考点9-正弦定理和余弦定理(2024092904)

1、考点9 正弦定理和余弦定理1. 2022 天津高考理科T 7在厶ABC中，内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，假设a2 b2 . 3bc ,sin C 2sin B，贝y a= ()A300 B60C1200 D150【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【标准解答】 选A,根据正弦定理及sinC 2, 3sinB得：c 2、3b丁 cos Ab2 c2a22bcc2 (a2 c2) c2. 3bc 、32bc2bc 2v00A 180, A 300。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定

2、理，将三角形的边转化为角。2. 2022 北京高考文科7某班设计了一个八边形的班徽如图 ，它由腰长为1 ,顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，A2si n2cos2;Bsin3 cos3C3si n, 3 cos1D2si ncos1该八边形的面积为【命题立意】此题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识。【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方 形的面积之和。【标准解答】 选A。等腰三角形的底边长为一 12 12 2 1 1 cos ,2 2cos 。所以班徽的面积为4 1 1 1 sin (、2 2cos

3、)2 2s in2 2cos 。23. 2022 湖南高考理科 T 4在厶ABC中,角A, B, C所对的边长分别为 a,b,c，假设/ C=120, c ,2a ,那么A ab B 、ab C 、a=b D 、a与b的大小关系不能确定【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的 能力。【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解【标准解答】选 A.C=120， c -2a2a2=a2+b2-2abcos120 ,. a2=b2+ab, /b2+a-1=0,b ,512 Y，. ba.【方法技巧】三角形是最简单的平面图形，

4、是中学数学所学知识最多的图形，在高考中是重点.常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查4. 2022 北京高考理科T10在厶ABC中，假设b = 1 , c = .3 ,2，那么3【命题立意】此题考查解三角形中的余弦定理。【思路点拨】对 C利用余弦定理,通过解方程可解出由余弦定理得，a212 2 a 1 cos3，即 a20 ,解得a 1或2舍。【答案】1【方法技巧】两边及一角求另一边时，用余弦定理比拟好。A,B,C所对的边，假设a=1,b= 3 ,5.2022 广东高考理科11a,b,c分别是 ABC的三个内角A+C=2B,那么 sinC=【命题

5、立意】此题考察正弦定理在解三角形中的应用【思路点拨】由条件求出B、A的大小，求出C，从而求出sinC.【标准解答】由 A+C=2B 及 A B C 180 得 B60，由正弦定理得13 得si nA 1，由a b知sin A sin 602A B 60，所以 A 30 , C 180 A B90，所以 sin C sin 901.【答案】16.2022 山东高考理科T 15在 ABC中，角A, B,C所对的边分别为 a, b, c,假设a 2 , b 2 ,sin B cosB 、2，那么角A的大小为 .【命题立意】此题考查了三角恒等变换、三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能 力

6、和运算求解能力。【思路点拨】先根据 si nB cosB ,2求出B,再利用正弦定理求出si nA，最后求出A.【标准解答】由 si nB cosB 得 1 2si n BcosB 2，即 sin 2B 1，因为 0B ，所以 B=45 ,_F221又因为a 、色,b 2，所以在 ABC中，由正弦定理得：二，解得si nA，又ab ,sin A sin 452所以AB=45，所以A=3O .【答案】30或一6b a7. 2022 江苏高考T1 3在锐角三角形 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,假设6cos C ,a btanC tanC ,+ 口那么的值是。tan A tan B【

7、命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用，等价转化思想。【思路点拨】对条件b atan C6cosC米用角化边，对a btan A也匹采用弦化切并结合正弦定理解决tan B【标准解答】-6cos C2.2 26abcosC a2 b2, 6ab a c2aba2b2, a2b23c2tanC tanC tan A tan Bsin C cosBsi nA si n BcosAcosCsin Asin Bsin C sin (A B) cosC sin Asin B1cosCsi n2Csin Asin B由正弦定理,12 c2 ccosCab12 22(a2 b2)得：上式6

8、c21 3cl6 2【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。此题假设考虑到条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性，可采用以下方法解决：当A=B或 a=b 时满足题意，此时有：cosC ,tan2C-cosC, tanC,321 cosC222tan A1ta nC tanCta nB2，= 4。tanCtanA tanB2【答案】48. 2022 辽宁高考文科T17在厶 ABC中, a, b, c 分别为内角 ABC 的对边，且 2asi n A=(2 b+c)s in 申(2 c+b)s in C.(I )求A的大小;n假设sin

9、 B +sin C=1,试判断 ABC的形状.【命题立意】此题考查了正弦定理，考查了余弦定理和运算求解能力。【思路点拨】(I)根据正统定理将条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角(II)利用I的结论，求出角B或角C，判断三角形的形状【标准解答】解：(I)由， 即 a2 b2 由余弦定理根据正弦定理得：2a2(2b c) (2c b)cbc,b2 c2bccosA故 cosA(0,)2A =3b2c22sin C sin Bsin Cbe及正弦定理可得:(II)由(I)中 sin2 A sin2BJ3即：()2= sin2 B sin2 C sin Bsin C21 又 sin B

10、+s in C=1 得 sin B=si nC= 2丁 0Bv ,0C, B C33 ABC是等腰的钝角三角形。【方法技巧】利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sin A,s in B,si nC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C= 609. 2022 浙江高考文科18在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S ABC的面积，满足S2 2 2a b c )。I求角C的大小;n求sin A sin B的最

11、大值。【命题立意】解析此题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等根底知识，同时考查三角运算求解能 力。【思路点拨】利用面积公式求角C,然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。【标准解答】(1)由题意可知2absinC=子2abcosC.所以tan C=3.因为0Cn，所以C=扌2 nn )由 sin A+sin B = sin A+sin(n-C-A) = sin A+sin(- A3=sin A+3 cosA+ 1 sin A=3 sin( A+ ) 3 . (0 A )2 263当A=，即 ABC为正三角形时取等号，所以sin A+sin B的最大值是.3 .3r【方法技

12、巧】求si nA si nB时利用A B 转化为关于角A的三角函数y . 3si n(A -)的最值问3 6题。10. 2022 辽宁高考理科17在厶ABC中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且2asi nA (2a c)si nB (2c b)si nC.I求A的大小;n求sin B sin C的最大值【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】【标准解答】I丨根据正统定理将条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角 II丨由I知角C= 60 -B代入sin B+s inC中，看作关于角 B的函数，进而求出最值I由

13、已 知，根据正弦定理得 2a2(2b c)b (2c b)cbc由余弦定理得a2b22c 2bccos A故 cos AA=120n由I得:sin Bsin C sin B sin(60B)31cosB si nB22si n(60 B)故当B= 30时,sinB+sinC取得最大值1。【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换si nA，用b替换si nB,用c替换sinC。sin A,si nB,si nC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替 换一局部。B+C= 60(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中11. 2022 浙江高考理科18在厶ABC中角A、B、C所对的边分别为 a,b,c,C0S2C求sinC的值;(n )当 a=2, 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长.【命题立意】此题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等根底知识，同时考查运算求解能力。【思路点拨】利用二倍角余弦公式求sin C的值。再