材料力学第3章扭转

1、第三章第三章 扭扭 转转3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 3.3 纯剪切纯剪切3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念3. 1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例一、工程实例一、工程实例汽车方向盘汽车方向盘直接计算直接计算1.1.外力偶矩外力偶矩3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功

2、完成：外力偶作功完成：1000(N m)WP602nMWe已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me ePP若功率的单位为若功率的单位为马力马力时，则公式为时，则公式为nPM7024e0 xMeMT eeMexnnMeMexMex /kwer min9 549pMnmN6366mN5 .4774mN159154e3e2e1e MMMM 0023e2e TMMMx mN95493e2e2 MMTmN5 .47742e1 MTxMe2Me3T2Me21T133Me4Me1Me3Me2Me2mN5 .47742e1 MTmN63664e

3、3 MTmN9549max Tp讨论:p若将A，D互换，扭矩图发生什么变化？ 3-3 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转0101r dxxMeMedx ABDC() dd2AAA rrArrT 22 rT0 yF. 00 xzFMzyxd)dd( l lr 在切应力的作用下，单元体在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，的直角将发生微小的改变，这个改变量这个改变量 称为切应变。称为切应变。TO lrrT 22 G )1(2 EG 四、四、 剪切变形能剪切变形能10du剪切变形能的推导过程与拉压变形能的推导过程相同。21u也可写为:u 剪切变形比能当切应力小于剪切比例极限时:221Gu

4、 或:Gu223.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式试验现象试验现象:(1)各各圆周线圆周线绕轴线相对转动一绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相微小转角，但大小，形状及相互间距不变；互间距不变；(2) 各各纵向线纵向线平行地倾斜一个微平行地倾斜一个微小角度，认为仍是直线；小角度，认为仍是直线；平面假设平面假设圆轴扭转圆轴扭转时，横截面保持为平面时，横截面保持为平面, ,形状和大小不变，半径仍保持为直形状和大小不变，半

5、径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变，线；且相邻两截面间的距离不变，只在原地只在原地绕轴线绕轴线发生发生“刚性刚性”转动。转动。变形几何关系变形几何关系adaa xRddxRdd距圆心为距圆心为 处处xdd即：各点的即：各点的切应变切应变与其到圆与其到圆心的距离成正比。心的距离成正比。u 剪切胡克定律GxGddu 距圆心为处G切应力切应力沿半径呈沿半径呈线性分布线性分布。 TAA d TAxGA dddTAxGA ddd2 p2dIAA pddGITx PIT max tmaxppmaxmaxWTITIT maxpt IW dO)d(2d A32d2d42032pdAIdA 162/32/

6、34maxptdddIW dODdd32)1(44p DI)1(1643t DW其中其中Dd M1M2ABCllMe1Me2ABCll1Me2CT12Me2CMe1BT2 4kNm2kNm+_T maxtmaxmaxWT M1M2ABCllMPa5 .34)1(1643max DT maxtmaxmax WTtmax WTmaxt TW tmax WT 扭转强度条件：扭转强度条件： tmaxmaxWTmaxmaxmax()tTWmaxmaxtTW1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：例 3 (书例3. 2)已知： 传动轴为无缝钢管，D=90mm，t = 2.5

7、 mm，Tmax= 1.5kNm, =60MPa。求：校核轴的强度。解：计算WtDd3mm29400DtD 2944. 0)1 (1643DWt)944. 01 (169043u 切应力tWTmax910294001500MPa51ABCMeAMeBMeC22 14 +_MPa84.6416/ )12. 0(102216/33311t11max1 dTWTMPa3 .7116/ )1 . 0(101416/333222t2max2 dTWT2max1max ll(a)(b)2t2max1t1maxWTWT dd2D22t1tWTWT 16)1(16432312t1t DdWW()3341211

8、616 dD194. 18 . 0113412 dD512. 0)8 . 01(194. 1)1(4)(4222122221222212 dDddDAA 403. 5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形扭转角扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。pddGITxxGITddplxGIT0pdu 微段的扭转角u 整体的扭转角lxGIT0pdu 整体的扭转角u 等直圆轴且扭矩不变时pGITlGIp 圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。niiiiGIlT1pu 台阶轴或扭矩分段变化42u 等直圆轴且扭矩不变时u 单位长度扭转角xddpGITlpGITl 刚度条件pmaxmaxGIT( rad/m )u 若 的单位为“

9、度”，则pmaxmaxGIT( /m )180扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T T 、D D 和和 ，校核强度校核强度已知已知T T 和和 ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T T 、D D 和和 / / ，校核刚度校核刚度已知已知T T 和和 / / ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 / / ，确定许可载荷确定许可载荷max tTW3116tWDmaxpTGI413 2pIDD+Me2Me3Me1180)2(pepe GIaMGIaMMPa7 .69tmaxmax WT mkN292e M33. 2180)23(pepe

10、 GIaMGIaMCBBACA D+Me2Me3MeDd MeMe .20 934 dDDD34ptmm1006. 22/ DIWMPa1 .96tmaxmax WT().4454p17 83 10 mm32DI ./ maxmaxp1801 81mTGImkN98. 1e MTDd MeMeMPa1 .9616/3maxmax dT 22mm17494 dA实实222mm5774)7176( 空空A329. 0174957712 AA 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P1=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功

11、率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMABC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例题例题8 8 2.2.扭矩图扭矩图 mm

12、2 .82m102 .821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT 按刚度条件按刚度条件4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632Tdmm76m10761108018

13、0458032180323429422GTdmm762d 5.5.选同一直径时选同一直径时mm4 .861 dd 6.6.将将主动轮安装在主动轮安装在两从动轮之间两从动轮之间1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060 mN4580例例 9 (书例书例3.4) 已知：1、2轴共消耗功率0.756kW；3轴消耗功率2.98kW。4轴转速183.5r/min，G=80GPa。取 =40 MPa, =1.5/m。求：设计4轴的直径。54u 计算力偶矩nNmIIII9549mN3 .39nNmIVIV9549mN155u 取4轴

14、, 受力如图0 xmIIImmN3 .194u 画出扭矩图u 计算力偶矩m,N3 .39IImnNmIVIV9549mN3 .194IIImTu 画出扭矩图可得到：TmN155maxTu 由强度条件tWTmaxmax3max16DT3max16TD m0272. 0u 由刚度条件180pmaxmaxGIT180)32/(4maxDGT57u 由强度条件m0272. 0Du 由刚度条件180pmaxmaxGIT180)32/(4maxDGT42max18032GTDm0297. 0u 最后取：mm30Du 说明：本题实际上是弯扭组合变形的问题。 由刚度条件控制例例 10 (书例书例3. 5) 已

15、知： 把轴预加力偶矩m后与筒焊接，然后解除m。轴和筒的抗扭刚度分别为G1IP1和G2IP2 。解：求：轴和筒的扭矩。先扭后焊，属装配应力问题。59u 静平衡方程静平衡方程0m设外力偶矩m撤销后，轴内的扭矩为T1，筒内的扭矩为T2 。021TTT1T2T1T2u 变形协调方程变形协调方程设：焊接前轴在m的作用下的扭转角为 。焊接并释放m后，杆的扭转角减小为1 ，筒的扭转角为2 ，转向如图。所以：2161u 物理关系物理关系,1p1IGlm,1p111IGlT 2p222IGlT 代入变形协调方程1p12p221p11IGlmIGlTIGlT与平衡方程联立解得21TT 2p21p12p2IGIGI

16、mGT1T2 3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力(a )PRdF(a)RdPPQT(b)FSTFPF33tmax816/2/dFDdFDWT 2.2.应力的计算应力的计算2SFDTFF 1.1.内力的计算内力的计算33max88)615. 04414(dFDkdFDccc ccckdDc615. 04414, max (a)RdPPQT(b)FSTFPF44163221dFDdFDITP扭转切应力为432202003822282222241281282GdnDFdsdddGDFdVVdGDFGdDnV 弹簧应变能为单位体积应

17、变能为Ol ll ll lFW21 432421GdnDFF l l4343648GdnFRGdnFD l lnRGdnDGdc3434648 令令cF l l得得N25105)105 .59(64)1014)(1080)(1055(6433439334nRGdFl5 . 81014)105 .59(2233 dRdDcMPa325Pa10325)1014(1025 .592510(817. 186333max dFDk对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。 bh3tIhb max max tmaxWT tGITl max 2thbW 3t31 hI 2t31 hW h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.00.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.3070.3130.3330.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743mkN4 MT229. 0246. 0 4