202X届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.7函数模型和函数的综合应用课件

1、2.7函数模型和函数的综合应用高考数学高考数学 (北京专用)A A组自主命题组自主命题北京卷题组北京卷题组五年高考1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案答案D对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过

2、5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80110=8(升),则C错;对于选项D:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.思路分析思路分析 先认真审题,对燃油效率的定义要有清楚的认识,然后通过图象中的信息,依次对选项进行判断.2.(2015北京文,8,5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指

3、汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升 D.12升加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600答案答案B根据题意可知5月1日至5月15日这段时间的行程为35 600-35 000=600千米,耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为48(100600)=8升.3.(2019北京文,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行

4、促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .答案答案13015解析解析本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数学知识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生活与学习的密切联系.x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.设每笔订单金额为m元,则只需考虑m120时的情况.

5、根据题意得(m-x)80%m70%,所以x,而m120,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x,而=15,x15.所以x的最大值为15.8mmin8mmin8m解题关键解题关键 正确理解“每笔订单得到的金额”与“促销前总价的七折”是解题关键.4.(2010北京,14,5分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f(x),则f(x)的最小正周期为 ;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 .说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心

6、顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动. 答案答案4;+1解析解析由题意知正方形分别以A、B、C、P为旋转点滚动一次,P点轨迹重复出现,P点轨迹如图所示,故f(x)的最小正周期为4.y=f(x)在其两个相邻零点间的图形与x轴所围区域如图阴影部分所示.图形由两个半径为1的圆及两个边长为1的正方形和一个半径为的弓形组成,其面积S=212+2+()2-21=+2+-1=+1.142141421222命题立意命题立意 本题考查了周期的定义及不规则图形的求解,分割法是求解此题的关键.考查了学生分析问题、解决问题的能力.B B组统

7、一命题组统一命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一函数的实际应用考点一函数的实际应用1.(2019课标全国理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:+=(R+r).设=.由于的值很小,因此在近似计算中3

8、3,则r的近似值为()A.R B.R C.R D.R12()MRr22Mr13MRrR345233(1)21MM212MM2313MM2313MM答案答案D将r=R代入方程可得+=(1+),即+=(1+)M1,=,即=,33,r=RR.故选D.12()MRR222M R12MR12(1)M22M2322(33 )(1)21MM21MM543233(1)21MM2313MM2313MM解后反思解后反思 题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题的实质,进而转化成数学运算问题.平时一定要注重培养良好的解题习惯.2.(2015四川,8,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)

9、满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是()A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时答案答案C由已知得192=eb,48=e22k+b=e22keb,将代入得e22k=,则e11k=,当x=33时,y=e33k+b=e33keb=192=24,所以该食品在33 的保鲜时间是24小时.故选C.14123123.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问

10、鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x= ,y= .100,153100,3xyzxyz答案答案8;11解析解析把z=81代入方程组,化简得解得x=8,y=11.19,5373,xyxy考点二函数的综合应用考点二函数的综合应用1.(2019课标全国文,12,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+)单调递减,则()A. f f()f()B. f f()f()C. f()f()f D. f()f()f 31log432223231log423232232223231log423232231log4答案答案C本题主要考查函数的奇偶性、单调性,对数

11、与对数函数、指数与指数函数等知识,体现了数学运算的核心素养.f(x)是定义域为R的偶函数,f(-x)=f(x),f=f(-log34)=f(log34).log34log33=1,且10,log340.f(x)在(0,+)上单调递减,f()f()f(log34)=f.故选C.31log423232223232232223231log4难点突破难点突破 同底指数幂比较大小,利用指数函数的单调性判断;指数幂与对数比较大小,可考虑引入中间值,如0,1等.2.(2019课标全国理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时, f(x)=x(x-1).若对任意

12、x(-,m,都有f(x)-,则m的取值范围是()A. B.C. D. 899,47,35,28,3答案答案B本题考查了函数图象的应用以及不等式恒成立;考查数形结合思想的应用;以函数间的递推关系为背景考查逻辑推理及数据分析的核心素养.由题意可知,当x(0,1时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=时, f(x)min=-,且当x=时, f(x)=-.当x(1,2时,x-1(0,1,则f(x)=2f(x-1).当x(-1,0时,x+1(0,1,则 f(x)=f(x+1).若x(1,2,则当x=时, f(x)min=-,且x=时, f(x)=-.同理,若x(2,3,则当x=时, f(x)min

13、=-1,且x=时, f(x)=-.函数f(x)的大致图象如图所示.121413291232124349527389f(x)-对任意x(-,m恒成立,当x(-,m时, f(x)min-,由图可知m.故选B.898973思路分析思路分析 由x(-,m时,f(x)-恒成立,可知f(x)min-.由递推关系可作出y=f(x)的大致图象.由图可得m的范围.8989疑难突破疑难突破 由x(0,1, f(x)=x(x-1),结合递推关系f(x+1)=2f(x)得出xR时,y=f(x)的图象是本题的难点.3.(2019天津理,8,5分)已知aR.设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立,则a的取

14、值范围为()A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e222 ,1,ln ,1.xaxa xxax x答案答案C本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想.(1)当x1时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,若a1,则f(x)在(-,1上是减函数,所以f(x)f(1)=10恒成立;若a1,则f(x)f(a)=2a-a2,要使f(x)0在(-,1上恒成立,只需2a-a20,得0a2,0a1,综合可知,a0时, f(x)0在(-,1上恒成立.(2)当x1时,ln x0,

15、f(x)=x-aln x0恒成立,即a恒成立.令g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x=e,当x(1,e)时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)min=g(e)=e,ae.综合(1)(2)可知,a的取值范围是0ae,故选C.lnxxlnxx2ln1(ln )xx解后反思解后反思 求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)a在R上恒成立f(x)mina, f(x)a在R上恒成立f(x)maxa;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围.4.(2018课标全国,12,5分)设函数f(x)=则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是(

16、)A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0)2 ,0,1,0,xxx答案答案D本题主要考查分段函数及不等式的解法.函数f(x)=的图象如图所示:由f(x+1)f(2x)得得x0,故选D.2 ,0,1,0 xxx20,21,xxx0,1.xx解题关键解题关键解本题的关键是利用数形结合思想,准确画出图象,利用图象的直观性来求解,这样可避免分类讨论.5.(2017课标全国,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对

17、称答案答案C解法一: f(x)的定义域为(0,2).由于f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(2x-x2),从而对f(x)的研究可转化为对二次函数g(x)=2x-x2(x(0,2)的研究.因为g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,直线x=1是y=g(x)的图象的对称轴.从而排除A,B,D,故选C.解法二:由于f(2-x)=ln(2-x)+ln x,即f(x)=f(2-x),故可得y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故选C.解法三:由于f(1)=0, f=lnf(1),故f(x)在(0,2)上不是单调递增的,从而排除选项A.又

18、因为f=ln0;对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n0;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).1212( )()f xf xxx1212( )()g xg xxx答案答案解析解析f(x)=2x是增函数,对任意不相等的实数x1,x2,都有 0,即m0,成立.由g(x)=x2+ax的图象可知,当x时,g(x)是减函数,当不相等的实数x1、x2时,0,即n2x+a,此时h(x)在R上是增函数.若h(x1)=h(x2),则x1=x2,不成立.若m=-n,则有=-,f(x1)+g

19、(x1)=f(x2)+g(x2),令(x)=f(x)+g(x),则(x)=2x+x2+ax,(x)=2xln 2+2x+a.令(x)=0,得2xln 2+2x+a=0,即2xln 2=-2x-a.由y1=2xln 2与y2=-2x-a的图象可知,对任意的a,存在x0,使xx0时y1y2,xx0时y1x0时,(x)0,xx0时(x)0,因此x=-1,故选D.(1)(1)pq2.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所

20、示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.2axb(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得 2axb40,252.5,400abab解得(2)由(1)知,y=(5x20),则点P

21、的坐标为,1 000,0.ab21 000 x21 000, tt设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,易知y=-,则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)=,t5,20.设g(t)=t2+,则g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=10.当t(5,10)时,g(t)0,g(t)是增函数;从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,则f(t)min=15.当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.32 000 x21 000t32 000t3,02t23 0000,t22233 0002tt326244 10tt644 1

22、0t6516 10t2222323评析评析 本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.考点二函数的综合应用考点二函数的综合应用1.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=设aR,若关于x的不等式f(x)在R上恒成立,则a的取值范围是()A.-2,2 B.-2,2 C.-2,2 D.-2,2| 2,1,2,1.xxxxx2xa3333答案答案A令g(x)=,当a0时,如图1所示,若f(x)g(x)恒成立,则g(0)2,得a-2,-2a0;图1当a0,x1时,如图2所示, f(x)=x+,则f (x)=1-,由f (x)=,得x=2,此

23、时f(2)=3,2xa2x22x12即点B(2,3),则g(2)=+a3,得a2,0-2,aR)有最大值,则f(x)B.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)21xx 答案答案解析解析命题正确,强调f(x)的值域为R即可.命题错误,如y=sin xB,但它无最大值和最小值.命题正确,f(x)A,g(x)B,f(x)+g(x) B.命题正确,当a=0时, f(x)=.(i)当x=0时, f(x)=0;(ii)当x0时, f(x)=.当a=0时, f(x).若a0,则当x越来越大时,aln(x+2)+,此时f(x)无最大值;若a0,对任意a0,b0,若经过点(a, f(a),(b,-f(b)的

24、直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)2ab2abab答案答案(1)(2)xx解析解析答案不唯一.(1)若Mf(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a, f(a),(,0),(b,-f(b)共线,=,=,可取f(x)=.(2)若Mf(a,b)是a,b的调和平

25、均数,则c=,由题意知,(a, f(a),(b,-f(b)共线,=,化简得=,可取f(x)=x.abab( )0f aaab0( )f babb( )f aa( )f bbx2abab2,0abab( )2f aabaab( )2f babbab( )f aa( )f bb6.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(xR),对函数y=g(x)(xI),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(xI),y=h(x)满足:对任意xI,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于点(x, f(x)对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)g(x

26、)恒成立,则实数b的取值范围是 .24x答案答案(2,+)10解析解析函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0)是点(x0,h(x0)和点(x0,g(x0)连线的中点,又h(x)g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离且b0,即解之得b2.所以实数b的取值范围为(2,+). 24x24x220,|2,3( 1)bb 1010评析评析 本题考查新定义问题以及直线与圆的位置关系的应用.本题的易错点有两处:不能正确理解“对称函数”的定义,造成题目无法求解;

27、忽视h(x)g(x)的隐含条件:直线 f(x)=3x+b与半圆相离,且直线f(x)=3x+b在y轴上的截距b0.7.(2016浙江,18,15分)已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).,.p pqq pq解析解析(1)由于a3,故当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以

28、,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=20,322,42,22.aaaa(ii)当0 x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)= 348 ,34,2,4.aaa思路分析思路分析 (1)先分类讨论去掉绝

29、对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.评析评析 本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组考点一函数的实际应用考点一函数的实际应用1.(2019北京西城一模,7)团体购买公园门票,票价如下表:现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园,若按部门作为团体,选择两个不同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费为1 290元;若两个部门合在一起作为一

30、个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费为990元,那么这两个部门的人数之差为()A.20 B.30 C.35 D.40购票人上门票价格13元/人11元/人9元/人答案答案B假设市场部员工为x人,生产部员工为y人,不妨设yx,当市场部与生产部分别购票时,13x+11y=1 290元,当市场部与生产部一同购票时,9x+9y=990元,解得x=40,y=70,所以两部门人数之差为y-x=30人,故选B.2.(2019北京怀柔一模,7)某学习小组调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2

31、支玫瑰花所需费用为A元,购买3支康乃馨所需费用为B元,则A,B的大小关系是()A.AB B.ABC.A=B D.A,B的大小关系不确定答案答案A设购买1支玫瑰需要x元,购买1支康乃馨需要y元,由题意得且2x=A,3y=B,整理得x=,y=,将乘-2与相加,解得B6,将B8-中,解得A6,故AB,故选A.28,4522,xyxy2A3B8,35222,3BABA3B3.(2017北京平谷零模,8)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了5次涨停(每次上涨10%),又经历了5次跌停(每次下跌10%),则该股民购进的这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略

32、有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案答案B设该股民购进这支股票的价格为a元,则(1+10%)5(1-10%)5a=0.995a0.若x11,2,x21,2,使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则a= .答案答案 32解析解析因为x11,2,函数f(x)=x0,所以=1,即=1.化简得到x11,2,x21,2,使得(ax1-1)(ax2-1)=1成立.x11,2,显然ax1-10成立,否则(ax1-1)(ax2-1)=1不能恒成立.化简得到x11,2,x21,2,使得ax2-1=成立.构造函数M(x)=,则M(x)=0)在1,2上的值域为a-1,2a-1.11( )( )g xf x22()()g xf x2111axxx2222axxx111ax 11ax2(1)aax11ax11,211aa记A=,B=a-1,2a-1,要使x1