引导学生从错误中悟错

1、引导学生从错误中悟错根据桑代克的试误说， 尝试与错误是学习的基本形式， 学习 是一种尝试错误的过程， 在尝试过程中错误反应逐渐减少， 正确 反应逐渐增加， 最终形成了刺激与反应之间的联结。 而数学学习 与尝试错误有着密切的联系，其实考试、讲评、纠错等环节往往 是学生经历尝试一错误一尝试的思维过程。在上试卷评讲课时，如何把学生的错误转化为他们学习的有效资源呢？对此， 笔 者谈谈自己的一点思考和认识。一、整合“错误”，注重归纳的合理性 正如数学家波里亚说的那样： “人们总认为数学只是一门系 统的演绎科学， 但往往忽略了它形成过程中的特点又是一门 实验性很强的归纳科学。 ”要备好一堂优秀的试卷讲评课

2、， 必须 课前要做好充分的准备工作， 特别是在批考卷的时候， 旁边最好 放一张空白卷，对批改时发现的错误，甚至每题错误人数，以及 典型错误或较好解法都及时记下来， 并按数学知识间存在的内在 规律或一定的思想方法加以合理归纳与类比。1. 考情归纳。 及时将测验的总体情况进行科学准确的统计与 归纳，目的是为了做到对成绩、试卷、学生心中有数。除了统计 “一分两率”、最高分、最低分、优秀学生、进步学生、退步学 生之外，还要统计每题得分率，要特别关注得分率较低的试题， 对其认真分析，及时发现教学中的漏洞或是薄弱环节。2. 错题分析。一张试卷分析下来，基本上每题都有学生错， 在讲解前， 为了使讲评更具有效

3、性， 通常可以将试卷内容按错误 情况进行归类，如可分为：第一类，无错或很少出错的试题。这 类题型大多数是基础题， 学生可以自行检查订正， 教师通常不讲， 如果学生实在无法解决，可以课后请教老师、同桌或是课代表； 第二类， 部分学生有差错的试题。 这类题目大多数是由教材知识 衍生而来，教师视情而定，可以同学间交叉讲解或是小组交流； 第三类，绝大多数同学有差错的试题。这类试题的迷惑性、综合 性往往较强， 是学生之间不易解决的题目， 也是课堂讲解的重中 之重。另外，每次阅卷都会发现学生在答题过程中的“常见病” 和“多发病”， 教师应综合归纳出共同存在的问题， 定下几道较 为典型的错例做案头分析， 多

4、问几个“为什么学生会在这道题上 犯错误？”从而找出学生在思考能力上存在的缺陷和思维方法 上存在的偏颇，在试卷分析课上加以弥补。3. 错因归纳。 一份试卷讲评目的， 其实是为了让学生自己真 正查到阶段学习认知的“病情”， 找到“病源”， 然后自己“开 方抓药”，争取做到“药到病除”。所以，要引导学生全面深刻 地认识试卷中出现的错误， 善于帮学生将错误及错因进行合乎逻 辑的分类，真正引导学生从“纠错”走向“究错”， 如在函数 复习的测试讲评时， 不妨尝试设计“考试错题分析表”与“反思 评价表”：考试错题分析表（课前完成）二、改变“错误”，凸现变式的拓展性 依据皮亚杰的认知发展理论，个体对感受的刺激

5、（如题海） 只是大量地把它们填入头脑中原有的认知图式之内（称为“同 化”），其思维方式是陈旧的，思考水平也是较低的，他们缺乏 的是对所获得的信息进行能动的组织与建构（称为“顺应”）， 难以达到高一级的平衡（即思考水平的高层次）。如果只是把频繁的试卷分析课看成是学生学习过程的重演 和强化，缺少或根本忽略学生头脑中认知图式的激活与认知的重 组，那么“题海”便无法解脱。 发散性思维是人们根据研究对象 所提供的信息， 沿着不同方向去思考， 对信息和条件加以重新组 合，探求多种解决方案或触类旁通的思维方式。在数学试卷讲评的课堂教学中，教师要善于剖析学生错误， 借题发挥，将其进行多角度、多层次的变换，引导

6、学生挖掘知识 错误的内涵，从而弄清知识点，揭示生长点，找准连接点，提醒 注意点，以便逐渐形成对错误题型的不同形式的常规解决思路。1. 对错题的解题思路和方法进行发散“一题多解”。 讲 评时应启发学生敢于正视自己的错题，如何从不同角度进行思 考，提出不同思路，在达到共识的同时发展求异思维。除了指出 常规解法外， 还应给予学生解题技巧指导。 在试卷分析课上可将 不同的解法展示在学生面前， 从中来比较和剔选最优方法， 使学 生感到仅会做题是远远不够的，而是要巧做题、做活题。而要做 到这两点，只有不断地优化思考方法和思考路径。另外，为了发 挥一题多解的作用， 教师除了自我寻找多种解法外， 还应注意提

7、取来自学生中的巧妙灵活的解法， 特别要能激发那些“尖子”学 生的探索兴趣，还可以幽默的把他们的解法称为“某某解法”。 在展示一题多解时， 切忌只是多种解法的对比， 总结不同解法的 特点，比较不同解法操作程序的差异，从而提示最佳解法，更有 助于培养学生的发散思维和创新意识。如在圆知识测试中，有一道试题：已知如图， ABC中, AC=BC以BC为直径的00交AB于点D,过点D作DEI AC于点 E,交BC的延长线于点F。求证：( 1)AD=BD；(2) DF是00的切线。对于此题，学生证法多样，讲评时可以借助实物投影，展示 学生思维作品：解：( 1)证法一：连结 CDv BC是00的直径，二CDL

8、ABv AC=BC. AD=BD证法二：连结 ODv AC=BC./ B=Z AvOB=OD / B=Z D/ A=Z D/. OD/ACv OB=OCAD=BD( 2)证法一：连结 ODv AD=BD OB=OC OD/ACv DEL AC /. DFL OD DF是OO的切线。证法二：连结 ODv OB=OD / BDOMBv AC=BDZ B=Z AD 广 BDOM Av DEL AC/ A+Z ADE=900d/ BDOZ ADE=900. Z ODF=900d DF是OO的切线。这类题，可以给学生较大的思维空间， 使学生从不同的角度 分析问题，教师在讲解时，引导学生开阔思路，诱导学生

9、积极思 维，要求学生不能仅满足于一种证法， 激励他们进一步思考其他 证法，并将各种证法进行类比，通过讨论与交流，从中鉴别最简 捷的方法，同时也开阔了他们的思维。2. 对错题的条件或结论进行发散一一“一题多变”。讲评 时，可通过改变或添加试题的条件或结论， 由浅入深、由易到难， 层层递进， 既满足不同层次学生的不同需要， 又使学生加深对同 类题型的深入了解， 归纳出知识的系统性和规律性并在此基础上 拓宽、延展，使学生的思考水平获得更长足的发展。如中考复习考试中常出现的题目：“已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0,贝U a='，很多学生忽 视 a 不等于 0 的条件

10、， 其实是学生对数学本质了解不够严密， 故 可设计发散性练习，并把这类错误归结为“与 0 有关的认知模 糊”：(1)已知关于X的方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0,贝U a = 已知二次函数 y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a =(3) 已知函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则 a=(4) 已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则 a=另外，学生很容易在形似质异的试题上失分， 这种试题数学 情景貌似相同， 但数学过程本质大相径庭。 对于这类试题要类比 评讲，指导学生透过表面现象看内在本质，注意比较异同，防止 思维定势产生的负迁移。 必须指出， 形似质异的试题通常仅异

11、在 数言片语之中，稍有不慎，便会陷入误区。因此，必须提醒学生 细心审题，以防出错。如在分式方程测验中，学生把去分母与通分两者混淆， 因而要在讲评时，帮助学生弄清两者的不同，可设计对比练习， 避免产生混乱与错误。三、针对“错误”，提高讲练的有效性 目前，数学教学评讲课中往往出现试卷由老师一讲到底， 形 成教师讲、学生听的局面。这样做，不仅老师讲得累，学生也不 轻松，效果还很差。另外，也不要把试卷评讲课上成了一堂批评 课，让学生有一种“负罪感”、“自卑感”而失去学习的信心。实际上， 试卷评讲课和其他课一样， 还是应该始终坚持以学生为 主体，要给学生表达思维过程的机会和科学有效的练习时间。情境总是变

12、换不息的， 由于思维定势而造成的解答错误， 学 生是否会在教师的讲评之后就“烟消云散”呢？一般而言， 拥有 这种“化腐朽为神奇”、 “立竿见影”之法的学生非常少见。 比 较实在而又比较理想的做法是“跟踪训练， 强化四练”。 特别要 根据学生暴露的问题辅以有效的“四练”。 第一，“练”是教师 与学生的双边活动形式，讲练结合，边讲边练，练中有讲，讲中 有练；第二，“练”是分层练习，根据学生数学水平的高、中、 低层次不同， 分层指导，分别要求，力争使各类学生的课堂练习， 切合他们知识认知的“最近发展区”， 通过练习在原有的基础上 各有所获，均有提高；第三，“练”是学生独立思考练习与相互 合作讨论练习

13、相结合。以独立练习为主，适当穿插小组讨论、合 作练习，活跃课堂气氛，相互启迪思维，力求达到培养团队精神 和共同提高等多重目的；第四，“练”是针对一些典型错误，教 师可从技巧、技能、思想、方法等角度编制一些课后“补偿练 习”，使学生从各个角度来加深对该问题的理解和掌握。如在一次三角形知识测验之后， 对于题目“在等腰三 角形中，有两边分别长 3cm和5cm则其周长是cm，很多学生漏了答案。针对这个典型错误，“四练”可设计为： 第一“练”是师生共同回忆等腰三角形性质及简单情况分类即可；第二“练”是设计分层的变式练习：1. 在等腰三角形中，有两边分别长3cm和5cm则第三边长cm2. 在三角形中，有两

14、边分别长 3cm和5cm则第三边长范围是3. 在等腰三角形中，有两边分别长3cm和6cm则第三边长cm第三“练”是引导学生思考或小组讨论：在等腰三角形中， 有两边分别为acm和bcm （其中a v b）,当第三边长只有唯一答 案时， a 和 b 满足什么关系？第四“练”是根据知识间关系可设计与角有关的课后“补 偿练习”：300，则另两个角分别等于1000，则另两个角分别等于X0,当另两个角度数只有唯1. 在等腰三角形中，有一角为度2. 在等腰三角形中，有一角为度3. 在等腰三角形中，有一角为一答案时，则X满足什么关系？另两个角度数有两个答案时，则X又满足什么关系?四、纠正“错误”，领悟思想方法

15、的“正迁移”性心理学家布鲁纳认为， “不论我们选教什么学科， 务必使学生理解该学科的基本结构。 ”所谓基本结构就是指“基本的、 统 一的观点，或者是一般的、基本的原理。”数学思想与方法为数 学学科的一般原理的重要组成部分。众所周知， 掌握数学中的思想方法是学好数学的核心，是数学解题的钥匙。数学命题除了着重考查基础知识外， 还十分重视对数学方法 和数学思想的考查， 而数学思想方法属于逻辑思维的范畴， 学生 对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般， 从具体到抽象， 从 感性到理性，从低级到高级”的认识过程。所以，对试卷中学生 不易理解或尚未理解深透的知识， 教师讲评时要注意着重渗透相 关数学思想与

16、解题方法， 在比较丰富的感性认识的基础上， 然后 逐渐概括上升成理性认识，通过螺旋上升，最终转化为学生的 “可持续发展”学习策略， 也就是通过试卷讲评， 努力使数学思 想方法得到“正迁移”效应。每一次函数知识测验后， 都会发现学生“数形结合”思想运 用能力欠缺，在解决“已知二次函数 y=ax2+bx+a2-1 图像如图， 则 a=”时，结合图形得到“图像经过原点”的条件，再转化成“把x=0, y=0代入解析式计算”，计算出 a=+1或-1，此 时若数形结合能力不强，往往就前功尽弃，忽视了根据图形中 “开口向下”条件进行正确取舍。又如，已知二次函数 y=ax2+bx+c 中 x 与 y 的对应关

17、系如下 表所示：则该函数的对称轴是 _，当 x=_时，它有最 _值 ，当 x=4 时 y=在讲评这种题型时， 应让学生了解初中代数中的一元一次不 等式与一次函数图像的关系问题。 一元二次方程的根与二次函数 图形与 x 轴交点之间的关系， 是今后常考内容之一， 在学习中应 从整体上理解这部分内容， 从结构上把握教材， 达到熟练地将这 两部分知识相互转化。另外，一堂讲评课的结束并不是试卷讲评的终结， 课后必须 根据讲评课反馈的情况进行矫正补偿， 这是讲评课的延伸， 也是 保证讲评课教学效果的必要环节。 教师应要求学生将答错的题全 部用红笔订正在试卷上， 并把自己在考试中出现的典型错误的试 题收集在“错题集”中， 作好答错原因的分析说明， 给出相应的 正确解答。订正后的试卷不能一扔了之，也不能由学生保管，教 师应把订正后的试卷收齐，仔细检查，并妥善保管，这样不但可 以检查督促学生及时订正试卷， 了解学生订正情况， 而且每次的 试卷还不会遗失。待到复习时，教师再把试卷发给学生，让学生 重做红笔订正的题目，使学生的复习更具有针对性、实效性。而 且教师还应利用学生的思维， 扩大“战果”， 有针对性布置一定