求函数f(x)周期的几种常见方法解读

1、求函数f(x)周期的几种常见方法函数的周期性是函数的一个重要性质.对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求.为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数 f(x)周期的几种常见方法，供读者参考.1定义法根据周期函数的定义以及题设中 f(x)本身的性质推导出函数的周 期的方法称为定义法.懒 已知幽敷侬定义在安数集上，对干T1实毅军 都有£ (窕+-Jr-匪?成立3>0)，求证地0为周期函毂口笄求出它妁一个周期L1一觎明:路+=5 +或 卡对于每一个实獭嫡城立。+2期=4低+就)+ 4 ="jga)-fG +限而我家+产=(：+ Jf-隹产

2、产=；+,£&) -£国产+电)一 RWf ,隼 + 短-f(z + 晒* = g + /3)-£ 廿I； + £&)-£0)十 £国-fWf)1 ,-=了一其箕)+ £低1 f j-f(x+2a) = - + (f(x) -)111 , 1=万+1侬-升1 1而其霆)=0(嚣员)+陵=5 + JFR二没)_F(罪低产铺除)一彳)1。.1 由瓠图十羽=5+所5=飒0即行K意虻L都二g.f(x)为周期函数，且 2a是它的一个周期.注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a,另一边与a无关，这时周期T应取决

3、于a,假设T能被a整除，就分别试算f(x + 2a), f(x +3a), f(x +4a),，当出现 f(x +T)=f(x)(T w0)的形式时, 就可知T是f(x)的周期.蝌忸设函麴港闲于任意虻E者肺足式窕+ a)=，呼嚣(#0入试问除)是不是1 = dF f 空、周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由.的十代塞1函我)f(x + 2a) = f(x +a)+a-1-屈武直力)三眼器+ 2so +次产 产盆二?南代人并化简)=二 =年。1-4军飙+ 2欧-闻可前于任何咒E班 都有电s+3或二照£)成立.f(x)为周期函数，3a是它的周期.2特殊值法当题设条件中有f(m)

4、 = n(m, n为常数)时，常常以此条件为突破口， 采用特殊值法解即可奏效.» 梃德满足维工)+除9 =数池等第恐冷).耿嚣EL试问 *22f(x)是不是周期函数.若是，求出它的一个周期；若不是，说明理 由.爆"对任何嚣W如£及，有笫转嚣1 = 2距的 旃岚的 啊),且货言) = 0。爆十7T K上祗j=箕+"口叼二居 则有晚垂")#1=2R-)£() = 0s ££a即第0三-£位+").而改塞士2算)三町依+孔)+兀三一区筮+其)三组：f(x)为周期函数，2n是它的一个周期.3变量代换法例

5、4设函数f(x)在R上有定义，且对于任意 x都有f(x + 1995)= f(x + 1994)+f(x + 1996),试判断f(x)是否周期函数.若是，求出它的 一个周期；若不是，说明理由.解 在 f(x + 1995)=f(x + 1994)+f(x +1996) (x C R)中，以 x 代 x + 1995,得f(x) =f(x - 1) +f(x +1);在中以x + 1代x,得f(x +1) =f(x) +f(x +2) .(1) +(2),得 f(x -1) + f(x +2) =0,f(x 1) =-f(x +2).在中以x + 1代x,得f(x) =-f(x + 3);在中

6、以x + 3代x,得f(x +3) =- f(x +6).将(5)代入,得 f(x +6) =f(x).f(x)为周期函数，6是它的一个周期.4递推法树府 函数出嚣)定义域为R,且对于任意筮都满足堂)=氏嚣+ 1)+区需-D试网f(x)是不是周期函数.若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由.n1酸+ & =存电卡劣+有傩+1)ER + 4) +121=；式式+ 4)+工电+2)+ 333二年比 4- 2) - f(z + 电 + 电s) o在中以x + 2代x,得f(x +4) =f(x +6)+f(x +2) . +(2),得 f(x) +f(x +6) = 0,：f(x) =-

7、f(x + 6).在中以x + 6代x,得f(x +6) = f(x +12).代入(3),得 f(x +12)= f(x).f(x)为周期函数，12是它的一个周期.5消去法例6若函数f(x)定义在R上，且对一切实数 x,都有f (5 +x) =f (5 x) , f (7 + x)=f (7 -x)，试判断f(x)是不是周期函数.若是，求出它的一个周 期；若不是，说明理由.解在f(5 + x) = f(5 x)中以5 x代x ,得f(x) =f(10 -x);在 f(7 +x) =f(7 -x)中以 7 x 代 x,得f(x) =f(14 -x).由(1)和(2),得f(10 x) =f(1

8、4 x).(3)在(3)中以 10 x 代 x,得 f(x +4)=f(x).f(x)是周期函数，4为它的一个周期.6结构类比法强招 设f(窟)满足我嚣。+我冀。三2f(竟1 靠工)4:11 一口) E0 g蛀R 0秋阿f(x)是不是周期函数.若是，求出它的一个周期；若不是，说明理 由.解：因物及周期画领口可用葭S到三第甲的和差生枳公或电醒+碑=2肉S1比；3 K r ” 与本题甲瞧£=欧”。岚、与的结构相同p篡申©醒的周期为2沈。故可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数, 且2支是它的一个周期.下面进行证明：由已知等贰，糅r低+兀)+监)=2

9、或)° -)= o?故%+兀)=我算)于是 f(x +2 式)=f(x +n)+n=f(x +n)=f(x).f(x)为周期函数，2n是它的一个周期.例8已知y = f(x)(x C R)的图象是连续的曲线，且 f(x)不为常数， f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称(a vb).(1)求证：f(x) = f(2a x) , f(x) = f(2b x);(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期.证明(1) ; f(x)的图象关于直线x = a对称，且图象连续，不是平 行于x轴的直线，:设P(x, y)为曲线上任一点，点 P关于x=a的对称点P'的坐标 为 P'(x' , y'),则一-=% ，粱=2粒氧j= y1 P即霞期=货0。工年期=郎时一 k)同理可证 f(x) = f(2b x).解(2)由 可知，f(x) =f(2a -x) =f(2b - x),：.f(2a x) =f(2b -x),以 x 代 2ax,得 fx + (2b -2a) =f(x).,avb, 2b2a >0 且为常数