随机过程考试真题

1、1、设 随 机 过 程 X(t) R t C ， t (0, ) ， C 为 常 数 ， R 服 从 0, 1 区 间 上 的 均 匀 分 布 。( 1)求X (t ) 的一维概率密度和一维分布函数；( 2)求X (t ) 的均值函数、相关函数和协方差函数。2、设W (t), t 是参数为2的维纳过程，R N (1,4) 是正态分布随机变量；且对任意的t , W(t)与R均独立。令 X(t) W(t) R,求随机过程X (t), t 的均值函数、相关函数和协方差函数。3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即180 ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一

2、天内(8 个小时)商场营业额的数学期望与方差。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：( 1)求两步转移概率矩阵P ( 2) 及当初始分布为时，经两步转移后处于状态2 的概率。( 2)求马尔可夫链的平稳分布。5 设马尔可夫链的状态空间I 1,2,3,4,5 ，转移概率矩阵为：求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。6、设N(t),t 0 是参数为的泊松过程，计算E N(t)N(t s) 。7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以N i 记在 i 第层进入电梯的人数。假定N i 相互独立，且Ni 是均值为i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率pj在第j层离开电梯，,pj1。令

3、Oj =在第 j 层离开电梯的人数。( 1 )计算E(O j )(2) Oj的分布是什么(3) Oj与Ok的联合分布是什么8、一质点在1， 2， 3 点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在t,t h) 内，它都以概率 h o(h) 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pi j (t)及平稳分布。1 有随机过程(t)，-<t<和(t)，- <t< ，设(t)=A sin(t+)，(t)=B sin(t+ ), 其中A，B，为实常数，均匀分布于0， 2 ，试求R (s,t)2( 15 分)随机过程(t)=Acos( t+

4、)， - <t <+ ，其中 A, , 是相互统计独立的随机变量，EA=2,DA=4,是在-5, 5上均匀分布的随机变量，是在-,上均匀分布的随机变量。试分析(t)的平稳性和各态历经性。3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9: 00开门，试求：(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率；( 2)若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。4 设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态：滞销(用1 表示)、正常(用2 表示)、畅销(用 3 表示)。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化(从这月到下月)与初始时刻无关，

5、且其状态转移概率为pj (pj表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率)，一步转移开率矩阵为：试对经过长时间后的销售状况进行分析。5 设 X(t ), t 0是独立增量过程, 且 X(0)=0, 证明X(t ), t 0是一个马尔科夫过程。6设 N(t),t 0 是强度为的泊松过程，Yk,k=1,2, L 是一列独立同分布随机变量，且与 N(t),t 0 独N(t)立，令 X(t)=Yk,t 0，证明：若E(Y12< )，则 E X(t) tE Y1k=17 . 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规

6、定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8 设 t , t 是平稳过程，令t t cos 0t , t ，其中 0是常数，为均匀分布在0,2 上的随机变量，且t , t 与 相互独立，R( )和 S( )分别是t,的相关函数与功率谱密度，试证:(1) t,是平稳过程，且相关函数:【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 t, t的功率谱密度为：9已知随机过程(t )的相关函数为：2R e，问该随机过程(t)是否均方连续？是否均方可微?R服从0, 1区间上的均匀分布。1、设随机过程X(t) r t c, t (Q ), C为常数,(1)求X(

7、t)的一维概率密度和一维分布函数;(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】(1)xF(x) f (t)dt ,则f(t)为密度函数;(2)X(t)为(a,b)上的均匀分布，概率密度函数f (x)1一,a a0,其他F(x)0, x a,a a 1,xa bE(x)，D(x)(ba)212(3)参数为F(x)(4)F(x)的指数分布，概率密度函数xe ,x 00,x 0E(x) ,D(x)(t)2f(x)xe ,x0,x 00,分布函数1E(x) D(x)12 ；2 ，的正态分布，概率密度函数x 2-e 2 dt, x ，若 0,f(x)(x )2 e 2 21时，其为标准

8、正态分布。(1)因R为0,1上的均匀分布，C为常数，故X(t)亦为均匀分布。由 R的取值范围可知，X(t)为C,C t上的均匀分布，因此其一维概率密度f(x)1,C x C t t0,其他维分布函数【解答】此题可参见课本习题3.10题。0,x C x CF(x) -p,C X Ct；1,x C t(2)根据相关定义，均值函数mX(t) EX (t) - C ；21C2相关函数 RX(s,t)EX(s)X(t) -st (s t) C ;32协方差函数 BX(s,t)E X(s) mX(s)X(t)stmX (t) 一(当s t时为万差函数)12【注】D(X) E(X2) E2(X)； BX(s

9、,t) RX(s,t) mX(s)mX(t)- - - 一 . . . ' . . . ' .求概率密度的通解公式 ft(x)f(y)|y(x)| f(y)/|x(y)|2、设 W(t), t 是参数为 2的维纳过程，RN(1,4)是正态分布随机变量；且对任意的t ,W(t)与R均独立。令X(t) W(t) R,求随机过程 X(t), t 的均值函数、 相关函数和协方差函数。【解答】此题解法同1题。依题意，W(t)N(Q 2 |t |) , R N(1,4),因此X(t) W(t) R服从于正态分布。故：均值函数mX(t) EX(t) 1；相关函数 RX(s,t) EX(s)X

10、(t) 5;协方差函数 BX(s,t)E X(s) mX(s)X(t) mX(t)4 (当 s t 时为方差函数)3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即 180;且每个顾客的消费额是服从参数为 s的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：E(Y) 1 ,D(Y) ，故E(Y2) 马，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期 sss望(8) 8 180 E(Y)；一天内商场营业额的方差X(8) 8 180 E(Y2)。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：(1)求两

11、步转移概率矩阵P及当初始分布为时，经两步转移后处于状态2的概率。(2)求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例 4.3题及4.16题(1)两步转移概率矩阵当初始分布为 PX0 1 1, PX02 PX0 3 0 时，故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。(2)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组解上述方程组得平稳分布为5、设马尔可夫链的状态空间I 1,2,3,4,5,转移概率矩阵为：求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可参加例 4.13题和4.16题(2)由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其

12、平稳分布及各状态的平均返回时间。A、又G1常返闭集而言，解方程组解上述方程组得平稳分布为则各状态的平均返回时间分别为日XG 62常返闭集而言，解方程组解上述方程组得平稳分布为则各状态的平均返回时间分别为6、设 N(t),t 0是参数为的泊松过程，计算 E N(t)N(t s)。【解答】7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以 Ni记在i第层进入电梯的人数。假定 Ni相互独立，且 Ni是均值 为i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率 pj在第j层离开电梯，,pj 1。令Oj = 在第j层离开电梯的人数。(1)计算 E(Oj)(2) Oj的分布是什么(3) Oj与Ok的联合分布是什么【解答

13、】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。以Nj记在第i层乘上电梯，在第j层离去的人数，则 Nj是均值为i pj的泊松变量，且全部Nj(i 0, j i)相互独立。因此： EOj E NjiPj(2)由泊松变量的性质知，OjNj是均值为ipj的泊松变量ikk i(3)因 Oi与Ok独立，则 P(OiOk) P(Oi)P(Ok) e ?ee 2 ,为期望。i!k!i!k!8、一质点在1,2, 3点上作随机游动。若在时刻 t质点位于这三个点之一，则在 t,t h)内，它都以概率h o(h)分别转移到其它两点之一。 试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pi j (t)及平稳

14、分布。【解答】参见教材习题 5.2题依题意，由领0电1qj(ij)得，q0 1(i j),柯尔莫哥洛夫向前方程为Pj2pj(t)Pi,j i(t) p,ji(t),由于状态空间I 1,2,3,故Pj Pi,j i Pi,j i1,所以Pj2Pj(t) 1 Pj (t)3Pj(t) 1,解上述一阶线性微分方程得：2 tiPj(t) ce 33,由初始条件确定常数c ,得故其平稳分布i、有随机过程(t),-<t<和(t),-<t<,设(t)=A sin( t+ ),(t)=B sin(t+ ), 其中 A, B,为实常数，均匀分布于0, 2 ,试求R (s,t)1后,021

15、解：f20,其它2、随机过程(t)=Acos( t+ ), - <t <+ ,其中A,是相互统计独立的随机变量，EA=2, DA=4, 是在-5, 5上均匀分布的随机变量，是在-,上均匀分布的随机变量。试分析 的平稳性和各态历经性。2、解：所以具有平稳性。故均值具有各态历经性。故相关函数不具有各态历经性。3、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店 9: 00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率;（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。3、解：设顾客到来过程为 N（t）, t>=0,依题意N是参数为

16、的Poisson过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为： 一 1一 （2）在开门半小时中无顾客到来可表不为N -0 ,在未来半小时仍无顾客到来可表不为21 ，N 1 N -0 ,从而所求概率为：24、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用 2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为 pj （pj表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：试对经过长时间后的销售状况进行分析。4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且p.>0,从而所有

17、状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为= 1, 2, 3,求解方程组：=P, 1+ 2+ 3=1即：得：即极限分布为：,232323由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。5、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。0.700.3 000.1 0.8 0.100(1) P 0.400.600000.5 0.50000.5 0.51 01 23 30 05、6、一个服务系统，顾客按强度为的 Poisson 过程到达，系统内只有一个服务员，并且服务时间服从参数为 的负指数分布，如果服务系统内没有顾客，则顾客到达就开始服务，否则他就排队。但是，如果系统内有两个顾客在排队，他就离开而不返回。令表示服务系统中的顾客数目。( 1)写出状态空间；( 2)求