任意角的三角函数

1、2022年3月7日星期一1人民教育出版社人民教育出版社A A版数学必修版数学必修4 4第一章第二节第一课时第一章第二节第一课时 任意角是一条射线绕端点任意角是一条射线绕端点O旋转生成的旋转生成的.在旋在旋转过程中，终边上的点都绕转过程中，终边上的点都绕O点作着圆周运动点作着圆周运动. 创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高问题问题1：任意角是怎样生成的？：任意角是怎样生成的？问题问题2：圆周运动体现了客观世界圆周运动体现了客观世界“周而复始周而复始”的变的变化规律，那么用什么函数刻画这种化规律，那么用什么函数刻画这种“周而复始周而复始”的变的变化规律呢

2、？化规律呢？创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高问题问题3：初中学习过锐角三角函数，你还记得它们的：初中学习过锐角三角函数，你还记得它们的定义吗？定义吗？MPOPOMOPMPOMMPO创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高sincostan问题问题3：初中学习过锐角三角函数，你还记得它们的：初中学习过锐角三角函数，你还记得它们的定义吗？你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐定义吗？你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？标来表示锐角三角函数吗？( , )P x y22rOPxy=yr=xry

3、xyxOMrsinMPOPcosOMOPtanMPOM创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高xy(2)对于锐角对于锐角 的每一个确定的值的每一个确定的值 ，比值，比值 都都是确定的吗是确定的吗？xyrxry,(1)当锐角当锐角 变化时，比值变化时，比值 会改变吗？会改变吗？ xyrxry,问题问题4：比值比值 是锐角是锐角 的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？xyrxry,sinyrcosxrtanyx锐角创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高问题问题5：既然当锐角确定后，三角函数值与点既然当锐角确定后，三角函

4、数值与点P在终在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的定义更简单？使三角函数的定义更简单？ yxO( , )P x y1r sinyrcosxrtanyx锐角单位圆：单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆度为半径的圆称为单位圆.sinycosxtanyx锐角(1,0)A创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高r问题问题6：若将锐角若将锐角 换为任意角，那么换为任意角，那么 还是还是 的函数吗？的函数吗？ yyxx、 、创

5、设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高任意角的三角函数：任意角的三角函数：如图，设如图，设 是一个任意角，它的是一个任意角，它的终边与单位圆交于点终边与单位圆交于点 ，那么：，那么：( , )P x y(1)纵坐标纵坐标 叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ；ysinsin=y(2)横坐标横坐标 叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 ；xcoscos=x(3)纵坐标与横坐标的比值纵坐标与横坐标的比值 叫做叫做 的正切，的正切，yx记作记作 ，即，即 .tantan =(0)yxx(1,0)AyxO( , )P x y 正弦，余弦，正切都

6、是以正弦，余弦，正切都是以角（实数）角（实数）为自变量为自变量，以，以单位单位圆圆上点的上点的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为为函数值的函数，我们将它们统函数值的函数，我们将它们统称为称为三角函数三角函数. .创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高ysin:的正弦xcos:的余弦xytan:的正切y正弦余弦x正切xyyxO( , )P x y(1,0)A问题问题7：根据任意角的三角函数定义，确定它们在弧度：根据任意角的三角函数定义，确定它们在弧度制下的定义域制下的定义域.三角函数三角函数定义域定义域)(2ZkkRsin=ycos=xtan=(0)yx

7、xR创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高问题问题8：你能比较锐角三角函数与任意角三角函数概：你能比较锐角三角函数与任意角三角函数概念的异同吗？念的异同吗？创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高sinMPOPcosOMOPtanMPOMMPOyxO( , )P x y(1,0)Asinycosxtanyx锐角三角函数锐角三角函数 任意角的三角函数任意角的三角函数yxO例例1 求 的正弦、余弦和正切值.53BAP53解：在直角坐标系中，作53AOP作 轴，在 中，PBxRt OBP3BOP，13,22OBPB故

8、的终边与单位圆的交点AOP53515sin,cos,tan3.32323 ,2167sin73cos,62 3367tan练练1 将例1中的 改为 呢？765313(,)22P坐标为创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高 抢答：抢答： 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值.13(,)22P小结：小结：利用定义求三角函数值利用定义求三角函数值 ，关键是求出角的终，关键是求出角的终边与单位圆交点的坐标边与单位圆交点的坐标.特殊角的三角函数特殊角的三角函数:sincostan00101010角度角 的弧度数0010132123322221323

9、1206030459018027036006342322不存在不存在不存在不存在设角设角 的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 ，解：由已知得解：由已知得220( 3)( 4)5OP 分别过点分别过点 作作 轴的垂线轴的垂线0PP、x0 0MPM P、P),(yx 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值.0( 3, 4)P yxO练练2 ( , )P x y0( 3, 4)P 0MM0000,OPOMMPOPOMM P1534OMMP即34,.55xy 所以，所以，434sin,cos,tan.553yyxx创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作

10、业拓展提高OMP00POM34,.55OMMP得 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值.0( 3, 4)P yxO练练2 ( , )P x y问题问题9：你能利用角的终边上任意一点的坐标来你能利用角的终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数吗？定义任意角的三角函数吗？ 一般地，设角一般地，设角 终边上任意一点的坐标为终边上任意一点的坐标为 ，它与原点的距离为它与原点的距离为 ，则，则( , )x yrsin, cos, tan.yxyrrx22()rxy4sin53cos54tan3 45yr35xr43yx0( , )P x y3x 4y 5r 创设情境引入新课类比概括形成概

11、念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高135122222yxr135sinry1312cosrx125tanxy于是于是，练习：练习： 已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：sin1.根据任意角的三角函数定义，确定三根据任意角的三角函数定义，确定三角函数值在各象限的符号角函数值在各象限的符号.xyxyyxOyxOyxOcostan+创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高全为全为+sincostan一全一全二正弦二正弦三切三切四余弦四余弦三角函数值的符号三角

12、函数值的符号: sin tan cosxyo xyo xyoxyo规律规律:当角当角 满足不等式组满足不等式组 时，时，角角 为第为第 象限角象限角. 例例2 sin0tan0sin0解：tan0或 轴的负半轴上;y角 的终边可能位于第三或第四象限，角 的终边可能位于第一或第三象限.角 的终边只能位于第三象限.即角 为第三象限的角.不求值，判断下列三角函数值的符号不求值，判断下列三角函数值的符号. (1) cos250 (2)sin() (3) tan3(4) tan( 672 ).4练练3 0创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高三三创设情境引入新课

13、类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高oxy的的终终边边 ),(yxPrMxy终边相同的角与360kxykrxkryk)360tan()360cos()360sin(由三角函数的定义有 cos sin tan 结论结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等终边相同的角的同一三角函数的值相等.2.根据根据三角函数的定义，终边相同的角三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？的同一三角函数值有什么关系？ 创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高三角函数的诱导公式一三角函数的诱导公式一:的角）。之间找出与它终边相同到（方法

14、在的角的同一三角函数值到化为正切函数值，余弦正弦作用：可以把任意角的000036003600,tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中Zk 求下列三角函数值：求下列三角函数值： 780sin9cos4)611tan(（1）；（；（2）；（；（3）224cos)24cos(49cos（2）336tan6tan)26tan()611tan(（3）解：（解：（1） )360260sin(780sin60sin23例例3 小结：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求小结：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求到到02)3600(到或角的三角函数值角的三角函数值. .tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中Zk 创设情境引入新课类比概括形成概念典例精析巩固概念合作探究深化概念小结作业拓展提高小结小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？通过本节课的学习，你有哪些收获？作业作业： (