第1章 1.1 两个基本计数原理

1、.1.1两个根本计数原理1掌握分类计数原理与分步计数原理重点2会用两个根本计数原理解决一些简单的应用问题难点根底·初探教材整理1分类计数原理阅读教材P5P6“例1以上部分，完成以下问题假如完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法判断正确的打“，错误的打“×1在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以一样2在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事3从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班假设李先生从甲地去乙

2、地，那么不同的交通方式共有7种4某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种【解析】1×在分类计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能一样的2在分类计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事3由分类计数原理，从甲地去乙地共347种不同的交通方式4根据分类计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8614种【答案】1×234教材整理2分步计数原理阅读教材P5P6“例1以上部分，完成以下问题假如完成一件事，需要分成n个步骤

3、，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1×m2××mn种不同的方法判断正确的打“，错误的打“×1在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不一样的2在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事3x2,3,7，y3，4,8，那么x·y可表示不同的值的个数为9个4在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种【解析】1因为在分步计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不一样2×因为在分步计数原

4、理中，要完成某件事需分几个步骤，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成3因为x从集合2,3,7中任取一个值共有3个不同的值，y从集合3，4,8中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×39个不同的值4×因为每个工程中的冠军都有3种可能的情况，根据分步计数原理共有34种不同的夺冠情况【答案】12×34×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型分类计数原理1从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，

5、6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？2在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】1按所选组长来自不同年级为分类标准2按个位或十位取09不同的数字进展分类【自主解答】1分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法共有不同选法N456722种2法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136个法二按

6、个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数共有1234567836个1应用分类计数原理解题的策略1标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法2不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏3方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事2利用分类计数原理解题的一般思路再练一题11某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，那么购置方式共有_种2有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个假设从三个袋子中任取1个小

7、球，有_种不同的取法【解析】1分两类：买1本或买2本书，各类购置方式依次有2种、1种，故购置方式共有213种2有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球这件事，根据分类计数原理，不同的取法共有65415种【答案】13215分步计数原理一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码各位上的数字允许重复?【精彩点拨】根据题意，必须依次

8、在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m110；第二步，有10种拨号方式，所以m210；第三步，有10种拨号方式，所以m310；第四步，有10种拨号方式，所以m410.根据分步计数原理，共可以组成N10×10×10×1010 000个四位数的号码1应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可2利用分步计数原理解题的一般思路1分步：将完成这件事的过程分成假设干步；2计数：求出每一步中的方法数；

9、3结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果再练一题2张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购置国债人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购置国债那么可以从一年期、二年期和三年期中选择一种问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目的应分步完成第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购置国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式由分步计数原理，得2×36种探究共研型两个计数原理的辨析探究1某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配

10、成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事指的是什么？假设配成“一荤一素是否“完成了这件事？【提示】“完成这件事是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成而只选出“一荤一素不能算“完成这件事探究2在探究1中，要“完成配成套餐这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能到达“一荤一素一汤的要求，即都不能完成“配套餐这件事探究3在探究1中假设要配成“一素一汤套餐试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类计数原理和分步计数原理求解吗？你能说明分类计数原理与分步计数原理的主要区别吗？

11、【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法故由加法计数原理，配成“一素一汤的套餐共有3333315种不同的套餐利用分步计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法由分步计数原理，配成“一素一汤的套餐共有5×315种不同套餐两个计数原理的主要区别在于分类计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步计数原

12、理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，那么不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成即解答此题可“先分类，后分步【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×24种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑

13、，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法根据分类计数原理，共有42118种选派方法1能用分步计数原理解决的问题具有如下特点：1完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；2完成每一步有假设干种方法；3把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数2利用分步计数原理应注意：1要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的2“步与“步之间是连续的、不连续的、缺一不可的，但也不能重复、穿插3假设完成某件事情需n步，那么必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成再练一题3一个袋子里有10张不同的中国挪动手机卡，另一个袋

14、子里有12张不同的中国联通手机卡1某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？2某人手机是双卡双待机，想得到一张挪动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】1第一类：从第一个袋子取一张挪动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法根据分类计数原理，共有101222种取法2第一步，从第一个袋子取一张挪动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法根据分步计数原理，共有10×12120种取法构建·体系1一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出

15、1人来完成这项工作，不同选法有_种【解析】由分类计数原理知，有358种不同的选法【答案】82有4位老师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位老师不能在本班监考，那么监考的方法有_种. 【导学号：29440000】【解析】分四步完成：第一步：第1位老师有3种选法；第二步：由第一步老师监考班的数学老师有3种选法；第二步：第3位老师有1种选法；第四步：第4位老师有1种选法共有3×3×1×19种监考的方法【答案】933名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，那么不同的报名种数有_种【解析】第1名学生有4种选报方法；第2,3

16、名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×464.【答案】644某地奥运火炬接力传递道路共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，那么不同的传递方案共有_种用数字作答【解析】分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×148种；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×148种根据分类计数原理得，共有方案484896种【答案】965某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息1假设小明爸爸任选一个凳子坐下小明不坐，有几种坐法？2假设小明与爸爸分别