自动控制原理第四章根轨迹法

1、123 闭环特征方程闭环特征方程02gKss两个根为两个根为gKs4121212, 1 当增益从当增益从Kg0开始增加取不同值时，可求得相应开始增加取不同值时，可求得相应的特征根的特征根s1，s2如表如表4-1所示。所示。 设一随动系统如图设一随动系统如图4-1所示。所示。2( )gcgKGsssK闭环传递函数为闭环传递函数为开环传递函数为开环传递函数为) 1()(ssKsGgo4 由于系统的闭由于系统的闭环极点是连续变化环极点是连续变化的，表示在的，表示在s平面平面上即为引例系统的上即为引例系统的根轨迹图如图根轨迹图如图4-2所示。所示。 5 （引例系统没有开环零点）（引例系统没有开环零点）

2、在图在图4-2上，上，闭环特征方程为闭环特征方程为即即所以所以02ss0) 1(ss6，方程为，方程为方程有两个重根方程有两个重根 s1,2= -0.5所以所以0Kg0.25时，闭环极点在实轴上如时，闭环极点在实轴上如图所示。图所示。025. 02 ss后，闭环极点为后，闭环极点为共轭复数根的实部为常数值共轭复数根的实部为常数值-0.5，虚部随着，虚部随着Kg的增大的增大向两边延伸如图所示。向两边延伸如图所示。gKs4121212, 1jKsgKg5 . 04121212, 1有有7 从引例系统的根轨迹图可以得到，从引例系统的根轨迹图可以得到，再再之，选择合适的增益值可以保证满意的动态性能。之

3、，选择合适的增益值可以保证满意的动态性能。 引例系统的根轨迹图是求解特征方程的根作出的，引例系统的根轨迹图是求解特征方程的根作出的，但是高阶系统求根是很麻烦的。那么高阶系统的根轨但是高阶系统求根是很麻烦的。那么高阶系统的根轨迹是如何作出的？迹是如何作出的？s平面上的哪些点在根轨迹上？平面上的哪些点在根轨迹上？如如何根据系统的根轨迹图来分析自动控制系统何根据系统的根轨迹图来分析自动控制系统等问题就等问题就是本章要解决的问题。是本章要解决的问题。8一般控制系统一般控制系统 一般系统的结构图如图一般系统的结构图如图4-3所示。所示。 开环传递函数为开环传递函数为 )()()(sHsGsGO闭环传递函

4、数为闭环传递函数为 )(1)()()(1)()()()(sGsGsHsGsGsRsCsGOC9系统的开环传递函数系统的开环传递函数来表示时可以写为来表示时可以写为)()()(11inijmjgOpszsKsG(4-1)10此算式中，此算式中， 1mjjz11mjjogniizKKp(4-2)11用系统的开环传递函数用系统的开环传递函数Go(s)来表示，则有来表示，则有系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为1( )0oGs(4-3)( )1oGs (4-4)1)()(11inijmjgpszsK(4-5)12 ( )1gos sGs(4-6)( )180 (21),0,1,2,gos sG s

5、kk (4-7)式式(4-6)与与(4-7)的的13零、极点表达式分别为零、极点表达式分别为(4-8)1)()(11gssinijmjgpszsK (4-9)11()()180 (21)gmnojiiis sszspk 14s平面上的任意点平面上的任意点s=sg，15控制系统的根轨迹图控制系统的根轨迹图 控制系统的根轨迹图是满足根轨迹条件方程的，控制系统的根轨迹图是满足根轨迹条件方程的， 但是不能遍历但是不能遍历s s平面上所有的点来绘制。因为在满足根平面上所有的点来绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹图是有一些规律的。轨迹条件方程的基础上，根轨迹图是有一些规律的。 绘制根轨迹草图的

6、绘制根轨迹草图的 可以在根轨迹图的基础上来分析系统的性能，得可以在根轨迹图的基础上来分析系统的性能，得到系统运动的基本信息，根据系统的闭环极点到系统运动的基本信息，根据系统的闭环极点(以及零以及零点点)与系统性能指标间的关系来分析和设计控制系统与系统性能指标间的关系来分析和设计控制系统。 16 由于根轨迹增益由于根轨迹增益Kg在由在由0 变化时是连续变化的，变化时是连续变化的，所以系统闭环特征方程的根也是连续变化的，所以系统闭环特征方程的根也是连续变化的， 线性定常系统闭环特征方程的系数全部是实数，线性定常系统闭环特征方程的系数全部是实数，其根必为实数或共轭复数，所以其根必为实数或共轭复数，所

7、以 n阶系统对于任意增益值其特征方程都有阶系统对于任意增益值其特征方程都有n个根，个根，所以当增益所以当增益 Kg在由在由 0 变化时，在变化时，在s平面有平面有n条根轨条根轨迹，迹，17由根轨迹方程由根轨迹方程(4-5)可得可得11()1()mjjngiiszKsp (4-a) 为使式为使式(4-a)成立，必有成立，必有s=-zj，j=1，2，m，而而s=-zj为系统的开环零点为系统的开环零点 所以所以18当当Kg时方程时方程有有1lim0gKgK当当Kg时，有时，有s，方程方程有有11()1limlimlim0()gmmjjnnn mKsssiiszssssp19在实轴上选取实验点在实轴上

8、选取实验点si，图中，图中，而而(-5,-1)段和段和(0,+)段不是根轨迹。段不是根轨迹。 实轴上根轨迹的判别方法。实轴上根轨迹的判别方法。20 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为试求实轴上的根轨迹。试求实轴上的根轨迹。)4)(5 . 1)(1()5 . 0()(2sssssKsGgo根据实轴上根轨迹的判别条件可以得到：根据实轴上根轨迹的判别条件可以得到：区间区间右方的开环零点数和极点数总和为右方的开环零点数和极点数总和为5，以及区间以及区间右方的开环零点数和极点数总和右方的开环零点数和极点数总和为为3，均为奇数。，均为奇数。系统的开环零点为系统的开环零点为-0.5， 开环极点为开环极

9、点为0,0(二重极二重极 点），点），-1，-1.5，-4，如图，如图4-5所示。所示。21 如图如图4-6所示所示某系统的某系统的根轨迹图根轨迹图实轴上有两个交点实轴上有两个交点A 和和B。22实轴分离点和会合点的判别实轴分离点和会合点的判别 分离角分离角 d与相分离的根轨迹的支数与相分离的根轨迹的支数k有有关，即关，即kd180(4-10)23分离点或会合点位置的计算分离点或会合点位置的计算 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点必为特征方程的重根。必为特征方程的重根。如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三

10、条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。重根的确定可以借助于代数重根法则。重根的确定可以借助于代数重根法则。24已知已知n次代数方程为次代数方程为0.)(0111axaxaxxfnnn(4-11)q ，则满足其导，则满足其导数方程数方程f (x)=0的根不是原方程的根不是原方程f(x)=0的根。的根。q ，则满足其一阶导数方程，则满足其一阶导数方程f (x)=0的根仍然含有原方程的根仍然含有原方程f(x)=0的根。的根。 q ，则满足其一阶导数方程，则满足其一阶导数方程f (x)=0的根，二阶导数方程的根，二阶导数方程f(x)=0的根的根，直至直至满足其满

11、足其m-1阶导数方程阶导数方程f (m-1)(x)=0的根，都含有原方的根，都含有原方程程f(x)=0的根。的根。25例如例如:方程有互异单根方程有互异单根 x1-l，x2= -2。023)(2xxxf例如例如:方程有二重根方程有二重根 xc2=2。0)2)(1()(2xxxf032)( xxf一阶导数方程的根为一阶导数方程的根为 x=-2/3，不是原方程不是原方程f(x)=0的根。的根。0)1( 2) 2)(2()(xxxxf一阶导数方程的一个根一阶导数方程的一个根xc2=2仍然是原方程仍然是原方程f(x)=0的根。的根。 26 根据代数重根法则，可以计算根轨迹的分离点。根据代数重根法则，可

12、以计算根轨迹的分离点。其中其中N(s)为变量为变量s的分子多项式，方次为的分子多项式，方次为m， D(s)为变量为变量s的分母多项式，方次为的分母多项式，方次为n。( )( )( )0gF sD sK N s(4-13)0)()(1sDsNKg(4-12)闭环特征方程可以写为闭环特征方程可以写为11()( )( )( )()mjjoggniiszN sGsKKD ssp系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为27 如计算所得的值在实轴上，那么要判别该线段是如计算所得的值在实轴上，那么要判别该线段是否是根轨迹。如果该线段是根轨迹，则计算结果就是否是根轨迹。如果该线段是根轨迹，则计算结果就是分离点

13、。否则，不是分离点，要舍去。分离点。否则，不是分离点，要舍去。 ( )( )( )( )0Ns D sN s D s(4-25) 根据代数重根法则，如果闭环极点为二重根，即根据代数重根法则，如果闭环极点为二重根，即分离点处为二重根，则有分离点处为二重根，则有也含有方程也含有方程(4-14)的根，联立式的根，联立式(4-13)和式和式(4-14)可得可得( )( )( )0gF sD sK N s(4-14)28其其0)()(sNsDdsddsdKg(4-17)得到得到 ( ) ( )( )( )0N s D sN s D s对对Kg求极值的方法和重根法所得的结果是一样的。求极值的方法和重根法所

14、得的结果是一样的。( )( )gD sKN s (4-16) 由于函数由于函数f(x)可以在重根处获得极值，由式可以在重根处获得极值，由式(4-12)可以得到可以得到则根轨迹增益表为则根轨迹增益表为s的函数。的函数。29Kg具有极值和具有极值和 具有极值是一样的。因此上式也可写具有极值是一样的。因此上式也可写为为gK10)()(sNsDdsd( )0odG sds或或30111111nidimjdjpz式中，式中，m1，n1分别为开环传递函数在实轴上零、极点数。分别为开环传递函数在实轴上零、极点数。31绘出了绘出了4支根轨迹在实轴上分离的情况。支根轨迹在实轴上分离的情况。绘出了在复平面上有分离

15、点的情况，复平面上的绘出了在复平面上有分离点的情况，复平面上的分离点是实轴对称的。分离点是实轴对称的。32由实轴根轨迹判别可知，由实轴根轨迹判别可知，。2( )(0.1)(0.5)0.60.05D sssss( ) ( )( )( )0N s D sN s D s由根轨迹在实轴上的分离点和会合点的方程由根轨迹在实轴上的分离点和会合点的方程220.60.05(1)(20.6)+2s+0.55=0sssss1,21 0.671.67, 0.33s 试确定实轴上根轨迹的分离点和会合点的位置。试确定实轴上根轨迹的分离点和会合点的位置。 )5 . 0)(1 . 0() 1()(sssKsGgo 单位反馈

16、系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为( )(1)N ss由由Go(s)可得可得33将将- d1= -0.33和和- d2= -1.67值的代入值的代入计算式，计算式，可得相应的根轨迹增益，可得相应的根轨迹增益，Kgd10.06 和和 Kgd22.6。在区间在区间-0.5，-0.1，根轨迹有分离点根轨迹有分离点- d1= -0.33。在区间在区间-，-1，根轨迹有会合点根轨迹有会合点- d2= -1.67。(4-8)1)()(11gssinijmjgpszsK 34 由上一性质可知，若由上一性质可知，若n m，则则Kg时，有时，有n-m条条根轨迹趋于根轨迹趋于s平面的无穷远处。（如何

17、趋向无穷远？）平面的无穷远处。（如何趋向无穷远？） (4-20)11nmijijpznm 由于相角的周期为由于相角的周期为360o，, 2 , 1 , 0,) 12(180kmnko35 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为试确定根轨迹的分支数、起点和终点。若终点在无穷远试确定根轨迹的分支数、起点和终点。若终点在无穷远处，试确定渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。处，试确定渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。)5)(1()(sssKsGgo 由于由于n3，所以所以。 分别在分别在-p10，-p2-1和和-p3 =-5。 由于由于 m0，开环传递函数没有有限值零点，开环传递函

18、数没有有限值零点， 。3610 1 5230niipnm 3) 12(180) 12(180kmnkoo当当k=0时，时， 1=60；当当k=1时，时， 2=180；当当k=2时，时， 3=300。根轨迹的起点和三条渐近线如图根轨迹的起点和三条渐近线如图所示。所示。 其渐近线与实轴的交点其渐近线与实轴的交点-及倾斜角及倾斜角 分别为分别为37课堂练习：课堂练习：38 根轨迹可能与虚轴相交，根轨迹可能与虚轴相交， 根轨迹与虚轴相交相应于系统处于临界稳定状态。根轨迹与虚轴相交相应于系统处于临界稳定状态。39 闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为 即即(1)(2)0gs ssK32320gsssK3

19、2()3()2()0gjjjK) 2)(1()(sssKsGgo 设开环传递函数为设开环传递函数为试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界增益。试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界增益。则特征方程为则特征方程为40上式分解为实部和虚部，并分别等于零，即上式分解为实部和虚部，并分别等于零，即 解得解得=0， ，相应相应 Kgp=0，62230gpK32302jKgp0时，为根轨迹起点。时，为根轨迹起点。Kgp6时，根轨迹和虚轴相交，交点坐标为时，根轨迹和虚轴相交，交点坐标为 32116121ppKKgpop可以计算出可以计算出为为41也可利用也可利用确定确定Kgp和和值，可列出劳斯阵为值，可列出劳斯阵为

20、gpgpgpKKKssss363210123当劳斯阵当劳斯阵s1行等于行等于0时，特征方程出现共轭虚根。时，特征方程出现共轭虚根。令令s1行等于行等于0，则得，则得6gpK2js共轭虚根值可由共轭虚根值可由s2行的辅助方程求得行的辅助方程求得即即223360gpsKs42 根据根轨迹方程的幅角条件，可求得根据根轨迹方程的幅角条件，可求得出射角和入出射角和入射射角角。43 nxiiimjjoxck11) 12(180(4-22)niimyjjjoyrk11) 12(180(4-23)44 设开环传递函数极、零点如图设开环传递函数极、零点如图4-10所示，试确所示，试确定根轨迹离开共轭复数极点的出

21、射角。定根轨迹离开共轭复数极点的出射角。 利用公式利用公式(4-22)，由作图可得，由作图可得111121314180 (21)()()()()180 (21) 45(9013526.6 )180226.6ockpzppppppkk考虑到幅角的周期性，考虑到幅角的周期性，。 同理，可得同理，可得。该系统的根轨迹详见例该系统的根轨迹详见例4-9。45).().()()()(0111011111asasasbsbsbsKpszsKsGnnnmmmginijmjo(4-29)式中式中miimmzzzzzb13211.miimzzzzzb132110.njjnnpppppa13211njjnppppp

22、a1321046设系统的闭环极点为设系统的闭环极点为-s1，-s2，-sn，则则1121212( ) ()() ()()nnnnnF ss s s ss sssss ss ss 当当n-m2时，闭环系统极点之和等于开环系统极点之时，闭环系统极点之和等于开环系统极点之和且为常数和且为常数 ，即，即111nnjjnjjaps上式表明，上式表明，。对应于任一对应于任一Kg值，闭环系统极点之和保持不变。值，闭环系统极点之和保持不变。将上两式比较，可得如下将上两式比较，可得如下：0).(.)(01110111bsbsbsKasasassFmmmgnnn系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为47 闭环极

23、点之积和开环零极点具有如下关系闭环极点之积和开环零极点具有如下关系 00111nnmjgjgijjisaK bpKz 对应于某一对应于某一Kg值，若已求得闭环系统的某些极点，值，若已求得闭环系统的某些极点，则利用上述结论可求出其他极点。则利用上述结论可求出其他极点。miignjjzKs11(4-33)即闭环极点之积和根轨迹增益成正比。即闭环极点之积和根轨迹增益成正比。48 综上所述，在给出开环零、极点的情况下，综上所述，在给出开环零、极点的情况下，一般来说靠近虚轴和原点一般来说靠近虚轴和原点附近的根轨迹是比较重要的，应尽可能精确绘制。附近的根轨迹是比较重要的，应尽可能精确绘制。49 综合应用第

24、二节讲述的绘制根轨迹图的一些基本综合应用第二节讲述的绘制根轨迹图的一些基本规则，可以绘制出控制系统的根轨迹草图。草图绘出规则，可以绘制出控制系统的根轨迹草图。草图绘出后，再根据幅角条件选择一些试验点作一些修正，就后，再根据幅角条件选择一些试验点作一些修正，就可以得到满意的根轨迹图。可以得到满意的根轨迹图。50 （同例（同例4-3）设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。)5 . 0)(1 . 0() 1()(sssKsGgo 绘制根轨迹图的步骤如下：绘制根轨迹图的步骤如下：(1) 根轨迹共有根轨迹共有。在开环极点在开环极点s-0.1，-0.5，一支根

25、轨迹在一支根轨迹在s-1，另一支沿负实轴趋向无穷远另一支沿负实轴趋向无穷远处。处。(2) 在区间在区间- ，-1，-0.5，-0.1。51(4) 复平面上的根轨迹是圆（证明见教材）。复平面上的根轨迹是圆（证明见教材）。 此圆与实轴的交点就是根轨迹在实轴上的分离点此圆与实轴的交点就是根轨迹在实轴上的分离点和会合点，和会合点，完整的根轨迹如图完整的根轨迹如图4-11所示。所示。33. 01d67. 12d(3) 根轨迹在实轴的分离点和会合点已在例根轨迹在实轴的分离点和会合点已在例4-4中求得中求得坐标为坐标为 ，Kgd10.06；坐标为坐标为 ，Kgd22.6。52 绘制步骤如下：绘制步骤如下：

26、(1) 求得系统的开环共轭复数极点为求得系统的开环共轭复数极点为-1j。(2) 根轨迹共有根轨迹共有， 在开环极点在开环极点 0，-3，-1j， 一条根轨迹终止于开环零点一条根轨迹终止于开环零点-2，其余其余3条终止于无穷远处。条终止于无穷远处。 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。 )22)(3()2()(2sssssKsGgo53当当 k=0，1，2时分别得倾斜角为时分别得倾斜角为 。3) 12(180) 12(180kmnkoo(5) 实轴上实轴上。(6) 根轨迹离开复数极点根轨迹离开复数极点-1j的的，已在例，已在例4-5中中求得求得。(4

27、) 实轴上根轨迹在区间实轴上根轨迹在区间 。(3) 根轨迹的根轨迹的1 2)1130(31)(111jjzpmnmjjnii54列出劳斯阵为列出劳斯阵为g0ggg1gg2g3g42KsK3450K)Ks2K5)K(640sK65s2K81s6(7) 计算根轨迹与虚轴的交点计算根轨迹与虚轴的交点43258(6)20ggsssKsK2(3)(22)(2)0gs sssKs系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为55相应的相应的值由值由s2行系数组成的辅助方程确定，即行系数组成的辅助方程确定，即240(67)5270s 由于由于Kg0，若劳斯阵第一列的若劳斯阵第一列的s1行等于零，则系统行等于零，则

28、系统具有共轭虚根。即当具有共轭虚根。即当034506gggKKK可解得可解得 可得可得 解得解得1.6sj 56完整的根轨迹图如图完整的根轨迹图如图4-12所示所示。57对于非单位反馈系统如图对于非单位反馈系统如图4-13(a)所示，所示， )()()(sHsGsGo开环传递函数为开环传递函数为58系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为)()(1)(1)()(1)()(1)()(sGsHsGsGsHsHsGsGsGcooc 以开环传递函数以开环传递函数Go(s)绘制根轨迹可以得到单位反绘制根轨迹可以得到单位反馈闭环系统馈闭环系统 的极点，的极点，)(sGc)(1sH)(sGc 这时，这时，5

29、9图图4-14绘出了绘出了常见的一些负常见的一些负反馈系统的零、反馈系统的零、极点分布及相极点分布及相应的根轨迹图应的根轨迹图。60 61 利用绘制根轨迹的法则（过程从略）可绘出利用绘制根轨迹的法则（过程从略）可绘出K从从0变化变化到到 时系统的根轨迹如下图所示。时系统的根轨迹如下图所示。由图可见，由图可见， 设某系统开环传递函数为设某系统开环传递函数为 试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定时试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定时K的取值范围。的取值范围。 22(24)( )(4)(1.41)oK ssGss sss62 条件稳定系统可由根轨迹图确定使系统稳定的参数条件稳定系统可由根轨迹图确定

30、使系统稳定的参数取值范围。取值范围。 在右半平面的极点是（在右半平面的极点是（1,0）。因此，必有一部分根轨）。因此，必有一部分根轨迹在右半平面，它迹在右半平面，它。 ，在右半，在右半s s平面上具有零点或平面上具有零点或极点，例如极点，例如2(1)( )(1)(416)oK sG ss sss 条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上，应注意参数的选择或通过适当的校正方工程实际上，应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题。法消除条件稳定问题。 63 ，典型的二阶系统的开环传递函数为，典型的二阶系统的开环传递函数为)2()(2n

31、nosssG当当 变化时变化时,作出系统根轨迹如图作出系统根轨迹如图4-29。闭环系统的极点为闭环系统的极点为22 , 11nnjjsarccos 和和 有确定的关系为有确定的关系为 利用根轨迹法可清楚地看到开环系统的根轨迹增利用根轨迹法可清楚地看到开环系统的根轨迹增益或其他参数改变时，闭环系统极点位置及其动态性益或其他参数改变时，闭环系统极点位置及其动态性能的改变情况。能的改变情况。64 根据二阶系统超调量根据二阶系统超调量Mp和和 的关系，如图的关系，如图4-30所示。所示。 用根轨迹法分析二阶用根轨迹法分析二阶系统时，系统时， 也可根据调节时间也可根据调节时间ts和和n的近似关系式，的近似关系式，65 对于二阶系统（及具有共轭复数主导极点的高阶系对于二阶系统（及具有共轭复数主导极点的高阶系统）统）如图如图4-31所示所示。 66 利用这一关系还可根据闭环系统动态性能指标要利用这一关系还可根据闭环系统动态性能指标要求确定开环系统的增益或其他参数。求确定开环系统的增益或其他参数。 3,%100sctgpteM具有实部具有实部- - 和阻尼角和阻尼角 划成的左区域满足的性能指标为划成的左区域满足的性能指标为67 绘出绘出Kg由由0变化到变化到时系时系统的根轨迹，如图统的根轨迹，如图4-32所示。所示。 若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调