大学物理-安徽工业大学：力学导论(11级)

1、大小（或模）：大小（或模）：222zyxrr方向：方向：rzryrx/cos,/cos,/coskzj yi xr2. 位矢直角坐标系中的数学表示位矢直角坐标系中的数学表示 1coscoscos222 且有v 第一节第一节 质质 点点 运运 动动 学学从坐标原点指向从坐标原点指向P点的有向线段。点的有向线段。r1. 1. 位矢位矢一一. 位位 矢矢 （或位置矢量，或矢径）（或位置矢量，或矢径）P(x,y,z)xzyr力力 学学 导导 论论12rrr质点从起端指向末端的有向线段，质点从起端指向末端的有向线段，1. 位移：位移：二二. 位位 移移 P2xzy1rP12rrS或质点在或质点在tt时间

2、内位矢的增量时间内位矢的增量2. 位移在直角坐标系中的数学表示位移在直角坐标系中的数学表示kzjyixr1111kzjyixr2222kzzjyyixxr)()()(121212kzj yi xr 即r思考思考：注意这几个量之间的区别：注意这几个量之间的区别s ,r-rr ,r121. 平均平均速度速度trv三三. 速速 度度P2P1rvv2. （瞬时）速度（瞬时）速度tdrdtrvt0limkvjvivkt dzdjt dydit dxdt drdvzyx3. 速度在直角坐标系中的数学表示速度在直角坐标系中的数学表示rddtdsvvrddskajaiakt dvdjt dvdit dvddt

3、vdazyxzyx2. 加速度在直角坐标系中的数学表示加速度在直角坐标系中的数学表示四四. 加加 速速 度度1. 加速度加速度2t drdt dvda2SO00naaan3. 加速度在自然坐标系中的数学表示加速度在自然坐标系中的数学表示O 00n2,va dtdvan其中其中角位移角位移 沿沿逆时针逆时针转动，转动， 取取正正值，值，沿沿顺时针顺时针转动，转动， 取取负负值。值。 角位置角位置(或角坐标）或角坐标）1. 角速度角速度 dtdtt 0lim单位：单位：rad/s2.角加速度角加速度 (或或 ）22dtddtd单位：单位：rad/s2五五. 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述(极

4、坐标系中极坐标系中)OXR1v2vs AB(极轴极轴)22sRRvaRdtdRdtdvaRdtdRdtdvn Rdds 3. 角量与线量之间的对应关系角量与线量之间的对应关系Rv Ra tFvmvmdtFtt1221得12ppI即作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量dtpddtvmddtvdmamF)(由一一. . 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律1. 质点的动量定理质点的动量定理第二节第二节 质质 点点 动动 力力 学学 xxttxmvmvdtF1221 yyttymvmvdtF1221 zzttzmvmvdtF1221 分量表示式分量表

5、示式222zyxrrkzj yi xr 1.kdtdzjdtdyidtdxtrvdd 2.kdtdvjdtdvidtdvtvazyxdd . 3dtd . 4dtd . 5上堂课内容总结上堂课内容总结tFvmvmdtFtt1221. 7 作用于物体上的合外力的冲作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量量等于物体动量的增量 Ra ,Rv , Rdds. 6上式表明：作用于系统合外力的冲量等于系统动上式表明：作用于系统合外力的冲量等于系统动量的增量量的增量 niitiniitittniivmvmdtF11112218外 .12F21F13F31F23F32F受内力：受内力：1F2F3F受外力：

6、受外力：12F32F23F31F21F13F1F2F3F2. 2. 质点系的动量定律质点系的动量定律设有三个质点系设有三个质点系m m1 1、m m2 2、m m3 33m2m1m三式相加，由于成对的内力互相抵消三式相加，由于成对的内力互相抵消,故内力的冲量抵消故内力的冲量抵消对对m1:1221111113121)(ttttvmvmdtFFF对对m3:1221333332313)(ttttvmvmdtFFF对对m2:1221222223212)(ttttvmvmdtFFF)()()(11122221332211332211321ttttttttvmvmvmvmvmvmdtFFF一般言之：设有一

7、般言之：设有n个质点，则：个质点，则：)()()(111222212211221121ntnttntnttttnvmvmvmvmvmvmdtFFF niitiniitittniivmvmdtF 1111221外即上式表明：作用于系统合外力的冲量等于系统上式表明：作用于系统合外力的冲量等于系统动量的增量动量的增量3 3、动量守恒定律、动量守恒定律01112niitiniitivmvm则有若外0iF 一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。即：

8、但系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律。动量守恒定律。(2)(2)如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，此时，系统的总动量在某个坐标轴上的分矢量为零，此时，系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的。虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的。(3)(3)动量守恒定律是物体学最普遍、最基本的定律之动量守恒定律是物体学最普遍、最基本的定律之一一; ;动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立。动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立。在应用动量守恒定律时应该注意以下几点：在应用动量守恒定律时应该注意以下几点：(1)

9、(1)有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力 相比小得多，这时可以略去外力对系统的作用，认为相比小得多，这时可以略去外力对系统的作用，认为系统的动量是守恒的。如碰撞、打击、爆炸等。系统的动量是守恒的。如碰撞、打击、爆炸等。例例: : 质量为质量为2.5g2.5g的乒乓球以的乒乓球以1010m/sm/s的速的速率飞来，被板推挡后，又以率飞来，被板推挡后，又以2020m/sm/s的速的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别平面内，且它们与板面法线的夹角分别为为4545o o和和303

10、0o o，求：（求：（1 1）乒乓球得到的冲）乒乓球得到的冲量；（量；（2 2）若撞击时间为）若撞击时间为0.010.01s s，求板施求板施于球的平均冲力的大小和方向。于球的平均冲力的大小和方向。45o 30o nv2v1解：取球为研究对象解：取球为研究对象, ,由于作用时间很短由于作用时间很短, ,忽略重力影忽略重力影响响12vmvmdtFI45o 30o nv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：取坐标系，将上式投影，有：tFmvmvdtFIxxx)45cos(30cos12tFmvmvdtFIyyy 45sin30sin12N14. 6 N7 . 0 N1 . 622yxyxFFFFF

11、sNjijIiIIyx 007. 0061. 0 为平均冲力为平均冲力与与x方向的夹角方向的夹角。6.54 tan 1148.0 xyFF1. 质点作直线运动时恒力质点作直线运动时恒力所作的功所作的功 A=Fcos S二、二、 功功A(A(或或W W）MMFF SF2、质点作曲线运动时变力所作的功质点作曲线运动时变力所作的功ab rdrdFdsFdAcosds cosFrdFAbabakFjFiFFzyx 直角坐标系中直角坐标系中kdzjdyidxrd xxzzzyyyxzdFydFdxFA000力对质点所作的功为力在质点位移方向力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。（功的

12、定义）的分量与位移大小的乘积。（功的定义）v注意：注意：a、功是过程量，通常是与路径有关的、功是过程量，通常是与路径有关的。b、功是标量，有正负、功是标量，有正负。 c、合力的功为各分力的功的代数和、合力的功为各分力的功的代数和。例例: 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：(1). 质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx42 (2). 质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xy)(21mx 处运动到处运动到XYO23125. 2yx42 64 xy作功不仅与始末位置有关，而

13、且与路径有关作功不仅与始末位置有关，而且与路径有关!212142yyxxdyydxJdydxxA25.214)6(2125. 21322bazyxdzFdyFdxFA解：JdydxxA8 .104225. 213221XYO23125. 2yx42 64 xy)(42Nji yF 例（练习一例（练习一4）. 一质量为一质量为5 kg的物体，其所受的作用力的物体，其所受的作用力F随时间的变化关系如图所示设物体从静止开始沿直随时间的变化关系如图所示设物体从静止开始沿直线运动，则线运动，则20秒末物体的速率秒末物体的速率v _1010t(s)20OF(N N)-5例例（练习一（练习一5）. 一质量为

14、一质量为m m的质点在的质点在OxyOxy平面上运动，其位置矢量为平面上运动，其位置矢量为 (SI)(SI)jtbitar sincos式中式中a a、b b、 是正值常量，且是正值常量，且a ab b (1)(1)求质点在求质点在A A点点( (a a，0)0)时和时和B B点点(0(0，b b) )时的动能；时的动能； (2)(2)求质点所受的合外力求质点所受的合外力 以及当质点从以及当质点从A A点运动到点运动到B B点的过程中点的过程中 的分力的分力 和和 分别作的功分别作的功FFxFyFj tbi tadtrdv cossinj tbi tadtvda sincos22 , iavj

15、bvBA ) 1 (kBkAkE E 21 E 及，求出由2mv,)2(amF 020cosaaxxxtamxFAdd 022221amaxxm d三三.质点系动能定理质点系动能定理 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律1. 质点的动能定理质点的动能定理212221212121212121dv dtdv cosmvmvmvdSmdSFrdFA即合外力对质点所做的功等于质点动能的增量即合外力对质点所做的功等于质点动能的增量b02b0yytsinbmyFAdydbmbyym022221 d2. 质点系的动能定理质点系的动能定理12F32F23F31F21F13F1F2F3F3m2m1m2

16、n12n12121初末内力外力iiiiiivmvmAA即所有外力的功与内力的功即所有外力的功与内力的功之和等于质点系动能的增量之和等于质点系动能的增量.注意注意:(a)外力的功是指所有分外力的功的代数和外力的功是指所有分外力的功的代数和.(b)一对内力的功等于其中一个质点受到的内力一对内力的功等于其中一个质点受到的内力点乘该质点相对于施力质点的位移点乘该质点相对于施力质点的位移.1m2m12F21F1rd2rd21122112221112)(相对于rdFrdrdFrdFrdF四四. 功能原理功能原理1. 保守力保守力0rdF2. 保守力做功等于相应势能的减少保守力做功等于相应势能的减少2121

17、PPEEA保守力2121mghmghA重力3. 功能原理功能原理)初初末末非保守内力外力（PKPKEEEEAA即所有外力的功与非保守内力的功之和等于系即所有外力的功与非保守内力的功之和等于系统机械能的增量统机械能的增量.地面地面h1h2r2n12n12121初末内力外力iiiiiivmvmAA第三节、第三节、 刚刚 体体 定定 轴轴 转转 动动定轴转动定轴转动：各质元均作圆周运：各质元均作圆周运动，其圆心都在转轴上。动，其圆心都在转轴上。转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PX各质元的线速度、加速度各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）移、

18、角速度、角加速度）都相同都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。1. 角速度角速度 dtd单位：单位：rad/s2.角加速度角加速度 (或或 ）22dtddtd单位：单位：rad/s2参考方向参考方向Pxo一、刚体定轴转动的角速度和角加速度一、刚体定轴转动的角速度和角加速度rv ra 3. 角量与线量之间的对应关系角量与线量之间的对应关系. 0 ,0 和和 均是矢量：均是矢量： 的方向可由右手法则确定：把右手的方向可由右手法则确定：把右手的拇指伸直，其余四指弯曲，使弯曲的方向与刚体转动的拇指伸直，其余四指弯曲，使弯曲的方向与刚体转动方向一致，这时拇指所指的方向就是

19、角速度方向一致，这时拇指所指的方向就是角速度 的方向。的方向。 的方向与的方向与 一致一致对于定轴转动，对于定轴转动， 都沿轴向，都沿轴向，故可以用代数量来表示故可以用代数量来表示 。正负代表。正负代表矢量方向。矢量方向。和00. 0 ,0 0 0正正方向向d力矩是矢量，其大小为力矩是矢量，其大小为 M = F r sinM 的方向垂直于的方向垂直于 和和 所构成的平面。所构成的平面。满足右手螺旋关系满足右手螺旋关系：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向是由径矢弯曲的方向是由径矢 通过小于通过小于180的角转向力的角转向力 的方的方向，这时拇指所指的方向就是

20、力矩的方向。向，这时拇指所指的方向就是力矩的方向。FrrF几个力的合力矩为这几个力的力矩的矢量和几个力的合力矩为这几个力的力矩的矢量和; 刚体内各刚体内各质点间的内力矩相互抵消，故质点间的内力矩相互抵消，故合内力矩为零合内力矩为零。FrM力的大小力的大小F F和力臂和力臂d d的乘积，叫做力的乘积，叫做力F F对转轴的力矩，即对转轴的力矩，即二二. 力矩力矩OPdMrF单位：单位：Nm;三三. . 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量Ozir切向iFim切向切向iiamiF对任意的质量元对任意的质量元 m mi i: :切向切向iiiiamrriiFM iimr 2i M )(22iiiimrm

21、r M绕定轴转动的转动转量绕定轴转动的转动转量I = mr2dmrI2的转动转量的转动转量转动惯量转动惯量I(或或J)的定义：的定义：iimrI2单位：单位：kgmkgm2 2 转动惯量转动惯量与刚体的几何形状与刚体的几何形状, 质量密度的分布以及转轴的位置有关。质量密度的分布以及转轴的位置有关。转动定律：转动定律： IM2222m222121ddmlxxmxIllll中2121mI中231mI端xmddm解：202m0231ddmlxxmxI端例：质量为例：质量为m，长度为，长度为l的均匀细棒的转动惯量：的均匀细棒的转动惯量：（1）转轴过端点）转轴过端点（2）转轴过中点）转轴过中点xOdxx

22、xO22dxx21121vmEk22221vm221nnvm2121iinivm21)(21iinirm1mnm2m1r2rnr四四. . 刚刚 体体 的的 转转 动动 动动 能能221)(21iinirm221I刚体的转动动能刚体的转动动能221 IEkvmrL五五. . 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点质点m m对原点对原点O O的角动量的角动量( (或动量矩或动量矩) )定义为定义为rv om sin rmvL 大小 iiivmr 任一质量元任一质量元im对定轴的角动量为对定轴的角动量为 Imrmrvmriiiiiii)(22 2. 2. 刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴

23、转动的角动量Ozirivim刚体绕定轴的角动量为刚体绕定轴的角动量为 IL 3. 物体绕定轴转动的物体绕定轴转动的角动量定律角动量定律dtdLdtIddtdIIM)(1221LLMdttt 即物体绕定轴转动时合外力矩的冲量矩即物体绕定轴转动时合外力矩的冲量矩（或角冲量）等于物体角动量的增量（或角冲量）等于物体角动量的增量112221 IIMdttt 或写为4. 物体定轴转动的角动量守恒定律物体定轴转动的角动量守恒定律 当物体所受合外力矩为零时，角动量守恒，当物体所受合外力矩为零时，角动量守恒，即即恒量 I艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合5. 质点与刚体力学规律对照表

24、质点与刚体力学规律对照表质点质点刚体（定轴转动）刚体（定轴转动）力力 ，质量，质量 m转动惯量转动惯量dmrI2,FrM力矩牛顿第二定律牛顿第二定律amF IM 转动定律转动定律vmP动量动量dtF, 冲量冲量 IL 角动量角动量dtM,冲量矩冲量矩动量定理动量定理1221vmvmdtFtt动量守恒定律动量守恒定律F=0常矢iivm角动量定理角动量定理112221 IIMdttt角动量守恒定律角动量守恒定律M=0恒量iiI 力的功力的功bardFA动能定理动能定理2021221mmAvv 功能定理功能定理初末非保内外力EEAA力矩的功力矩的功0M dA动能定理动能定理2021221IIA初末非保内力矩外力矩EEAA功能定理功能定理F解：解：(1)棒由水平位置下落到竖直位棒由水平位置下落到竖直位置时棒与地球系统能量守恒。置时棒与地球系统能量守恒。(2)棒与物块碰撞时棒与物块碰撞时,角动量守恒、机械能守恒角动量守恒、机械能守恒vMII221221221MIIv(3) 物块滑行中满足动能定理物块滑行中满足动能定理221Mv0sMg2212Img2261m例：北邮例