三者容斥问题3个公式

1、三者容斥问题3 个公式三集合容斥问题是公考中的常客，主要通过公式法和画图法解决，而公式法是最常用的方法，可是好多考生公式记得特别溜，做题时却不知用哪个好。如何用1秒的时间快速准确挑选出公式呢？这是我们必须要具备的能力，今天我们一起来习得。首先，何时能用公式解决三集合容斥问题？题目中没有“只”，即题目中没有出现只满足一个条件的表述。其次，三集合容斥常用的三个公式是什么？（ 1）标准型： A+B+C-AB-AC-BC+ABC= 总- 都不的（ 2）拓展 1： A+B+C- 同时满足两项的 -2ABC= 总- 都不的（ 3）拓展 2： A+B+C- 满足两项以上的 -ABC= 总 - 都不的再次，如

2、何 1 秒挑选三集合容斥公式？三个公式中，差别最明显的是关于两项的描述。若题目给出“满足 AB、满足 AC 、满足 BC”的排比式描述，应用标准型公式；若题目给出同时满足两项的描述，则用拓展 1 公式；若题目给出满足两项以上的描述，则用拓展2 公式。其他的条件在选公式的时候， 一点也没用， 直接找题目中关于两项的描述即可，选公式1 秒足已。最后，如何快速解呢？大部分题目，尾数不同，用尾数法。来来来，上菜了。【例 1 】有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析， 结果显示，抗氧化剂达标的有 68 种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59 种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有 54 种，防腐

3、剂和漂白剂都达标的有 43 种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有 35 种，三种食品添加剂都达标的有 30 种，那么三种食品添加剂都不达标的有（ ）种。A.14B.15C.18D.17【秒选公式】题目中出现“抗氧化剂和防腐剂都达标的有54 种，防腐剂和漂白剂都达标的有 43 种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35 种”这种排比式的满足两项的描述，选标准型。【答案】 C【解析】本题考查三集合容斥。 设三种食品添加剂都不达标的有x 种，代入三集合容斥原理标准公式可得：68+77+59-54-43-35+30=120-x，解得 x=18 （尾数为 8 ）。故本题答案为C 选项。【例 2 】一旅行团共有50 位

4、游客到某地旅游，去A 景点的游客有 35 位，去 B景点的游客有 32 位，去 C 景点的游客有 27 位，去 A 、B 景点的游客有 20 位，去 B、C 景点的游客有 15 位，三个景点都去的游客有 8 位，有 2 位游客去完一个景点后先行离团，还有 1 位游客三个景点都没去。那么， 50 位游客中有多少位恰好去了两个景点？（ ）A.29B.31C.35D.37【秒选公式】题目中告诉了好多条件，如何选择公式呢？题目中问“中有多少位恰好去了两个景点”，即同时满足两项的个数，选拓展50 位游客1 公式。【答案】A【解析】本题考查三集合容斥。 设有 x 位游客恰好去了两个景点。由三集合容斥原理公

5、式可得： 35+32+27-x-2×8=50-1 ，尾数法可得 x 尾数为 9。故本题答案为A选项。【例 3 】某通讯公司对3542 个上网客户的上网方式进行调查，其中1258 个客户使用手机上网， 1852 个客户使用有线网络上网，932 个客户使用无线网络上网。如果使用不止一种上网方式的有352 个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个 ?（ ）A.148B.248C.350D.500【秒选公式】题目已知“如果使用不止一种上网方式的有352 个客户”，等价于“使用 2 种及以上上网方式的有352 个客户”，即满足两项以上的个数，选拓展 2 公式。【答案】 A【解析】本题考查三

6、集合容斥。 设三种上网方式都使用的客户有x 个，代入三集合容斥拓展 2 公式， 1258+1852+932-352-x=3542，解得 x=148 。故本题答案为 A 选项。相信大家已经学会了如何1 秒选公式了，接下来，试试身手如何。【练习 1】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中， 参加合唱活动有189 人，参加象棋活动有 152 人，参加羽毛球活动有135 人，参加两种活动的有130 人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44 人。该单位的职工人数为（）人。A.233B.252C.321D.520【秒选公式】题目中已知“参加两种活

7、动的有数，应选拓展 1 公式。130 人”，即同时满足2 项的个【答案】B【解析】本题考查三集合容斥原理。代入三集合容斥原理拓展189+152+135-130-69×2= 总数 -44 ，尾数法可知总数尾数为1 公式，2 。故本题答案为B 选项。【练习 2】工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17 人，参加钳工培训的有 16 人，参加铸工培训的有14 人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的 2/3 ，三项培训都参加的有2 人，问总共有多少人参加了培训？（）A.24B.27C.30D.33【秒选公式】题目中已知 “参加两项及以上培训的人” ，即满足两项以上的描述，应选拓展 2 公式。【答案】B【解析】本题考查三集合容斥。设参加培训的总人数为 x，代入三集合容斥原理拓展 2 公式， 17+16+14-2x/3-2=x ，得 x=27 。故本题答案为 B 选项。【练习 3】针对 100 名旅游爱好者进行调查发现，28 人喜欢泰山， 30 人喜欢华山，42 人喜欢黄山， 8 人既喜欢黄山又喜欢华山， 10 人既喜欢泰山又喜欢黄山，5 人既喜欢华山又喜欢泰山，3 人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。A.20B.18C.17D.15【秒选公式】题目中出现“8 人既喜欢黄山又喜欢华山，10 人既喜欢泰山又喜欢黄山， 5