基本不等式题型总结

1、基本不等式.基本不等式(a 0,b0),常用 a b 2 JOB升级版:2,2a bab a,b R选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版.考试题型【题型1】 基本不等式求最值求最值使用原则：一正 二定三相等一正： 指的是注意a,b范围为正数。二定： 指的是ab是定值为常数三相等：指的是取到最值时 a b典型例题：1-例1 .求y x（x 0）的值域2x分析：x范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）1、入八解：y ( x ) Q x 02xx e 2 (x) (2-2x得到y （,、2例2 .求y2x (x 3)的值域2在(0,1)上是单减函数，所以t 23,(注：3是将t 1代入

2、得到)x 31解：y 2x(添项，可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值)x 312(x 3) 6x 3Q x 3 x 3 0 2(x 3) 2 2x 3y 2s/2 6, 即 y272 6,2例3.求y sin x (0 x )的值域sin x分析：sinx的范围是(0,1),不能用基本不等式，当y取到最小值时，sinx的值是J2,但J2不在范围内解：令 t sinx, t (0,1) y t 2是对钩函数，利用图像可知:y (3,)注意：使用基本不等式时，注意 y取到最值，x有没有在范围内,如果不在，就不能用基本不等式 ，要借助对钩函数图像来求 值域。例4.求yx2 2x 1X2(x

3、2）的值域分析：先换元，令t x 2,t 0,其中x t 2加 (t 2)2 2(t 2) 1 t2 6t 11八解：y t - 6ttty 8,)11Qt0 t-2 t-6 8tt总之：形如y2cxdxax b(a0,c 0）的函数，一般可通过换元法等价变形化为y t : （p为常数）型函数，要注意t的取值范围；【失误与防范】1 .使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2 .在运用重要不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正” “定” “等”的条件.3 .连续使用公式时取 等

4、号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.【题型2】条件是a b或ab为定值，求最值（值域）（简）例5.若x 0,y 0且x y 18,则xy的最大值是.解析：由于x 0,y 0,则x y 2向，所以2瓜 18,则xy的最大值为81例6.已知x,y为正实数，且满足 4x 3y 12,则xy的最大值为 .解析：Q4x 3y 2,/4x 3y 473xy 12,xy 3当且仅当4x 3y， 即4x 3y 1232 时，xy2取得最大值3.例7,已知m 0,n 0 ,且mn 81,则m n的最小值为.解析：Q m 0,n 0, m n 2Zmn 18,当且仅当m n 9时，等号成立.

5、总结：此种题型：和定积最大，积定和最小11、，. 一 一 .、【题型3】 条件是a b或，为定值，求最值（范围）（难）a b方法：将1整体代入11例8.已知x 0, y 0且x y 1,则一 一的最小值是x y解析：Q x y 11111 y xy x(x y)() 2 2 2 1一一4x yx y x y xy所以最小值是4例 9.已知 a 0,b 0, a b 2,则 y1 4一的取小值是 a ba b解析：Qa b 2 1214,14-a b则()()a b a b 2口担在2。卫在52b 2a2 2ab 2 2a b 2 2ab所以最小值是921例10.已知x 0,y 0 ,且一 x2

6、 Ac一1,求x 2y的最小值是 y1则x 2y (x22y 2x , 2y 2x-)(x 2y) 1 4 5 219yx y x y从而最小值为9【题型4】 已知a b与ab关系式，求取值范围例11.若正数a,b满足ab a b 3,求ab及a b的取值范围.解析：把ab与a b看成两个未知数，先要用基本不等式消元解：求ab的范围（需要消去a b ：孤立条件的a ba b 2J0B将a b替换） Qab a b 3 a b ab 3, a b 2 . ab ab 3 2Vab （消a b结束，下面把ab看成整体，换元，求 ab范围）令 t JOb （t 0）,则 ab 3 2 JOE 变成 t2 3 2t解得t 3或t1 （舍去），从而ab 9a b o求a b的范围（需要消去ab ：孤立条件的ab ab （）2 将ab替换）22Q ab a b 3 abab ,'22 a