规则格网上双方向性插值的DEM误差估计

1、规则格网上双方向性插值的DEM误差估计陈再辉1 张菊清1 赵飞燕2 许铁林3（1.长安大学 西安 710054；2.杨陵职业技术学院 杨陵 ；3.中冶集团武汉勘查研究院有限公司 武汉）摘 要：本文简要介绍了双方向性插值方法的原理，并以线性插值和三次插值过程中的误差传播为基础，利用误差传播定律，推导出了双方向性插值方法生成的DEM曲面平均高程误差值关键词：规则格网 双方向性插值 数字高程模型 误差；1 引言数字高程模型（DEM）是一种对地球表面进行数字化描述和模拟的方法，是空间数据基础设施的重要组成部分，是新一代的地形图数字高程模型的应用越来越广泛，可以用于地学分析，也可以用于二维地理空间上连续

2、分布并逐渐变化的各种非高程属性数据的建模与分析上DEM生产中最关键的环节是质量控制良好的插值方法，不仅应具有较高的插值精度，而且还应有较小的误差传播双方向性插值方法是考虑到地形的各向异性提出的目前这方面的研究比较少它是根据地形变化的剧烈程度在不同的方向上选择不同的插值方法，将二维插值问题分解为三个一维插值来实现本文推导出了这种方法生成的DEM曲面的平均高程误差2 双方向性插值算法原理双方向性插值是根据地形变化的剧烈程度在不同的方向上选择不同的插值方法可表示成下式在方向上 在方向上 （1）其中和分别为点沿和方向的方向坡度值3 线性插值过程中的误差传播3.1 线性插值公式假定和是给定的两点，其坐标

3、分别为和，基于、两点的线性插值公式为 （2）记，当=0且=d时，（2）式可简化为 （3） 3.2 直线上任意一点的误差 对于直线上任意一点，误差记为，则 = （4）3.3 直线上所有点的平均误差 直线上所有点的平均误差记为 ，则 = （5）4 三次插值误差传播4.1 三次插值公式假定和是给定的两点，其坐标分别为和，这两个点上的一阶微分记为和，给定条件 和可用下式计算，基于、两点的三次插值公式为 + （6）当=0且=d时，（6）式可简化为+ = （7）对比（3）式和（7）式，可以发现三次插值公式化简后形式和线性插值公式相同4.2 直线上任意一点的误差因为三次插值公式和线性插值公式相同，所以计算公

4、式与（4）是相同4.3 直线上所有点的平均误差直线上所有点的平均误差记为 ，计算公式与（5）式相同5 双方向性插值DEM误差估计假设DEM曲面的一部分ABCD是由四个节点A,B,C和D得到的，曲面ABCD在上的图形应为正方形，记A,B,C和D的坐标分别是A(0,0,),B(d,0,),C(d, d,)和D(0,d,)通过已知节点利用双方向性插值得到的曲面ABCD的表达式记为，有， 双方向性插值是以地形的平均梯度做为阀值，在轴和轴上分别选用不同的插值法（线性插值或三次插值）来实现的，所以有四中组合，下面就其中一种进行推导，其他三种同理可得5.1 双方向性插值公式假设方向为三次插值，方向为线性插值

5、，在轴上有如下三次插值公式其次，将在轴方向上进行插值，得到为=+ =+ =+ （8）5.2 曲面上任意一点的误差根据误差传播定律，曲面上任意一点的误差为 （9）5.3 曲面上的平均高程误差 = （10）6 小结（1）因为每个正方形格网上的平均误差相同，所以（10）式是DEM整体去面上的平均高程误差公式（2）上式与DEM整体去面上的平均梯度的选取无关（3）DEM整体去面上单个插值点的误差不仅与店的位置有关，而且与平均梯度的选取有关，根据（9）式进行计算（4）对比（3）式和（7）式可以发现三次插值公式化简后形式和线性插值公式相同，所以双方向性插值法生成的DEM曲面平均误差和双线性插值、双三次插值生

6、成的DEM曲面平均误差应该一样，推导过程和结论也说明了这一点双线性插值的精度为（Li and Zhu,2003）,双三次插值的精度为（Shi,2005）,所以三种插值方法的理论度精度均为参考文献1史文中空间数据与空间分析不确定性原理科学出版社，20052李志林，朱庆等数字高程模型M武汉大学出版社，20033汤国安，刘学军等数字高程模型及地学分析的原理与方法科学出版社，20054封建湖，车刚明等数值分析原理科学出版社，20045Almansa A, Cao F7Ress W G. 2000. The accuracy of digital elevation models Interpolation to higher resolutions . INT. J. Remote Sensin