离散化原理及要求和常用的几种数值积分法-文档资料

1、3/19/20221第三章 连续系统数值积分仿真方法学23.1 离散化原理及要求离散化原理及要求 n（1）离散化原理）离散化原理n（2）离散化建模方法的要求）离散化建模方法的要求3（1）离散化原理n“数字数字”计算，引入舍入误差；计算，引入舍入误差；n按指令一步一步进行，必须将时间按指令一步一步进行，必须将时间离散化。离散化。 在数字计算机上对连续系统进行仿真时，在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇到的问题是：数字计算机的数值及时间首先遇到的问题是：数字计算机的数值及时间均具有离散性，而被仿真系统的数值及时间均均具有离散性，而被仿真系统的数值及时间均具有连续性，后者如何用前者来实现。具有

2、连续性，后者如何用前者来实现。4n连续系统仿真：连续系统仿真：n从时间、数值两个方面对原系统进行离散从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到离散模型来近似原连续分运算，由此得到离散模型来近似原连续模型。模型。5相似原理相似原理 n设系统模型为：设系统模型为：)()( kktutu)()( kktyty0)()( )(kkkytytyte0)()( )(kkkututute),(tuyfy 离散后的输入变量：离散后的输入变量：)( ktu系统变量：系统变量：khttykk其中)( 如果：如果：即：即：仿真时间间隔

3、为：仿真时间间隔为：h两模型等价。两模型等价。6u(t)图图2.1 2.1 相相 似似 原理原理原连续模型原连续模型仿真模型仿真模型h y(t)+),(tuyfy ), , (ktuyfy )( kty)( ktu0)(kyte7（2）离散化建模方法的要求n稳定性稳定性n准确性：准确性：n最基本的准则是：最基本的准则是： n绝对误差准则：绝对误差准则：)()( )(kkkytytyte)( )()( )(kkkkytytytyten 相对误差准则：相对误差准则：系统时间间隔系统时间间隔hk=tk+1-tk计算每一步间隔计算每一步间隔Tk若若hk Tk ，实时仿真实时仿真若若Tkhk ，离线仿真

4、离线仿真快速性快速性8明确几个概念明确几个概念9差分方程已知表示某系统一阶向量微分方程及初已知表示某系统一阶向量微分方程及初值为：值为：00)(),(YtYYtFY) 1 (ttdtYtFtYtY0),()()(0对上式两边积分，则对上式两边积分，则10) 2 (), ()(), ()()(11001mmmttmttmdtytFtYdtYtFtYtY)3(),(1mmttmdtYtFQ) 4()()(1mmmQtYtY)5(1mmmQYY110,mtttt在在 时的连续解为：时的连续解为：令令则则或表示为或表示为 11数值解法数值解法mmtth1相邻两个离散点的间距相邻两个离散点的间距常用的基

5、本方法有三类：常用的基本方法有三类：单步法、多步法、预估校正法。单步法、多步法、预估校正法。 并可分为显式公式和隐式公式。并可分为显式公式和隐式公式。121,mmtttt121,mmYYYY就是寻求初值问题式就是寻求初值问题式(1)的解在一系列离散点的解在一系列离散点的近似解的近似解（即数值解）。（即数值解）。称为计算步长或步距称为计算步长或步距12单步法与多步法单步法与多步法n单步法单步法n只由前一时刻的数值只由前一时刻的数值 ym就可求得后一时刻就可求得后一时刻的数值的数值ym+1n能自动启动能自动启动n多步法多步法n计算计算ym+1需要用到需要用到 tm,tm-1,tm-2,时刻时刻y的

6、数的数据据n不能自动启动不能自动启动13显式与隐式显式与隐式n显式显式n计算计算 ym+1时所用数值均已计算出来时所用数值均已计算出来n隐式隐式n计算中隐含有未知量计算中隐含有未知量n预估校正法预估校正法 使用隐式公式时，需用另一显式公式估计使用隐式公式时，需用另一显式公式估计一个初值，然后再用隐式公式进行迭代运算。一个初值，然后再用隐式公式进行迭代运算。 14截断误差n假设前一步得到的结果假设前一步得到的结果ym是准确的是准确的,则用泰勒级则用泰勒级数求得数求得tm+1处的精确解为处的精确解为)()(!1)(! 21)()()(1)(2rmrrmmmmhotyhrtyhtyhtyhty n若

7、从以上精确解中取前两项之和来近似计若从以上精确解中取前两项之和来近似计算算ym+1,由这种方法单独引进的附加误差通由这种方法单独引进的附加误差通常称作常称作局部截断误差局部截断误差.15舍入误差n舍入误差与舍入误差与h成反比成反比,若计算步长小，计若计算步长小，计算次数就多算次数就多,则舍入误差就大。则舍入误差就大。163.2 常用的几种数值积分法n建立系统数学模型的目的是研究系统的建立系统数学模型的目的是研究系统的运动规律运动规律00)(),(ytyytfy17（一）单步法18（1）欧拉法（一阶龙格库塔法）nTaylor级数展开n矩形近似解法n切线近似19（a)Taylor展开假定假定00)

8、(),(ytyytfy ),()(ytgty为其解析解为其解析解将将y(t)展开成展开成Taylor级数级数htytyhty)()()(从而从而),()()(ythftyhty将上式写成差分方程将上式写成差分方程),(1nnnnythfyy20（b）矩形近似解法00)(),(ytyytfy 在区间在区间tn,tn+1上积分，得上积分，得1),()()(1nnttnndtytftytyf误差误差近似矩形近似矩形f(t)0tntn+1t于是于是11),()()(nnnnnyythftytynnnhfyy121（c)切线近似y(t)在在tn处得切线方程为处得切线方程为)(,(nnnnttytfyy则

9、得则得11),()()(nnnnnyythftytynnnhfyy1y(t)y0tntn+1tynyn+1(t0,y0)(t1,y1)t22例例1 1 设系统方程为：设系统方程为：1)0(, 02yyy 试用欧拉法求其数值解（取步长试用欧拉法求其数值解（取步长h=0.1，0t1）解：原方程为：解：原方程为：22),(,yytfyy递推公式为：递推公式为：4628. 0)1 . 01 (, 0 . 1819. 0)1 . 01 (, 2 . 09 . 0)1 . 01 (, 1 . 01, 0)1 . 01 (),(99101011220011001yyytyyytyyytytyyythfyyn

10、nnnnn23已知方程的解析解为ty11精确解与数值解比较精确解与数值解比较t00.10.20.30.40.51.0精确解精确解y(t) 10.9091 0.83330.76920.66670.6250.5数值解数值解yn10.90.8190.75190.65940.6470.4628误差在误差在102数量级数量级24（2）改进的欧拉法（梯形法）n又称二阶龙格库塔法又称二阶龙格库塔法f误差误差f(t)0tntn+1t)()(),(111nntttytydtytfSnn直边梯形的面积直边梯形的面积),(),(11212nnnnytfytfhS当当h比较小时，以直边梯形代替曲边梯形的面积，可得比较

11、小时，以直边梯形代替曲边梯形的面积，可得),(),()()(11211nnnnnnytfytfhtyty其差分方程其差分方程),(),(11211nnnnnnytfytfhyy或或121nnhnnffyy曲边梯形的面积曲边梯形的面积251.用欧拉法求出初值，算出用欧拉法求出初值，算出)(1nty的近似值的近似值pny12.计算导函数计算导函数1nf近似值近似值),(111pnnpytffn3.然后用梯形法求出修正后的然后用梯形法求出修正后的eny1261.用欧拉法预估一个初值用欧拉法预估一个初值)0(1ny)1(1ny2.用下式求出用下式求出),(),()()0(121)1 (11nnytfy

12、tfhtyynnnn3.再用再用)1(1ny求求)2(1ny),(),()()1 (121)2(11nnytfytfhtyynnnn如此反复下去直到如此反复下去直到相差很小时为止。与) 1(1)(1mnmnyy迭代运算：迭代运算：27),(),(),()(121)()(111pnnnncnnnpnnnytfytfhyyythfyy预估公式预估公式校正公式校正公式预估校正法预估校正法28(3)龙格库塔法n基本思想基本思想n间接利用泰勒展开式，即用几个点上的间接利用泰勒展开式，即用几个点上的y(t)的一阶导函数值的线性组合来近似代替的一阶导函数值的线性组合来近似代替y(t)在某一点的各阶导数，然后

13、用泰勒级数展在某一点的各阶导数，然后用泰勒级数展开式确定线性组合中各加权系数开式确定线性组合中各加权系数29（a)龙格库塔数值积分公式推导一阶微分方程：一阶微分方程：00)(),(ytyytfy 假定假定y(t)是上式的解析解。将是上式的解析解。将y(t)展开成泰勒级数展开成泰勒级数.)()()()(22tytyhtyhtyh 其中：其中：yfytftythyftftyyftfdtdfytffffffythftyhtyytfytftyytfty),(,)(),()()(),(),()(),()(22其中： 30将将y(t+h)写成线性组合形式写成线性组合形式riiikbhtyhty1)()(其

14、中其中r称为阶数，称为阶数，bi待定系数，待定系数，ki由下式决定由下式决定rikahtyhctfkijjjii,.3 , 2 , 1),)(,(11且定义且定义C1=031 r=1，此时，此时c1=0，a1=0，k1=f(t,y)，则，则),()()(1ytfhbtyhty取取b1=1，即得一阶龙格库塔法，即得一阶龙格库塔法 r=2)(,(),(11221hkatyhctfkytfk将将)(,(112hkatyhctf在点在点(t,y)展开泰勒级数展开泰勒级数),(),(),()(,(112112ytfhkaytfhcytfhkatyhctfyt32tyyftftyytiiihbahcbyt

15、hfbbtyytfhkaytfhcytfhbythfbtyhkbhkbtykbhtyhty2112222111221221121),()()(),(),(),(),()()()()(令令21bb ，得，得11, 5 . 0, 1211cbba所以所以),(),(),()(111112121211hkytfytffkytffkkkhyynnnnnnnnnn改进欧拉法改进欧拉法33 r=4)22()(4321611kkkkyytyhnnn其中：其中：),(),(),(),(3422213122121hkyhtfkkyhtfkkyhtfkytfknnhnnhnnnn四阶龙格库塔法四阶龙格库塔法34为

16、方便，将上式具体列为：为方便，将上式具体列为：),(),(),(),()22(32321314221222121221123121212121121122211432161,1,nnmmmmiinnmmmhmiinnmmmhmiinmmmmiiiiiimimikykykyhthfkkykykythfkkykykythfkyyythfkkkkkyy其中：其中：为递推下标。，即一阶微分方程的个数为系统系数系数，个个方程的第第是微分方程组中mnjnikijRKji)4 , 3 , 2 , 1;,.,2 , 1(35龙格库塔法的特点n在计算在计算yn+1时只用到时只用到yn，而不直接用，而不直接用yn-1,yn-2等等项项;n步长步长h在整个计算中并不要求固定；在整个计算中并不要求固定；n精度取决于步长精度取决于步长h的大小及方法的阶次的大小及方法的阶次n一阶龙格库塔公式一阶龙格库塔公式欧拉公式欧拉公式36优点n编制程序容易编制程序容易n改变步长方便改变步长方便n稳定性较好稳定性较好n是一种自启动的数值积分法是一种自启动的