函数图象(教师版)

1、§2.3函数的图像1、给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象：例1：分别画出下列函数的图象：（1）； （2）； （3）知识剖析：（1）函数的定义域为，值域为；函数是其基本函数，它是增函数；函数是一个分段函数，并且在区间上是减函数，在上是增函数.（2）的定义域为，值域为，并且在上是增函数，另外，基本函数是，它也是定义域上的增函数.（3）的定义域是，它是一个分段函数，并且它是偶函数，函数解析式为，每一段上都是开口向上抛物线的一部分.方法剖析：作函数图象的步骤：求函数的定义域；化简函数式；研究函数的性质（如截距、对称性、单调性、奇偶性、图像上的特殊点等）；采用描点或利用基

2、本初等函数的图象作出所需的图像.熟记基本函数的大致图像.（1）根据函数的性质，确定函数的图像特征，然后利用列表、描点法进行作图；（2）转化为基本函数的图像，利用图像变换得出函数的图像.规范解答：（一步只解决一个问题）图像略解后反思：要根据具体的问题选择采用描点作图还是采用基本图像变换，作图时特殊点和特殊线要标出.变式训练：设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方.解：（1）(要求列表描点) （2）方程的解分别是和，由于在和2,5上单调递减，在-1,2和上单调递增，因此 . 由于. （3

3、）解法一 当时，. ， . 又， 当，即时，取， . ， 则. 当，即时，取， . 由 、可知，当时，. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.解法二 当时，.由 得， 令 ，解得 或， 在区间-1,5上，当时，的图像与函数f(x)的图像只交于一点； 当时，的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方. 2、识图：例2：设，二次函数的图象下列之一：OOOO-11-11则a的值为（ ）（A）1（B）1（C）（D）知识剖析：由可以得出，二次函数的对称轴不能为轴，并且.由图（1）可以得出

4、，；图（2）可以得出；图（3）抛物线开口向下，对称轴在轴右侧，图像过点，因此可以得出，；图（4）抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，图像过点，因此可以得出，.方法剖析：（1）根据图像的开口方向，对称轴的位置，以及经过的特殊点来判断函数具有的特征是识图求解析式的重要方法.（2）根据题目中选项来确定图像的特征也是经常采用的方法.规范解答：（一步只解决一个问题）前两个函数图象关于轴对称，故，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故，即，又由对称轴大于零，即，由得，所以取，故选B解后反思：本题中根据首先可以确定图象（1）（2）不满足条件，然后就可以借助对称轴来确定的符号，然后根据过的特殊点就很容易

5、解决.变式训练：将图像沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数的表达式为 解：将原图象沿y轴向下平移个单位，再沿轴向右平移个单位得的图象（如右图），求得： 3、函数图的平移、对称和翻折：例3：设是定义在上的奇函数，的图象与的图象关于直线对称，而当时，（c为常数）.（1）求的表达式；（2）对于任意，且，求证：；（3）对于任意，且，求证：1.知识剖析：由是定义在上的奇函数可以得出，的图像关于原点对称；由的图象与的图象关于直线对称可以得出的定义域为，并且如果点在的图像上，那么点一定在的图象上；由当时，（c为常数）可以在上的解析式.方法剖析：

6、根据对称性找出两个函数图像上的点之间的关系是解决问题的关键，关于原点对称：；关于轴对称：；关于轴对称：；关于直线轴对称：；关于直线轴对称：.规范解答：（一步只解决一个问题）（1）设g(x)上点与f(x)上点P（x，y）对应， ；在g（x）图象上g(x)定义域为x2,3，而f（x）的图象与g（x）的图象关于直线x=1对称，所以，上述解析式是f(x)在1，0上的解析式f(x)是定义在1,1上的奇函数，f(0)=0，c=4 所以，当x0，1时，x1，0，f(x)=f(x)= 所以 （2）当x0，1时，所以 （3），即解后反思：（1）对称问题关键就是看之间的关系；（2）平移问题只要找出的变化量，并把它

7、们分别和放在一起，坐标轴正方向为，负方向为“+”；（3）翻折问题可以转化为分段函数来处理，也可以根据上不变下翻上，右不动右翻左.变式训练：函数的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与的图象重合，则是（ ）（A）（B） （C） （D）分析：将的图象沿直线翻折即可与的图象重合，排除A；将沿轴翻折即可与图象重合，排除B；将的图象向右平移1个单位，在沿轴翻折即可与的图象重合，排除C，故选D4、函数图像的应用：例4：已知是方程的根，是方程的根，求的值.知识剖析：由是方程的根可知，也可以得出是函数和图像交点的横坐标，的定义域为，并且是增函数；是斜率为，截距为3的直线方程.由是方程的根可以得出，并且可以看

8、作是函数和图像交点的横坐标，又可知函数是上的增函数.又函数和是互为反函数，它们的图像关于直线对称，而直线和垂直.方法剖析：方程和都不是基本方程，都是超越方程，无法按照基本方程求解方法来求解，对这类问题可以利用基本函数的图像来解决，把方程转化为两个基本函数，方程的解就是图像交点的横坐标.规范解答：（一步只解决一个问题）由是方程的根可得：是函数和图像交点的横坐标又是方程的根可以得出是函数和图像交点的横坐标函数和是互为反函数函数和的图像关于直线对称又直线和垂直（是直线和的交点）又由得解后反思：利用函数的图像解决方程的根的问题，比较直观、运算量小；用图像法解题时图像的交点要通过方程组来求解，运用时一定

9、要注意变量的取值范围，尤其是端点的取舍和特殊情况.变式训练：方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.巩固练习：1.函数的图象与函数的图象关于原点对称，则的表达式为（ ）（A）（B）（C） （D）2将函数的图象 （ ）（A）沿轴向右平移1个单位所得图象与函数的图象关于轴对称（B）沿轴向左平移1个单位所得图象与函数的图象关于轴对称（C）沿轴向上平移1个单位所得图象与函数的图象关于轴对称（D）沿轴向下平移1个单位所得图象与函数的图象关于轴对称3如图所示，单位圆中弧的长为x，表示弧与弦所围成的弓形面积的倍，则函数的图象是（ ） （D）（C）（B）（A）4.为了得到函数的图像，可以把函数的图象（ ）A

10、.向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向左平移1个单位 D.向右平移1个单位5.方程的实根的个数为（ ）xxyxox2xA.1 B.2 C.3 D.46.已知函数的定义域为，则在同一坐标系中，函数的图象与直线的交点的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.0或1均有可能7已知定义在R上的函数关于原点对称，它在上的图象如图所示，则不等式的解集为 8.若函数是偶函数，则函数的图象关于 对称9.若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有 10设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_11.设=，（a>0,a1），求证：（1）过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f(3)>3.解：（1）令t=，则x=，f(x)= (tR)f(x)= (xR)设，f()f()=a>1时，f()<f()，f(x)在(,+)上单调递增0<a<1时，f()&