第三章机械能定理.

1、第三章机械能定理13.1.1 功与功率功与功率abFl d力的空间累积量：功力的空间累积量：功元功元功dzFdyFdxFFdlFFdlFl dFdWzyx/)( 切/FF变力沿曲线作功2质点从 a 到 b 的运动过程中，力 F 所作的功bal dFW在SI中，功的单位是 Nm (牛米)，又称 J (焦耳)，即有J =Nm。abFl d/FF3重力功重力功mghzzmgmgdzl dgmWabbaba)()(z平面xyabazbzPl dgmO重力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关， 与经过的路径无关。4弹力功弹力功OaxbxFkxFxx x+dxk)(21)(22baxxxxxxxx

2、xkdxkxdxFl dFWbababa弹力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关， 与其间经过的路径无关。5质点在运动过程中受多个力作用时分力作功之和等于合力作功WldFldFldFldFWbabaiibaiiibaiii )(6一对作用力与反作用力：),(21FFOS系1r2r21rP1P21F2F21212212222122211)()()(rdFrrdFrdrdFrdFrdFrdFrdFdW在所有相对平动的参考系中，两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同（受牛顿第三定律径向力约束）在任意参考系中，两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同7万有引力功万有引力功ab

3、FrddrrMmGrdrrMmGrdrrMmGl dFdW2/33rrMmGF3Mdrrd/rmM系abrrGMmW11与路径无关8rrrFF)(rdrrdr弹力和万有引力都是径向力barrdrrFW)(rrQqkF3barrkQqW119功率功率vFdtl dFdtl dFdtdWP功率 P ：力在单位时间内所作的功：dtdWP 设 F 作用的对象在 dt 时间的位移量为 dlvFP在SI中，功率单位特称W（瓦特），即有W = J/s103.1.2 质点动能定理质点动能定理abFl dF任一惯性系S中，合力 F 对质点所作元功dlFl dFdW/牛顿第二定律的切向分量式dtdvmmaF/代入

4、得221mvdmvdvdtdlmdvdldtdvmdW221mvdmvdvvdvmdtldvmdlddtvdmdW/F11在S系中定义质点的动能：221mvEk质点动能定理质点动能定理合力对质点作的功等于质点动能的增加量合力对质点作的功等于质点动能的增加量微分式kdEdW 积分式kEW 非惯性系中引入惯性力作功量，它与真实力作功量之和也等于质点在非惯性系中动能的增量。kdEdWdW惯12质点系在某惯性系的动能ikikEE质点系动能定理：kEWW外内非惯性系中引入各质点所受惯性力作功之和W惯，也可有相应的“质点系动能定理”kEWWW外内惯内力是否作功?13hlmAFv0hlAv0O试求 F 的功

5、率lhlFvFvvFP22000cosmmamgTF0222dtdldtldarsin0vdtdl22dtldam?PA点以v0匀速水平运动14mmamgTF0vFP解法二tanhx 求导20coshv coshl 求导sincossin02vhlmahvvl3200coscos hlAv0O15例2长 L、质量 M 的平板放在光滑水平面上，质量 m 的小木块以水平初速 v0 滑入平板上表面，两者间摩擦系数为，试求小木块恰好未能滑离平板上表面的条件。mv0M, L小木块运动到平板右端时与平板速度相同0)(mvvmM过程中 m 与 M 间一对摩擦力作功mgLW地面惯性系中动能定理2021221)

6、(mvvmMWgLMmMv220解法一解法一16在随木板运动的非惯性系中木块以初速 v0 滑入，最后静止在木板右端。在这个过程中，摩擦力和惯性力做功。平动加速度Mmga0木块所受惯性力MmgmFi动能定理2021mvmgLLMmgmMmMgLv220解法二解法二17解法三解法三当作两体问题处理木块以初速 v0 滑入，最后静止在木板右端。2021vmMMmmgLMmMgLv22018第三章作业第三章作业A组4、7、8、9、1012、17、18、20、22、24B组26、29、33、34193.2.1 保守力力的冲量21tt “路线”唯一力作的功21rr“路线”不唯一从作功的角度，力可分为作功量与

7、路径有关非保守力作功量与路径无关保守力 摩擦力、空气阻力就是典型的非保守力自然界所有的基本力都是保守力20两点之间的可能路径ABPL1L2在任意位置上取一个“标准”点 P从A到B保守力作的功APBPBPAPPBAPABWWWWWWW定义质点在S系的每一个位置的势能：参考点rpl dFrE)(计算保守力所作的功21守恒的理念：动能的增加等于势能的减少pkEE势能零点的选择具有任意性，实际中常选 F = 0 点为势能零点。任意点的势能等于将质点从该点移动到参考点保守力作的功参考点rpl dFrE)(势能的减少 = 保守力作功 = 动能的增加22mghEp重心等势面：势能相等的点形成的曲面重力的等势

8、面是一水平面23221kxEp势能是保守力作功引起的，势能究竟“藏”在系统何处？力从哪里来？场-引力场、电场、磁场、电磁场等等势能藏在场中场又从哪里来场又从哪里来? ?Ox24OS系1r2r21rP1P21F2F两个质点的相互作用是一对保守性作用力和反作用力系统势能的定义：两个力的作功之和等于系统势能的减少量系统势能只依赖于两个质点的相对位置， 且在所有参考系中都是相同的。对于两体系统，系统势能又称为二体势能25rMmGrErEpp)()(26 rQqkrEp)(273.2.3 势能函数势能函数势能函数一般是空间的三元函数),()(zyxErEEppp如何由势能函数求保守力? 28一维情况)(

9、xEEpp势能函数保守力 F 是 x 方向的)( ,xFFiFFxxxdxFdExp势能与保守力有关系dxdEFpx29三维情况保守力 F 一般也是三元函数),()(zyxFrFFdzFdyFdxFl dFdEzyxp势能与保守力有关系势能的全微分公式dzzEdyyEdxxEdEpppp30kzEjyEixEFppp引入哈密顿算符kzjyixpEF31势能曲线一维势能函数对应的 Ep - x 曲线称为势能曲线；二维的称为势能曲面。例 二体引力势能对应的势能曲线rMmGrEp)( Epr32思考题 半径为R的光滑圆环绕竖直轴以0匀速转动，圆环上套一小球，试确定其稳定平衡点位置。0RO33例4 均

10、匀柱形弹性体：劲度系数 k、 自由长度 L，质量 m， 求竖直悬挂时的伸长量和弹性势能。均匀柱形弹性体的性质：均匀柱形弹性体的性质：原长 L 中任意一段 l 的劲度系数klLkl受力 F 时，2)(21 , ,/LkELLllkFLpOx34对应原长 x 处 dx 段的劲度系数kdxLkdx受力mgLxL该小段的伸长量dxkmgLxLdl2总伸长量kmgdlLL2022内含弹性势能kgmdlkELdxp6)(21220222353.3.1 机械能定理机械能定理从力学的角度看，质点间的相互作用力或是保守性的，或是非保守性的。外力非保守性内力保守性内力质点系受力36惯性系中质点系动能定理：kEWW

11、W外内非保内保将保守性内力作功之和用它们的势能代替，动能定理可改写为)(pkEEWW外内非保质点系中各对保守性内力对应的势能之和 Ep各对保守性内力作功之和W内保便等于Ep的减少量pEW内保非保守性内力作功之和W内非保，外力作功之和W外37定义质点系动能与内势能之和为质点系机械能 pkEEE质点系机械能定理所有非保守内力作功与所有外力作功之和等于质点系机械能增加量EWW外内非保38质点系所受外力也可进一步分为保守性的和非保守性的。保守性的外力也有对应的外势能非惯性系中各质点所受保守性惯性力对应的势能之和 Ep惯EWWW外内非保惯非保其中惯ppkEEEE3.2 机械能守恒定律机

12、械能守恒定律动能由各质点速度确定，势能由系统自身几何位置和形状确定，速度和几何位形都是运动状态的表征，因此机械能是由系统运动状态确定的力学量。动能势能保守力作功机械能其它形式的能量非保守力作功除机械能外，还有许多其它形式的能量40机械能守恒定律为守恒量则若过程中恒有外内非保 , 0 , 0 :EdWdW能量守恒定律这条定律支配着至今我们所知道的一切自然现象，没有发现这条定律有什么例外。41例例 6 某惯性系中质量各为m，M的质点A，B。 开始时相距l0，A静止，B沿连线向外以v0运动。 在力 F 作用下，B作匀速运动。 (1) 试求A、B间距可达到的最大值lmax (2) 此过程中变力F所作的

13、功。mM0vABl0F先定性分析A、B的运动42选择合适的参考系随B运动的惯性系利用机械能守恒定律020max21lMmGmvlMmGmaxl利用机械能定理020max2021)(21lMmGMvlMmGvMmW另外一种情况mM0vABl0F43例7 半径为R的匀质圆环形光滑细管放在光滑的水平面上，管内有两个相同质量的小球，它们的初速度相同，如图所示。求（1）两球相碰时离管道中心的距离。（2）从小球穿出缺口到相碰，管道水平经过的路程。OROR动量守恒机械能守恒44例例 9 长L的匀质软绳绝大部分沿长度部分放在光滑水平 桌面上，仅有很少一部分悬挂在桌面外。而后绳将从 静止开始下滑。问绳能否达到图

14、（b）状态？ 若否，绳滑下多长时会甩离桌边？LL分析物理过程（a）（b）（c）45利用机械能守恒定律2)()(212lglvL绳的水平方向动量llLLgvlLpx)(/)(时，存在极大值2/Ll NLLl46将碰撞的物体模型化为质点将碰撞的物体模型化为质点宏观世界经常会发生物体间的碰撞碰撞的特点：碰撞时间一般很短， 物体的动量有明显变化， 碰撞力很大， 常规力(如重力)与其相比提供的冲量可略碰撞的基本问题：已知碰撞前系统的运动状态， 要求确定碰撞后系统的运动状态。碰撞现象普遍存在！47起跳和落地时的肌肉和筋腱起跳和落地时的肌肉和筋腱足球、排球、体操等运动中，膝部要承受多达7-14倍的峰值体重4

15、83.1 一维碰撞一维碰撞m1m22010vv20vm1m21v12vv 碰撞前碰撞后碰撞前后动量守恒：2021012211vmvmvmvm为解v1，v2，还需建立补充方程49弹性碰撞碰撞前后系统动能不变（机械能守恒）2202210122221121212121vmvmvmvm211012012221202102112)( ,2)(mmvmvmmvmmvmvmmv两个解：一解对应碰前状态，另一解对应碰后状态。具有相同对称性果对称性置具有下因因果对称关联 :换 2 1, 标 : 50性质：碰撞前后相对速度大小不变201012vvvv特例特例1：21mm 201vv 102vv 0 2012vmm

16、且101vv（反弹）特例特例2：碰后交换速度51完全非弹性碰撞2120210121mmvmvmvv碰后质点1和2一起运动21vv 碰后动能损失220102121)(21vvmmmmE损52非弹性碰撞介于弹性与完全非弹性之间的碰撞引入恢复系数10 ,201012evvvve21102012022120102101)()1 ()()1 (mmvvmevvmmvvmevv532201021212)()1 (21vvmmmmeE损54三体碰撞三体碰撞m1m22010vv3020vv30v完全非弹性碰撞有唯一解碰撞前后动量守恒：303202101332211vmvmvmvmvmvm55230322022

17、101233222211212121212121vmvmvmvmvmvm解仍然具有的不定性模型的问题模型的问题弹性碰撞将物体刚性化与质点化563.4.2 二维斜碰撞二维斜碰撞动量守恒方程2021012211vmvmvmvmm1m210v20v1v2v完全非弹性碰撞有唯一解弹性碰撞2202210122221121212121vmvmvmvm若再补充一个角度关系则有唯一解解的不定性源于物体的刚性化与质点化四个未知标量四个未知标量57例11 采用二体约化质量方法， 计算二体正碰撞过程中系统 动能损失。碰撞过程中动能损失量由内力作功引起，因此在所有参考系中相同。12v012v引入恢复系数10 ,0eevv58利用动能定理202220)1 (212121vevvWE内损二体约化质量2121mmmm转换到其它参考系，质点1，2初速分别记为v10，v20，则有21020210200)()1 (21 ,vveEvvv损完全非弹性非弹性弹性 :0 ;:01 ; :1eee59习题3-3 质量同为m的两个小球，用长为 2l 的