几种插值法的应用和比较论文(数学类)

1、几种插值法的应用与比拟 * 指导老师：*摘要 本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比拟，针对每个插值法，经过详细的论证和讨论，给出了每个插值法的优点和缺点.通过对数学插值法的研究、比拟及应用的讨论及总结，从而得出所讨论插值方法的各自优势，以方便用户选择适宜的插值法. 关键词 拉格朗日插值 重心拉格朗日插值 分段线性插值1 引言在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦.这就需要建立函数的某种近似表达

2、，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法.由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值.多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等.其根本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式.2 拉格朗日插值法在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命函数物理量进行观测，在假设干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，拉格朗日插值多项式.数学上英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德

3、83;欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作?师范学校数学根底教程?中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起.2.1 拉格朗日插值多项式图1平面上四个点：(9, 5), (4, 2), (1, 2), (7, 9)，拉格朗日多项式：黑色穿过所有点.而每个根本多项式：, 以及各穿过对应的一点，并在其它的三个点的值上取零.对于给定的假设个点,，对应于它们的次数不超过的拉格朗日多项式只有一个.如果计入次数更高的多项式，那么有无穷个，因为所有与相差的多项式都满足条件.对某个多项式函数，有给定的个取值点：,其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的都互不

4、相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：，其中每个为拉格朗日根本多项式或称插值基函数，其表达式为：，拉格朗日根本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点， 上取值为0.例假设有某个多项式函数，它在三个点上的取值为：· ，· ，· ，要求的值.首先写出每个拉格朗日根本多项式：；然后应用拉格朗日插值法，就可以得到的表达式为函数的插值函数：，此时数值就可以求出所需之值：.2.2 插值多项式的存在性与唯一性 存在性对于给定的个点：拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点取值为，而在其他点取值都是的多项式.这样，多项式在点取值为，而在其他点取值都是.而多项式就

5、可以满足，在其它点取值为的多项式容易找到，例如：，它在点取值为：.由于已经假定两两互不相同，因此上面的取值不等于.于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在取值为，而在其他点取值都是的多项式：，这就是拉格朗日根本多项式.唯一性次数不超过的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过的拉格朗日多项式：和，它们的差在所有个点上取值都是,因此必然是多项式的倍数.因此，如果这个差不等于，次数就一定不小于.但是是两个次数不超过的多项式之差，它的次数也不超过，所以也就是说.这样就证明了唯一性.2.3 几何性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日根本多项式由某一组 确定可以看做是由次数不超过的多项式所

6、组成的线性空间：的一组基底.首先，如果存在一组系数：使得，那么，一方面多项式是满足的拉格朗日插值多项式，另一方面是零多项式，所以取值永远是.所以，这证明了 是线性无关个多项式，恰好等于 构成了 的一组基底.拉格朗日根本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的都是次多项式.2.4 优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的根本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外，当插值点比拟多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也

7、就是说尽管在的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上龙格现象，解决的方法是分段用较低次数的插值多项式.3 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改良.在拉格朗日插值法中，运用多项式，图2拉格朗日插值法的数值稳定性：如图(2)，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差图中的14至15中间可以将拉格朗日根本多项式重新写为：，定义重心权，上面的表达式可以简化为：，于是拉格朗日插值多项式变为： ， 1即所谓的重心拉格朗日插值公式第一型或改良拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个都除以，就可以得到新的重心权，计算复杂度为，比

8、重新计算每个根本多项式所需要的复杂度降了一个量级.将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数插值，可以得到：，因为是一个多项式.因此，将除以后可得到：， 2这个公式被称为重心拉格朗日插值公式第二型或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了1式容易计算的特点，并且在代入值计算的时候不必计算多项式它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零.同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以到达极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小.4 分段线性插值对于分段线性插值，我们看一

9、下下面的情况.4.1 问题的重述 ,用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差.1.在-6，6中平均选取5个点作插值；2.在-6，6中平均选取11个点作插值；3.在-6，6中平均选取21个点作插值；4.在-6，6中平均选取41个点作插值.4.2 问题的分析.分析问题求解方法如下：1利用函数式计算取样点对应的函数值；将作为两个等长的向量，分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数，可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值此题采用3次多项式插值，3次样条插值法和分段线性插值.2分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间-6

10、，6，并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数的图象进行比照.4.3 问题的假设 为了解决上述分析所提到的问题，此题可以作出如下假设：1假设原函数仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量，叙用插值函数计算. 2为了得到理想的比照函数图象，假设为的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间-6，6，分别计算插值函数和标准函数在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行比照. 4.4 分段线性插值原理给定区间, 将其分割成，函数在这些插值结点的函数值为；求一个分段函数,使其满足： (1)

11、，； (2) 在每个区间上, 是个一次函数.易知,是个折线函数, 在每个区间上,于是, 在上是连续的，但其一阶导数是不连续的.于是即可得到如下分段线性插值函数：,其中 4.5 问题的求解在MATLAB中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令为interp1,其调用格式为: 1=interp1(,1，method)函数根据,的值，计算函数在1处的值.,Y是两个等长的向量，分别描述采样点和样本值，1是一个向量或标量，描述欲插值点，1是一个与1等长的插值结果.method是插值方法，包括：linear：分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线让选取

12、对应插值点的数.nearest：近点插值法.根据两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否那么取后点的值.cubic：3次多项式插值.根据数据求出一个3次多项式，然后根据多项式进行插值.spline：3次样条插值.在每个分段子区间内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab工具软件编写代码，并分别画出图形如下：(一)在-6，6中平均选取5个点作插值：二在-6，6中平均选取11个点作插值：三在-6，6中平均选取21个点作插值：四在-6，6中平均选取41个点作插值4.6

13、 插值方法的优劣性分析从以上比照函数图象可以看出，分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的阶导数存在且连续，那么称该曲线具有阶光滑性.一般情况下，阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而到达较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点：优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性，舍入误差影响不大，数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续)，从而

14、不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.结束语 插值法是函数逼近的一种重要方法，它是数值微分、微分方程数值解等数值的根底与工具.由于多项式具有形式简单，计算方便等许多优点，故本文主要介绍多项式插值，它是插值法中常用和最根本的方法.拉格朗日插值多项式的优点是表达式简单明确，形式对称，便于记忆.它的缺点是如果要想增加插值节点，公式必须整个改变，这就增加了计算工作量.由于高次插值多项式具有数值不稳定的缺点龙格插值，高次插值多项式的效果并非一定比低次插值好，所以当区间较大、节点较多时，常用分段低次插值，如分段线性插值和分段二次插值.由于分段插值是局部化的，即每个节点只影响

15、附近少数几个间距，从而带来了计算上的方便，可以步进地进行插值计算.同时也带来了内在的高度稳定性和较好的收敛性，因此它是计算机上常用的一种算法.分段插值的缺点是不能保证曲线在连接点处的光滑性.为了保证插值曲线在节点处不仅连接而且光滑，可用样条插值方法.三次样条插值法师最常用的方法，它是整个插值区间上可保证具有直到二阶导数的连续性.用它来求数值微分、微分方程数值解等，都能起到良好效果.参考文献1徐翠楼，数值计算方法，高等教育出版社，2002.2冯康等，数值计算方法，国防工业出版社，1978.3彭湘晖，几种常用插值方法比拟分析J，黑龙江水利科技，2021 136：6263.4李庆扬，王能超， 数值分

16、析M，武汉：华中科技大学出版社，2001.5吴才斌，插值方法J， 湖北大学成人教育学院学报，1999，5.6徐翠薇，孙绳武， 计算方法引论M，北京：高等教育出版社，2002.7Jiang Qin，common interpolation method and its application of Yunyang Teachers'College， 2006.Application and comparison of several interpolation methodAuthor:Cheng Shuangying Supervisor: Wang ZhihuaAbstract: This paper mainly introduces the application and comparison of several common interpolation methods.The advantages and disadvantages of each method are given after detailed argumentation and discussion.The respective advantages of interpolation methods are obtained based on researc