1-5线性变换的矩阵表示式PPT精选文档

1、阶矩阵阶矩阵设设n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 为为中中的的变变换换定定义义其其中中)(,21xTyRaaanniiii ),( ,)(RxAxxTn .为线性变换为线性变换则则T那那么么为为单单位位坐坐标标向向量量设设,21eeen,00112122221112111 aaaaaaaaaeAnnnnnn,100212222111211 nnnnnnnnaaaaaaaaaeA ,), 2 , 1( )( nieTeAiii 即即.)(,)(, 为为列列向向量量应应以以那那么么矩矩阵阵有有关关系系式式如如果果一一个个线线性性变变换换因因此此eTAAxxT

2、Ti 那那么么使使如如果果一一个个线线性性变变换换反反之之), 2 , 1()(, nieTTii )(xT),(21xeeeTn )(2211exexexTnn )()()(2211eTxeTxeTxnn xeTeTeTn)(,),(),(21 xn),(21 .Ax 其其中中表表示示都都可可用用关关系系式式中中任任何何线线性性变变换换,)()(, RxAxxTTRnn )(,),(),(21eTeTeTAn , 212222111211 aaaaaaaaannnnnn.,21为单位坐标向量为单位坐标向量eeen可可知知综综上上所所述述, ,22112222112212211111nnnnn

3、nnnnnaaaTaaaTaaaT 定义设定义设 是线性空间是线性空间 中的线性变换，在中的线性变换，在 中取定一个基中取定一个基 ，如果这个基在变换，如果这个基在变换下的象为下的象为nVnVn ,21TT其中其中,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA ATnn ,2121 上式上式 ,2121nnTTTT 记记可表示为可表示为那末，那末， 就称为线性变换就称为线性变换 在基在基 下的下的矩阵矩阵n, 21AT.)(,),(,1唯一确定唯一确定由基的象由基的象矩阵矩阵显然显然 nTTA?,),(),( , 21212121需要满足什么条件呢需要满足什么条件呢变换变换那么那

4、么下的象为下的象为在变换在变换也就是说基也就是说基的矩阵的矩阵下下在基在基是线性变换是线性变换假设假设现在现在TATTTAnnnn 有有设设,1 iniinxV )( T)(1 iniixT niiiTx1)( xxxTTTnn2121)(,),(),( ,),(2121 xxxAnn .),(),( 21212121 xxxAxxxTnnnn 即即., 为为矩矩阵阵的的线线性性变变换换是是以以变变换换并并且且所所确确定定的的变变换换上上式式唯唯一一地地确确定定了了一一个个ATT.由上式唯一确定由上式唯一确定为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换以以TA.,TAATVn个个线线性性变变换换也也可可唯

5、唯一一地地确确定定一一由由一一个个矩矩阵阵确确定定一一个个矩矩阵阵可可唯唯一一地地由由线线性性变变换换中中取取定定一一个个基基后后在在.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下结论结论:),(),( 21212121可可知知从从关关系系式式 xxxAxxxTnnnn ,21下下在在基基 n; 21 xxxn 的坐标为的坐标为.)( )(21 xxxATTn 的坐标为的坐标为有有因因此此按按坐坐标标表表示示,.)( AT ., 1, , 4322313的的矩矩阵阵求求微微分分运运算算取取基基中中在在DpxpxpxpxP 例例1 1解解 ,00

6、000,10001,02002,00303432144321343212432121pppppDpppppDppppxpDppppxpD在在这这组组基基下下的的矩矩阵阵为为所所以以D.0100002000030000 A.,)(, 上的一个线性空间上的一个线性空间构成构成数与多项式的乘法数与多项式的乘法它对于多项式的加法和它对于多项式的加法和组成的集合记作组成的集合记作式式包括零多项包括零多项的所有一元多项式的所有一元多项式中次数小于中次数小于记作记作合合上所有一元多项式的集上所有一元多项式的集实数域实数域RxRnxRxRRn例2例2.,:)(),()( , 微微分分变变换换这这个个变变换换也

7、也称称为为变变换换上上的的一一个个线线性性是是则则由由导导数数性性质质可可以以证证明明定定义义变变换换中中在在线线性性空空间间xRxRxfxfdxdxfxRnnn 则则有有的的基基为为现现取取, 112xxxxRnn , 0)1( , 1)( x ,2)(2xx ,下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此xxxn 12, 1, 0000100002000010nAxnxnn21)1()( 即即变变换换平平面面的的线线性性表表示示将将向向量量投投影影到到中中在在, 3xOyTR例例3 3,)(j yi xkzj yi xT .,)2(;,)1(的矩阵的矩阵求求取基为取基为的矩阵的矩阵求求取基为取基为

8、TkjijiTkji 解解 , 0, )1(kTjjTiiT.000010001),(),( kjikjiT即即 , , , )2( jiTjTiT.000110101),(),( T即即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵有不同的矩阵同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？那么这些矩阵之间有什么关系呢？上面的例子表明上面的例子表明,;,2121nn 定理定理设线性空间设线性空间 中取定两个基中取定两个基nV由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ， 中的线性变换

9、中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为 和和 ，那末，那末 n ,21n ,21nV.1APPB PTAB于是于是 nnTB ,2121 ,21PTn PTn ,21 证明证明 Pnn ,2121 ,2121ATnn BTnn ,2121 APn ,21 APPn121, 因为因为 线性无关，线性无关，n, 21所以所以.APPB1 证毕证毕.定理表明：定理表明： 与与 相似，且两个基之间的过渡相似，且两个基之间的过渡矩阵矩阵 就是相似变换矩阵就是相似变换矩阵BAP例例., , 1222211211212下下的的矩矩阵阵在在基基求求下下的的矩矩阵阵为为在在基基中中的的线

10、线性性变变换换设设 TaaaaATV ,0110),(),(2112 解解,0110 P即即,0110 1 P求得求得下的矩阵为下的矩阵为在基在基于是于是),(12 T 0110011022211211aaaaB.11122122 aaaa 011012112221aaaa).(,ARTTA的的秩秩就就是是则则的的矩矩阵阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若.,)( 的的秩秩性性变变换换称称为为线线的的维维数数的的象象空空间间线线性性变变换换定定义义2 2TVTTn.,987654321 ,3 132321下的矩阵下的矩阵在基在基求求下的矩阵为下的矩阵为在基

11、在基的线性变换的线性变换维线性空间维线性空间已知已知 AV例5例5解解由条件知由条件知 987654321),(),(321321 321332123211963)(852)(74 )( 即即下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此 132, 74)(396)(285)( 132113231322从而有从而有.174396285 B给定了线性空间给定了线性空间 的一组基以后，的一组基以后， 中的线中的线性变换与性变换与 中的矩阵形成一一对应因此，在中的矩阵形成一一对应因此，在线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用变换来研究矩阵变换来研究矩阵nRnRnnR 同一变换在不同基下的矩阵是相似的同一变换在不同基下的矩阵是相似的的两个线性变换的两个线性变换已知已知22 R 22, RXMXXSXNXT 1111,0201NM.,22211211下下的的矩矩阵阵在在基基试试求求EEEEST )( 11EST 解解)()(1111ESET