拉氏变换在电路分析中的应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第第十十 三三章章 拉拉氏氏变变换换在在电电路路分分析析中中的的应应用用重点：重点：1元件的复频域模型元件的复频域模型2拉氏变换及其在电路分析中的意义拉氏变换及其在电路分析中的意义3应用拉氏变换分析线性电路应用拉氏变换分析线性电路在第七章与第八章中，我们看到含有线性元件（RLC 等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程，而这类电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题。当微分方程的阶数大于 2 或者输入函数比较复杂时，方程的求解就变得比较复杂起来了。拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。通过拉氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代替相应

2、的时间函数，即可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程，从而大大简化电路方程的求解。13-1 有有关关知知识识的的复复习习13.1.1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义一、拉氏变换定义在区间内的函数，其拉氏变换的定义为)0，)(tf)(sF00)()(dtetfsFst其中为复频率，为的象函数，为的原函数。sjs)(sF)(tf)(tf)(sF二、拉氏反变换jcstjcdsesFjtf0)(21)(三、表示L ，L )()(sFtf)()(1tfsF注意：我们用大写的字母表示频域量，如、等，用小写字母表示时域量，如、。)(sU)(sI)(tu)(ti13.1.2 拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本

3、性质一、唯一性：原函数与象函数一一对应。)(tf)(sF二、线性性：，则：)()(11sFtf)()(22sFtf)()()()(22112211sFAsFAtfAtfA三、时域导数特性：L )0()()( fssFtf四、时域积分特性：L ssFdft/ )()(0五、卷积定理：L )()()()(2121sFsFtftf13.1.3 常用时间函数及其象函数常用时间函数及其象函数见书中 P294。一般在电路中不要求多余的计算技巧，只需要可以将最后结果化成表中所示的形式，然后通过查表得到结果。AtA )(sAtA )(sAAet精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业13.1.4 线性动态电

4、路方程的拉氏变换解法线性动态电路方程的拉氏变换解法以一个典型的二阶电路为例： ，800R200L1000C)()(ttusVuC1)0(mAi2)0( R uC(t) C + + - + iL(t) us (t) _ _ L i 该电路的电路方程为：)(55422tudtdudtudCCC其中且：，VuC1)0(ViCuC2)0(1)0( 两边同时拉氏变换：ssUussUususUsCCCCCC/5)(5)0()( 4)0( )0()(26/5)()54(2sssUssC)54(56)54(6/5)(222ssssssssssUC13.1.5 拉氏反变换的计算拉氏反变换的计算一般不再使用原始定

5、义式，而采用部分分式展开，然后查表的方法。电路响应往往为两个实系数的 s 的多项式之比。即，而在电路分析中，该式一般为真分)()()(sDsNsF式。 （如果计算式不为真分式，可以将其化成多项式与一个真分式的和）下面我们来看一看真分式的部分分式展开。一、当有 n 个不同的实根，时0)(sD1p1pnpnnpskpskpsksDsNsF2211)()()(其中：)()()(limsDsNpskipsii例题：已知：6554)(2ssssF求：)(tf32)3)(2(546554)(212sksksssssssF而：3)3(54)3)(2(54)2(221ssssssssk7)2(54)3)(2(

6、54)3(332ssssssssk因此：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3723)(sssF所以：tteetf3273)(二、当有 m 个重实根时0)(sDniiimmmpskpskpskpsksDsNsF2111211111)()()()()(其中：1)()()(111psmsDsNpsk1)()()( 112psmsDsNpsdsdk1)()()( 2112213psmsDsNpsdsdk1)()()( )!1(11111psmmmmsDsNpsdsdmk例题：已知：1216754)(23sssssF求：)(tf解：3)2(2)3()2(541216754)(221112223s

7、kskskssssssssF那么：3)3(54)3()2(54)2(222211ssssssssk 7)3(7)3()54(1)3(4)3()2(54)2(222222212sssssssssssdsdk7)2(54)3()2(54)3(3322ssssssssk因此： 37)2(327)(2ssssF所以：ttteteetf322737)(三、当有两个共轭的复根，时0)(sDjp1jp2)cos(|2)()()( 1121tekjskjsksFt其中：，jsjssDSNsFjsk)( )()()(1jsjssDSNsFjsk)( )()()(2而：，jsjssDSNsFjsk)( )()()

8、(111k精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例题：P297再以 13.1.4 中的例题为例：，即：，) 12() 12()54(56)(32122jskjskskssssssUC0sjjs12，1| )(01sCssUk*31222122158356)( )(kjsssssDsNkjsjsVtetetuttCsin21)901cos(121)(2213-2 应应用用拉拉氏氏变变换换分分析析线线性性电电路路13.2.1 元件的复频域模型元件的复频域模型运算电路运算电路各种基本元件的 VCR，即元件的电压象函数与电流象函数之间的关系。一、电阻因为：，两边同时取拉氏变换：L = L 。这样)

9、()(tiRtuRR)(tuR)(tiRR)()(sIRsURR即： iR(t) R IR(s) R + uR(t) - + UR(s) -二、电容因为：tCCCdttiCutu0)(1)0()(两边同时取拉氏变换：L = L )(tuCtCCdttiCu0)(1)0(这样：susIsCsUCCC)0()(1)(即：iC(t) C IC(s) 1/sC + uC(t) - + sCsIC)( - + su)0( -根据源变换的原则： + UC(s) - iC(t) C IC(s) 1/sC + - uC(t) CuC(0-)当电容的初始储能为零时：iC(t) C IC(s) sC1 + uC(

10、t) - + UC(s) -三、电感因为：dttdiLtuLL)()(两边同时取拉氏变换：L = L )(tuL)(dttdiLL这样 )0()()(LLLLisIsLsU即：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业iL(t) L IL(s) sL + uL(t) - + sLIL(s) - + LiL(0-) -根据源变换的原则： + UL(s) - iL(t) L IL(s) sL + - uL(t) iL(0-)/s当电容的初始储能为零时：iL(t) L IL(s) sL + uL(t) - + sLIL(s) -四、耦合电感 i1 M i2 + + L1 L2 u1 M u2 _ _

11、 I1(s) I2(s) + + U1(s) U2(s) _ _ L1i1(0-) L2i2(0-) + + _ _ Mi2(0-) Mi1(0-) _ + + _ dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222两边同时取拉氏变换有：)0()()0()()(2211111MissMIiLsIsLsU)0()()0()()(1122222MissMIiLsIsLsU这样其运算等效电路为图所示。五、独立电源直接将独立源的函数进行拉氏变换。 常用稳恒电源（电压源、电流源）：AsA六、受控源直接加上系数即可。13.2.2 线性电路的分析线性电路的分析一、分析步骤1根据换路前一瞬间的工作状

12、态，计算及；)0(Cu)0(Li2将各个元件转换为复频域模型，绘出电路的运算电路（复频域模型） ；3根据一般的电路分析方法如节点法、回路法、戴维南-诺顿等效法等等对原电路的运算电路进行分析，计算出响应的象函数精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4借助拉时变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应。二、例题1已知： 0.1H 1 + i(t) US=0.1e-5t _ 2 0.5F 0.1s 1 + I(s) _ 2 51 . 0ss2 求：电路的零状态响应 解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）232122)5()5()6()5)(6(1)6)(5)(5(1)3011

13、)(5(122222221 . 01151 . 0)(sksksksssssssssssssssI其中：1)5(1621ssk1)6(1615252ssssdsdk1)6(153ssk所以：2)5(1)5(1)6(1)(ssssI)( )()()(556Atteeetittt2已知： 0.05 + + iC2(t) 10V 1 _ uR(t) 0.05 - 20/s IC2(s) + + 10/s 1 _ UR(s) 20/s - 求：，)(tuR)(2tiC 解：，0)0(1Cu0)0(2Cu因此可以绘出原电路对应的复频域模型所以1051201202012012010)(ssssssssUR精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业105 . 225. 040420112012012010)(2sssssssssIC所以：，VtetutR )(5)(10AtettitC )(5 . 2)(25. 0)(1023已知：，VtuC3)(AtiL2)( iL(t) + (t) 0.02 0.5 1/6 uC(t) _ 1/s IL(s) + sL 0.5- 1/6 + UC(s) 0.06 2/s + - _ 求：电路的零状态响应 解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路） 。根据节点电压法：sssssssUC02. 006. 0221)5 . 002. 01