高斯平均引数计算大地坐标主题反解的迭代算法

1、文章编号:0494-0911(200410-0011-02中图分类号:P226 文献标识码:B高斯平均引数计算大地坐标主题反解的迭代算法赵长胜(徐州师范大学国土信息与测绘工程系,江苏徐州221116Iterative Arithmetic of Gauss Average Coordination Inverse Solutionon Terrestrial EllipsoidZHA O Chang -sheng摘要:在地球椭球面上如果已知两点的大地经、纬度,求两点间的大地线长度及其正、反大地方位角的过程称为大地主题反解。大地主题计算在空间技术、航空、航海、国防等现代科学技术领域被广泛使用。高

2、斯平均引数公式是解决中程大地主题计算的一种经典的方法。给出一种新的大地主题反解的方法,即迭代算法。这种算法是在正算公式的基础上进行的,形式简单,便于理解与编程,避免了枯燥的反解公式的推导。关键词:大地坐标;迭代算法;高斯平均引数收稿日期:2004-04-16作者简介:赵长胜(1957-,男,辽宁彰武人,教授,主要从事测量数据处理与GPS 高精度定位理论方面的研究。一、高斯平均引数的正解公式高斯平均引数正解公式1为B =(B 2-B 1 =V 2mN mS cos A m1+S 224N 2msin 2A m (2+3t 2m +2 2m +3 2m cos 2A m (-1+t 2m - 2m

3、 -4t 2m 2m L =(L 2-L 1 =N mS sec B m sin A m1+S 224N 2msin 2A m t 2m -cos 2A m (1+2m -9t 2m 2m A =(A 21-A 12 =N mS sin A m t m1+S 224N 2mcos 2A m (2+7 2m +9t 2m 2m +5 4m +sin 2A m (2+t 2m +2 2m (1式中,B 1,L 1,B 2,L 2是1,2两点的大地纬度、大地经度,B m =12(B 1+B 2是平均纬度,A 12,A 21,A m=12(A 12+A 21 是相应点处的方位角,S 是大地线长度,t

4、m =tan B m , m =e cos B m ,N m =a 1-e 2sin 2B m ,V m =1+e 2cos 2B m ,a,e,e 分别是地球椭球的长半轴长度、第一偏心率、第二偏心率。以上3式保证了四次项精度,可解算120km 的主题问题。若设(A m ,B m ,S =S 224N 2msin 2A m t 2m - cos 2A m (1+ 2m -9t 2m 2m (A m ,B m ,S =S 224N 2m sin 2A m (2+3t 2m +2 2m + 3 2m cos 2A m (-1+t 2m - 2m -4t 2m 2m (A m ,B m ,S =S

5、224N 2m cos 2A m (2+7 2m + 9t 2m 2m +5 4m +sin 2A m (2+t 2m +2 2m (2并令u =S sin A m v =S cos A m(3则式(2可以表达为(A m ,B m ,S =124N 2m u 2t 2m -v 2(1+ 2m -9t 2m 2m (A m ,B m ,S =124N 2mu 2(2+3t 2m +2 2m + 3v 2 2m (-1+t 2m - 2m -4t 2m 2m (A m ,B m ,S =124N 2mu 2(2+7 2m + 9t 2m 2m +5 4m +v 2(2+t 2m +2 2m (41

6、12004年 第10期 测 绘 通 报高斯平均引数正解公式可以写成下面的形式B =(B2-B1 =v V 2 mN m1+ (A m,B m,SL =(L2-L1 =uN m cos B m1+ (A m,B m,SA =(A21-A12 =uN m t m1+ (A m,B m,S(5二、高斯平均引数反解的迭代算法大地主题反算是已知两端点的经纬度L1,B1,L2,B2,反求两点间的大地线长度S及正、反大地方位角A12,A21。由式(3可得u= LN m cos B m1+ (A m,B m,Sv= BM m1+ (A m,B m,S(6由于式(4是隐函数,计算时需要迭代。迭代初值为u0= L

7、N m cos B mv0= BN mV2m(7以后各次迭代u i= LN m cos B m1+ (A i-1m,B m,S i-1mv i= BN mV2m1+ (A i-1m,B m,Si-1m(8当两次迭代值之差小于给定值,即u i-u i-1v i-v i-1(9停止迭代。将u,v代入式(5中的第3式,则可算得 A ,于是可计算出A12=A m-12AA21=A m+12A(10并由u,v可以反算出S=u2+v2A m=arctan uv(11为判断A m的象限,设b=B2-B1,l=L2-L1,先按下式求出T=arctanuvT=4+arctan1-uv1+uv当|b| |l|当|

8、b| |l|(12所以A m=TA m= -TA m= +TA m=2 -TA m= /2当b>0,l 0当b<0,l 0当b>0,l<0当b>0,l<0当b=0,l>0(13三、算 例作者应用Visual BASIC编写了高斯平均引数的正反算程序和反算的迭代法程序,算例如下。1.正算算例已知 求得B1=47 46 52.6470 B2=48 04 09.6384L1=35 49 36.3300 L2=36 14 45.0504A12=44 12 13.6640 A21=224 30 53.550S=44797.2826m2.反算算例已知 求得B1=47 46 52.6470 B2=48 04 09.6384L1=35 49 36.3300 L2=36 14 45.0504利用反算程序求得S=44797.2827mA12=44 12 13.664A21=224 30 53.550四、结 论高斯平均引数反算的