(完整版)数列的概念与简单表示法知识点

1、数列一、数列的概念与简单表示法1、数列的概念 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为a1, a2,an ,，或者简记为 an ，其中 an表示数列 an 的通项。注： 研究对象 : “数” ( 与集合相区别 ) 。 首项（第 1 项）：数列中的排在第 1 位的数。第 2 项 ：数列中的排在第 2 位的数。通项（第 n 项）：数列中的排在第n 位的数。 注意 an与 an 含义的区别：an：表示数列 an 中的第 n 项。an ：表示数列 a1, a2 , an,，简单记法。 数列的项性质：有序性：一个数列不仅与

2、构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。可重复性：数列中数可以重复出现。补充知识：集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。例： a 1 、2、3、4、5、6 和 6、 5、 4、 3、 2、 1 构成同一个结合，不同的数列b 1 、2、2、3、5、5 可以表示数列，但不能构成集合。 从函数的角度研究数列：对于任意一个数列 an ，其每一项与序号都有对应的关系，见下表：序号（项数 n）123n项a1a2a3an数列可以看作一个定义域为正整数集N * ( 或它的有限子集 1,2,3 ， ,n ) 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。注： 1、数列可以看作特殊的函数（离散型） ，其图

3、像是一系列孤立的点。2、函数不一定是数列。2、数列的表示方法 列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系例：数列 6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示序号（项数）123456项666666666666666666666 图像法：在平面直角坐标中， 数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（ n , an ）。 通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。3、数列的通项公式： 数列的第 n 项叫做数列的通项。 如果数列 an 的第 n 项 an与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。注：并不是所有的数列都可以用通项

4、公式表示例：小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9，2,6 精确到 1,0.1,0.01,0.001，的近似值组成的数列3,3.1 ，3.14,3.142 ， 只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公式不能唯一确定。例：数列 1,4,7,10 ，通项公式可以是 an3n2 , 也可以 an3n2n 1 n2 n3 n4 数列通项公式的表示方法不唯一。例：数列 -1 ，1,-1,1,-1 ，通项公式可以是 anncos( n) , 也可以是 an （-1）。4、数列的递推公式： 递推公式：如果已知数列 an 的第一项（或前几项），且任何一项 an 与它的前一项 an

5、1 （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 an f (an 1 ) 或 an f ( an 1 , an 2 ) ，那么这个式子叫做数列 an 的递推公式。 通项公式与递推公式异同点：相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。不同点：通项公式可以通过代入项数n 直接求出项 an。简单直接递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项 an。赋值繁琐所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。 （相应专题练习）5、数列的前 n 项和：nan 叫做数列 an 的前 n 项和，记作 Snak a1 a2k 1数列的通项 an与前 n 项和 Sn 的关系：Sna1a2anS(n

6、1)an1Sn Sn 1(n2)注：1、 an SnSn 1不是对一切正整数 n 都成立的，而是对于 n2的一切正整数恒成立，因为当 n 1时， an SnSn 1， S0 无意义。2 、由前 n 项和 Sn 求通项公式时，要分两种情况： n 1和 n2，然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当n 1时， a1 也适合 an 的表达式，则将两种情况统一合写。若不能，则需要采用分段形式来表示。n 1例： （1） Sn （ -1）* n ；（2） S2n2n ；n（3） Sn2n2n3 ；（4） Sn2n ；（5） S2n3 ；n6、数列的分类：分类标准名称含义举例项的个数有穷数列项数有限的数列1

7、,2,3 ， n无穷数列项数无限的数列1,4,9, , n2 , 项的变化趋势递增数列从第 2 项起，每一项3,4,5 ， n+2都大于它的前一项的数列递减数列从第 2 项起，每一项1,1,1,1都小于它的前一项的数列23n常数列各项相等的数列6,6,6, ,6摆动数列从第 2 项起，有些项1,-2,3,-4,大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7、数列的性质：单调性，周期性，有界性 单调性：递增数列：nN *， an 1> annN*an 1a递减数列：，< n摆动数列：有大有小常数列：nN * ， an 1 = an求数列的最大（小）项，一般先研究数列的单调性，anan 1n 2 , n N *anan 1n 2 , n N* 求解，可以用an 1或an 1anan也可以转换为函数的最值问题或利用数形结合求解。 周期性：n N * ，an k = an（k 为正整数），那么称数列 an 是以 k 为周期的周期函数。例： ansin (n) 、 ancos(n) 、 an( 1)n注意：an sinn，ancosn不是周期函数。 an c(c为常数 )递推公式（创新题型） ： an 1an - an