数学也实验探究更精彩

1、 数学也实验，探究更精彩-例说基于几何画板的数学试题探究研究摘要：本文主要从数学教学的角度出发，研究了以几何画板为实验平台进行高中数学探究实验活动。文章以一个数学习题为出发点，从习题解法探究开始，从纵向一般化、横向类比、逆向研究各方面详细阐述了如何利用几何画板进行数学探究实验，通过从特殊到一般的不断演化，实验，得出一般性的结论的过程。让学生在不断的参与实验探究的过程中进行猜想归纳、推理论证，达到提高数学课堂学习的效率，促进学生的动手能力与数学思维能力发展的目的。关键词：数学探究实验； 几何画板； 纵向一般化； 横向类比； 逆向思维 高中数学课程提出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿

2、和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式。高中数学应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”“高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合”。几何画板是实现这一理念的有力工具。它最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于让学生在图形的变化中把握不变，从而构建动态数学学习的实验平台，让数学也能进行实验，从而学生能更深入探究几何的精髓，这有效的突破了传统教学的难点。如何用几何画板进行数学探究实验活动呢？本文以一道数学选

3、择题的展开探究为例进行过程说明。本文中所讨论的二次圆锥曲线均以焦点在轴上的为准。一、 原题呈现：人教A版高中数学选修2-1同步测控优化设计训练与测评P29第二章测评第5题：已知P、Q是椭圆上的两个动点，O为坐标原点，若OPOQ，则点O到弦PQ的距离必等于（ ） A、 1 B、 C、 D、 图1二、探究过程、解法探究 图21、特殊法：（如图1所示）所示，点P、Q分别在Y轴、X轴上时，显然符合条件。此时，则，由 得、，故选C 2特殊法：（如图2所示）当PQX轴时，POD为等腰直角三角形，不妨设，由P在椭圆上有，解得，从而，即点O到弦PQ的距离为。3、一般法：当直线PQ斜率不存在时，解法同特殊法2，

4、点O到弦PQ的距离为。当直线PQ斜率存在时，（如图3所示）设直线PQ为， 图3由可得， 有 即 化简得所以由点到直线的距离公式有综上所述，点O到弦PQ的距离必等于。4、解后反思：对于一道数学试题，我们不应只满足于参考答案，我们应该引导学生充分运用所学知识，从各种角度对试题加以分析透视，这也是将试题运用于教学实验活动的前提，只有做好了充分的准备，才能应对学生提出的各种问题，正所谓“教师要给学生一杯水，自己得有一桶水”。、纵向一般化探究当解决了一道数学试题之后，我们应该引导学生思考：这道题目所体现的性质或结论背后是否能由特殊推广到一般情形？也就是试题的背后是否隐藏着一般性的规律？因而我们也就有：

5、图4探究1：已知P、Q是椭圆上的两个动点，O为坐标原点，若OPOQ，则点O到弦PQ的距离是否为一定值，若是，求这个定值；否则说明理由。1、画板作图，直观感知：定义坐标系，点击工具栏“自定义工具”“圆锥曲线A” “椭圆（中心+顶点）”在坐标系上点击原点（为中心）及X轴上一点（为顶点，X轴上的顶点）即可构造出焦点在X轴上的椭圆。在椭圆上任取一点P，连结OP，选定点O与OP，于菜单栏上点击“构造”“垂线”，作出OP的垂线OQ交椭圆于点Q。连结PQ，过点O再构造OD垂直于PQ，垂足为D，则OD的长为点O到弦PQ的距离。选定点O、D，点击菜单栏“度量”“坐标距离”，则线段OD的长显示于屏幕左上角。（如图

6、4所示）2、画板操作，动态确认：选定并拖动点P，发现随着点P的移动，表示点O到弦PQ距离的线段OD的值始终保持不变。拖动点B1，改变椭圆的离心率后，再选定并拖动点P，发现随着点P的移动，OD的值仍是不随点P的移动而改变的一定值。3、归纳探究，获取结论：若P、Q是椭圆上的两个动点，且OPOQ，O为坐标原点，则点O到弦PQ的距离是定值。4、证明：当直线PQ斜率不存在时，由椭圆的对称性及及已知可得POQ为等腰直角三角形，所以OD=PD=DQ，D在X轴上，不妨设，由P在椭圆上有，解得，所以，即点O到弦PQ的距离必等于。 图5当直线PQ斜率存在时，（如图5所示）设直线PQ为，由 有 即 化简得所以所以由

7、点O到弦PQ的距离为。综上所述，若P、Q是椭圆上的两个动点，且OPOQ，O为坐标原点，则点O到弦PQ的距离必为。5、解后反思：原试题只是我们所得结论的一个特殊实例。命题人只是令椭圆方程中，。这样，即点O到弦PQ的距离必等于。、横向类比性探究相似的结构，常常可以类比出相似的结论。椭圆与双曲线是“姊妹”曲线，它们在很多方面有着相似的性质、相似的结论。所以我们可以引导学生类比探究同样是二次曲线的双曲线是否也有类似的一般结论呢？ 图6探究2：已知P、Q是双曲线上的两个动点，O为坐标原点，若OPOQ，则点O到弦PQ的距离是否为一定值，若是，求这个定值；否则说明理由。 图71、直观感知，作图度量：定义坐标

8、系，点击工具栏“自定义工具”“圆锥曲线A”“双曲线（中心+实轴上顶点）”在坐标系上点击原点（做中心）及X轴上一点（做顶点，X轴上的顶点），构造出焦点在X轴上的双曲线，在双曲线上任取一点P，连结OP，选定点O及线段OP，于菜单栏上点击“构造”“垂线”，作出OP的垂线OQ，记取垂线与双曲线的交点为Q，连结PQ，过点O再构造OD垂直于PQ，垂足为D，则OD的长为点O到弦PQ的距离。选定点O、D，点击菜单栏“度量”“坐标距离”，则线段OD的长显示于屏幕左上角。（如图6所示）2、画板操作，动态确认：选定并拖动点P，可以看到OD的值不变。选定并拖动点B1，改变双曲线离心率，再拖动点P，OD的值仍为一定值。

9、在拖动点B1，改变双曲线的离心率过程中，发现当B1离点O较近（即b变小）时，点Q、OD的值会自动消失，（如图7）经多次试验仍是如此。通过观察图形变换，可以推测该现象与双曲线的离心率有关，并猜想当离心率时，条件OPOQ不成立所致。3、归纳探究，获取结论：若P、Q是双曲线上的两个动点，O为坐标原点，当OPOQ时，点O到弦PQ的距离为一定值。4、证明：当直线PQ斜率不存在时，PQX轴时，由双曲线的对称性及及已知可得POQ为等腰直角三角形，所以OD=PD=DQ，D在X轴上，不妨设（m>0），由P在椭圆上有， 解得所以，即点O到弦PQ的距离必等于。当直线PQ斜率存在时，设直线PQ为，由 化简得 所

10、以 所以 即 ，化简得 所以综上所述，若P、Q是双曲线上的两个动点，O为坐标原点，当OPOQ，则点O到弦PQ的距离是。显然，当时，即时，无意义，此时，在双曲线上不存在使OPOQ的两点P、Q。 图85、反思归纳：观察到，综合对试题的纵向及横向研究结论，我们可以得出更具一般性的结论：平面直角坐标系中，若二次曲线上存在两点P、Q，使OPOQ，则点O到弦PQ的距离为定值。、逆向思维式探究试题的正向探究完毕之后，我们还可以让学生思考：这个问题的逆命题是否也成立呢？这样的思维方式有助于帮助学生培养严谨完备的数学解题意识。探究3：已知P、Q是椭圆上的两个动点，O为坐标原点，若点O到弦PQ的距离等于定值时，

11、OPOQ是否成立？1、画板作图，直观感知：定义坐标系，依前例在坐标系上作椭圆，选定点A1及B1，利用“度量”中的“横坐标”与“纵坐标”分另度量出A1的横坐标及B1的纵坐标，分别改名为a、b。利用菜单栏中的“数据”“计算”计算出的值。选择“绘图”“绘制点（P）”作出点C（，0）。依次选定点O、C，选择“构造”“以圆心和圆周上的点作圆（C）”作圆O。在圆O上任取一点D，连结OD，选定点D及线段OD，选择“构造”“垂线”作出与点O距离为的直线PQ，交椭圆于点P、Q。依次选定点P、O、Q，选择“度量”“角度”，则角POQ的大小显示于屏幕上。（如图8所示）2、画板操作，动态确认：选定并拖动点D，此时，点

12、O到弦PQ的距离恒为，观察发现POQ恒为90°，即OPOQ成立。改变离心率大小时，POQ仍保持恒为90°不变。（以下与探究4合二为一归纳证明） 图9探究4：已知P、Q是双曲线上的两个动点，O为坐标原点，若点O到弦PQ的距离等于定值时， OPOQ是否成立？ 图101、画板作图，直观感知：定义坐标系，依前例在坐标系上作双曲线，选定点A1及B1，利用“度量”中的“横坐标”与“纵坐标”分另度量出A1的横坐标及B1的纵坐标，分别改名为a、b。利用菜单栏中的“数据”“计算”计算出的值。选择“绘图”“绘制点（P）”作出点C（，0）。依次选定点O、C，选择“构造”“以圆心和圆周上的点作圆（

13、C）”作圆O。在圆O上任取一点D，连结OD，选定点D及线段OD，选择“构造”“垂线”作出与点O距离为的直线PQ，交椭圆于点P、Q。依次选定点P、O、Q，选择“度量”“角度”，则角POQ的大小显示于屏幕上。2、画板操作，动态确认：选定并拖动点D，此时，点O到弦PQ的距离为，观察发现当点D在圆O上移动时，POQ或为90°，即OPOQ成立（如图9所示），或不存在（如图10所示）。其中当移动点B1改变b的大小使ba时，未定义，此时双曲线离心率，双曲线上不存在两点P、Q，使点O到弦PQ的距离为。3、探究归纳，获取结论：观察到且，综合以上逆向探究3与探究4的结论，可以猜想更具一般性的结论：平面直

14、角坐标系中，若二次曲线上存在两点P、Q，使点O到弦PQ的距离为定值，则OPOQ。4、证明：当过P、Q两点的直线垂直于X轴时，由点O到直线PQ的距离为，曲二次曲线的对称性，不妨设直线PQ为X= ，则由可解得，从而，。此时显然OPOQ成立。当过P、Q两点的直线不垂直于X轴时，设直线PQ方程为，由方程组 可得所以 因为点O到直线PQ的距离为 ，所以有 即 所以 即OPOQ。综上所述，在平面直角坐标系中，若二次曲线上存在两点P、Q，使点O到弦PQ的距离为定值，则OPOQ。5、反思总结综合以上纵向一般化探究，横向类比性探究，逆向思维式探究的结论，我们有以下性质定理：性质1：平面直角坐标系中，若二次曲线上

15、存在两点P、Q，使OPOQ，则点O到弦PQ的距离为定值。性质2：平面直角坐标系中，若二次曲线上存在两点P、Q，使点O到弦PQ的距离为定值，则OPOQ。三、数学实验探究的反思本次探究通过几何画板为工具对试题进行纵向一般化探究，横向类比性探究，逆向思维式探究的过程，使我们看到利用几何画板的动态性和形象性，可以给学生创造一个实际“操作”探究几何图形的实验环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。因此，几何画板能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充

16、分体现了现代教学的思想。当然，数学是思维的体操，基于几何画板的实验探究平台进行实验，然后再引导学生归纳分析、类比猜想，符合数学发现发生的客观规律。但数学也是严密的，数学不是凭空想象出来的，数学探究的结果必须进行严格的逻辑推理论证。因此，在数学的实验探究过程中，合情推理与演绎推理必须相辅相成，缺一不可。利用几何画板为平台进行数学实验探究，教师必须先引导学生作好实验课件，由于几何画板的作图方法与与数学作图相类，学生易于理解，而且几何画板课件的制作简单 易行，通常在几分钟的时间内即可完成，便于师生当堂完成，制作过程的可视性也有利于提高实验结果的可信度。这使得几何画板进入课堂更具有实际意义和现实意义。基于几何画板的数学探究活动让学生通过动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念，是理解和解决问题的一种有效的教学过程。在这个过程中，教师能