椭圆中与焦点三角形有关的问题_100教育

1、椭圆中与焦点三角形有关的问题性质一：当点P从右至左运动时，由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，达到最大。3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？（面对cos= 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是，分母变化的部分是，二者的关系是 ，于是目标式可分成两部分 ，最后对 利用均值不等式，即可大功告成。问题5：由上面的分析，你能得出cos与离心率e的关系吗？性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中_（当且仅当动点为短轴

2、端点时取等号）设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。 1由椭圆定义，有 平方后得 2变式1：已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。变式2：若椭圆的两个焦点、，试问：椭圆上是否存在点，使？存在，求出点的纵坐标；否则说明理由。方法二：，但椭圆离心率为，不在范围内，故不存在。性质三：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积_性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。20090423题5：已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴

3、的弦长为求椭圆的方程；【课堂测试】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ c ） A B C D4. 已知矩形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。5. 若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。6,已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。7.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若， 则椭圆的离心率为 8.椭圆（a>b>0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若

4、右焦点F到直线AB的距离等于AF，则椭圆的离心率是。 一、选择题1(09·浙江)已知椭圆1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P，若2，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案D解析由题意知：F(c,0)，A(a,0)BFx轴，.又2，2，e.故选D.2已知P是以F1、F2为焦点的椭圆1(a>b>0)上一点，若·0，tanPF1F2，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D解析由·0知F1PF2为直角，设|PF1|x，由tanPF1F2知，|PF2|2x，ax，由|PF1|2|PF2|

5、2|F1F2|2得cx，e.3(文)(北京西城区)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|，又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆(理)(浙江台州)已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为()A4 B8 C12 D16答案B解析直线yk(x)过定点N(，0)，而M、N恰为椭圆y21的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a4×

6、;28.5(文)椭圆1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足F1PF260°，则F1PF2的面积是()A. B. C. D.答案A解析由余弦定理：|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos60°|F1F2|2.又|PF1|PF2|20，代入化简得|PF1|·|PF2|，SF1PF2|PF1|·|PF2|·sin60°.(理)已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则ABF的面积最大值为()A6 B15 C20 D12答案D解析S|OF|·|y1y2|OF|·2b12.6(2

7、010·山东济南)设F1、F2分别为椭圆1的左、右焦点，c，若直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过F2，|F1F2|PF2|，设直线x与x轴交于Q点，则易知|PF2|QF2|，即|F1F2|QF2|，2cc，c>0，3c2a2，即e2，e，e<1.7如图F1、F2分别是椭圆1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.1答案D解析连结AF1

8、，由圆的性质知，F1AF290°，又F2AB是等边三角形，AF2F130°，AF1c，AF2c，e1.故选D.9(杭州五校)椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A. B. C2 D4答案A解析由题意x21，且2，m.故选A.二、填空题11(文)已知F1、F2为椭圆1(a>b>0)的焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且F1MF260°，则椭圆的离心率为_答案解析令xc，1.y±.|F1M|.F1MF260°，|MF2|2|MF1|.又|MF1|MF2|2a，2a.a23c2.e2，0<e&l

9、t;1，e.(理)(08·江苏)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_答案解析设切点为Q、B，如图所示切线QP、PB互相垂直，又半径OQ垂直于QP，所以OPQ为等腰直角三角形，可得a，e.12在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上，则_.答案解析1的焦点是A(4,0)、C(4,0)，点B在椭圆上，BABC2a10，AC8，由正弦定理得.14若右顶点为A的椭圆1(a>b>0)上存在点P(x，y)，使得

10、3;0，则椭圆离心率的范围是_答案<e<1解析在椭圆1上存在点P，使·0，即以OA为直径的圆与椭圆有异于A的公共点以OA为直径的圆的方程为x2axy20与椭圆方程b2x2a2y2a2b2联立消去y得(a2b2)x2a3xa2b20，将a2b2c2代入化为(xa)(c2xab2)0，xa，x，由题设<a，<1.即e>，0<e<1，<e<1.椭圆高考题1.（2010·福建高考文科·1）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8【命题立意】本题考查

11、椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P为动点，依题意写出的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选C，设，则，又因为，又， ，所以 .2.（2010·广东高考文科·7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A B C D【命题立意】本题考察椭圆的基本性质以及等差数列的定义.【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出、的关系，再转化为、间的关系，从而求出.【规范解答】选. 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, ， ，即： ，

12、又 ， ，即 ， （舍去）或 ， ，故选.3（2010·陕西高考理科·20）如图，椭圆C： ()求椭圆C的方程； ()设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（2）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论【规范解答】（）由知a2+b2=7, 由 又， 由 解得故椭圆C的方程为（）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设存在直线l使成立，（）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得来源:学因为由求根公式得： 将代入上式并化简得（）当l与x轴垂直时，满足的直线l的方程为，4.（2010·海南高考理科·T20）设分别是椭圆E:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E 相交于两点，且,成等差数列.（)求E的离心率；（）设点P（0,-1）满足,求E的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆