一、问题的提出一、问题的提出二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的

2、提出一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数， 二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数)(xf,bax,ba 设函数设函数 在区间在区间 上连续，并且设上连续，并且设 为为 上的一点，上的一点，abxyo积分上限函数的性质积分上限函数的性

3、质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x定理定理)(xf,ba如果如果 在在 上连续，上连续，则积分上限的则积分上限的函数函数 在在 上上 具有导数，具有导数，dttfxxa )()(,ba)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 且它的导数是且它的导数是 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x)(lim fx )(xf 例例1 1,

4、11)()1(0 xdtttxF设设解解).(xF 求求)(xF .11xx 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导， 则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为 一般地一般地 )()()()(xaxafxbxbf )()()(dd)(xbxadttfxxF例例2 2,1)(cossin2 xxdtttxF设设解解).(xF 求求)(xF )(sinsin1sin)(coscos1cos22 xxxxxxxxxxxxsin1sincoscos1cossin22 xxxxxxsin1sincos1cossincos编辑ppt)(xF )(12sin22 x

5、x12sin22 xx解解,12sin)()2(20 xdttxF设设).(xF 求求一般地有一般地有则有则有若若,)()()(dttfxFxa )()()(dd)()(xxfdttfxxFxa 编辑ppt例例3 3,)1ln()(1122 xdttxF设设解解).(xF 求求)(xF )12()12(1ln2 xx)12(1ln22 x一般地有一般地有则则有有若若,)()()(dttfxFbx )()()(dd)()(xxfdttfxxFbx 例例4 4.dsindd)1(20 xtttt求求. )d)(dd)2(0 xttxfx求求)d)(dd0 xttfxx原式原式. )(d)(0 xx

6、fttfx . )d)()(dd)3()(0 xttfxgx 求求 )()(dd)(0 xdttfxgx 原原式式例例5 (1)5 (1)求求.coslim020 xdttxx 解解00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.xdttxx 020coslim1coslim20 xx 20coslimxx 1 (2)(2)求求2021)(arctanlimxdttxx 解解2021)(arctanlimxdttxx 221)(arctanlimxxxx 42 (这是这是 型不定式型不定式) 例例6 6,0cos100 xeytdttdte设设解解.ddxy求求得得

7、求导求导方程两边对方程两边对,x0)1cos( xxyeeyeyxxeey )1cos(例例7 7,)(, ), 0)()1(02xdttfCxfxx 且且若若).2(f求求解解得得求导求导方程两边对方程两边对,x1)()1(322 xxxxf1)32()(232 xxxxf即即,1 x令令51)2( f得得证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tf

8、tx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一个个解解.令令, 1 , 0)(CxF 则则故故0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上至至少少有有一一个个解解. . 例例1010.4arccosarcsin:22)(cos0)(sin0 xx

9、dttdtt证证明明证明证明,arccosarcsin)(22)(cos0)(sin0 xxdttdttxF令令)sin(cos2cossin2)(xxxxxxxF 则则0 .4)( xF 210210arccosarcsin)4(dttdttF 由由 210arccosarcsindttt 2102dt 4 ,)(CxF 定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续， 则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. . 定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是

10、存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),

11、()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式dxxfba )(微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.)()(aFbF 例例1 1 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 x

12、xx .23 解解编辑ppt例例2 2 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例3 3 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12例例4 4 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo

13、2xy xy 122 213102023312131 xxx31382138 编辑ppt注注:1. 1. 分段函数求定积分分段函数求定积分: : 利用区间可加性利用区间可加性, ,用分段点把积分区用分段点把积分区间分成若干段间分成若干段, ,变成若干个积分变成若干个积分. .2. 2. 若被积函数为绝对值函数若被积函数为绝对值函数, , 应先去掉应先去掉绝对值化为分段函数绝对值化为分段函数. .3. 3. 若被积函数为偶次根式若被积函数为偶次根式, , 化为绝对值化为绝对值函数再去掉绝对值化为分段函数函数再去掉绝对值化为分段函数. .例例5 5 求求 .121 dxx解解1)( xxf,211

14、111 xxxx 2111)1()1(dxxdxx原原式式.25 2121122121 xxxx212 例例6 6 求求 .sinsin03 dxxx解解 02cossindxxx原原式式 0cossindxxx 202cossin)cos(sin xdxxdxxx 2232023)(sin32)(sin32 xx)32(32 34 例例 7 7 计计算算曲曲线线xysin 在在, 0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积. 解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 编辑ppt.92)(2xxxf 解解例例8 8 设设,d)()(102 xxfxxx

15、f求求).(xf,d)(10axxf 设设,)(2xaxxf 则则 10d)(xxfa1023231xax ,2131a ,92 a 102d)(xxax xadttfx)()()()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系间的关系思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是

16、是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、设设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，练练 习习 题题（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1I= =_ , ,2I= =_

17、_ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求2

18、2dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函数求函数 xdttttxf02